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8. 如图2-3,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$由点$A$出发,沿$AB$边以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$移动;点$Q$由点$B$出发,沿$BC$边以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$移动。点$P$,$Q$同时出发,当点$Q$到达点$C$时,点$P$同时停止移动。经过几秒后,$P$,$Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$?
图2-3
图2-3
答案
8.解:设经过$x(0≤ x≤4)\ \mathrm{s}$后,$P,Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$,则$BP=(6-x)\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$,
依题意,得$(6-x)^2+(2x)^2=(\sqrt{53})^2$,
化简,得$5x^2-12x-17=0$,
解得$x_1=\frac{17}{5},x_2=-1$(不合题意,舍去)。
故经过$\frac{17}{5}\ \mathrm{s}$后,$P,Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$。
依题意,得$(6-x)^2+(2x)^2=(\sqrt{53})^2$,
化简,得$5x^2-12x-17=0$,
解得$x_1=\frac{17}{5},x_2=-1$(不合题意,舍去)。
故经过$\frac{17}{5}\ \mathrm{s}$后,$P,Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
这是一道直角三角形中的动点结合方程的应用题，解题思路如下：
1. 先确定运动时间的取值范围：点Q从B到C的路程是8cm，速度为2cm/s，所以最长运动时间为$8÷2=4\mathrm{s}$，即时间$x$的范围是$0≤ x≤4$；
2. 用含时间$x$的代数式表示相关线段长度：点P速度为1cm/s，$x$秒后$AP=x\mathrm{cm}$，因此剩余线段$BP=AB-AP=(6-x)\mathrm{cm}$；点Q速度为2cm/s，$x$秒后$BQ=2x\mathrm{cm}$；
3. 观察图形可知$△ PBQ$是直角三角形，$∠ B$为直角，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边$PQ=\sqrt{53}\mathrm{cm}$，因此可列出关于$x$的一元二次方程；
4. 解方程后检验解是否在时间的取值范围内，舍去不符合实际意义的解，即可得到最终答案。
【解析】
解：设经过$x(0≤ x≤4)\ \mathrm{s}$后，$P,Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$，则$BP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，
依题意，在$Rt△ PBQ$中由勾股定理得：
$(6-x)^2+(2x)^2=(\sqrt{53})^2$
化简得：
$5x^2-12x-17=0$
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=-1$（不符合实际运动情况，舍去）。
【答案】
经过$\frac{17}{5}\ \mathrm{s}$后，$P$,$Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将运动过程中的线段长度用时间的代数式表示，结合几何定理建立方程，求解后注意验证解是否符合实际运动的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
这是一道直角三角形中的动点结合方程的应用题，解题思路如下：
1. 先确定运动时间的取值范围：点Q从B到C的路程是8cm，速度为2cm/s，所以最长运动时间为$8÷2=4\mathrm{s}$，即时间$x$的范围是$0≤ x≤4$；
2. 用含时间$x$的代数式表示相关线段长度：点P速度为1cm/s，$x$秒后$AP=x\mathrm{cm}$，因此剩余线段$BP=AB-AP=(6-x)\mathrm{cm}$；点Q速度为2cm/s，$x$秒后$BQ=2x\mathrm{cm}$；
3. 观察图形可知$△ PBQ$是直角三角形，$∠ B$为直角，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知斜边$PQ=\sqrt{53}\mathrm{cm}$，因此可列出关于$x$的一元二次方程；
4. 解方程后检验解是否在时间的取值范围内，舍去不符合实际意义的解，即可得到最终答案。
【解析】
解：设经过$x(0≤ x≤4)\ \mathrm{s}$后，$P,Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$，则$BP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$，
依题意，在$Rt△ PBQ$中由勾股定理得：
$(6-x)^2+(2x)^2=(\sqrt{53})^2$
化简得：
$5x^2-12x-17=0$
解得$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=-1$（不符合实际运动情况，舍去）。
【答案】
经过$\frac{17}{5}\ \mathrm{s}$后，$P$,$Q$两点间的距离是$\sqrt{53}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理；一元二次方程求解；列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是将运动过程中的线段长度用时间的代数式表示，结合几何定理建立方程，求解后注意验证解是否符合实际运动的限制条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 阅读下面的例题。
例题:解方程 $x^2 - |x| - 2 = 0$。
解:当 $x ≥ 0$ 时,原方程化为 $x^2 - x - 2 = 0$,解得 $x_1 = 2, x_2 = -1$(不合题意,舍去)。
当 $x ＜ 0$ 时,原方程化为 $x^2 + x - 2 = 0$,解得 $x_1 = -2, x_2 = 1$(不合题意,舍去)。
∴原方程的根是 $x_1 = 2, x_2 = -2$。
请参照例题解方程 $x^2 - |x - 1| - 1 = 0$。
9. 阅读下面的例题。
例题:解方程 $x^2 - |x| - 2 = 0$。
解:当 $x ≥ 0$ 时,原方程化为 $x^2 - x - 2 = 0$,解得 $x_1 = 2, x_2 = -1$(不合题意,舍去)。
当 $x ＜ 0$ 时,原方程化为 $x^2 + x - 2 = 0$,解得 $x_1 = -2, x_2 = 1$(不合题意,舍去)。
∴原方程的根是 $x_1 = 2, x_2 = -2$。
请参照例题解方程 $x^2 - |x - 1| - 1 = 0$。
答案
9.解:当$x≥1$时,原方程化为$x^2 -x=0$,解得$x_1=1,x_2=0$(不合题意,舍去)。
当$x＜1$时,原方程化为$x^2 +x -2=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=1$(不合题意,舍去)。
故原方程的根是$x_1=1,x_2=-2$。
当$x＜1$时,原方程化为$x^2 +x -2=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=1$(不合题意,舍去)。
故原方程的根是$x_1=1,x_2=-2$。
解析
【分析】
本题为含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内代数式$x-1$的正负分界点$x=1$，分$x≥1$和$x＜1$两种情况讨论，每种情况化简方程后求解，最后检验所得的根是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的根，汇总得到最终的解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为：
$x^2 - (x-1) - 1 = 0$
化简得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=0$，其中$x_2=0$不符合$x≥1$的前提，舍去。
② 当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为：
$x^2 - (1-x) - 1 = 0$
化简得：$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，其中$x_2=1$不符合$x＜1$的前提，舍去。
【答案】
$x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
绝对值的化简；一元二次方程的解法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查含绝对值方程的求解方法，解题时要先根据绝对值内表达式的正负确定分类标准，去绝对值后转化为熟悉的一元二次方程求解，最后务必要验证根是否符合对应分类的取值范围，剔除增根。
【难度系数】
0.7
本题为含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内代数式$x-1$的正负分界点$x=1$，分$x≥1$和$x＜1$两种情况讨论，每种情况化简方程后求解，最后检验所得的根是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的根，汇总得到最终的解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$x≥1$时，$|x-1|=x-1$，原方程化为：
$x^2 - (x-1) - 1 = 0$
化简得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=0$，其中$x_2=0$不符合$x≥1$的前提，舍去。
② 当$x＜1$时，$|x-1|=1-x$，原方程化为：
$x^2 - (1-x) - 1 = 0$
化简得：$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x+2)(x-1)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，其中$x_2=1$不符合$x＜1$的前提，舍去。
【答案】
$x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
绝对值的化简；一元二次方程的解法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查含绝对值方程的求解方法，解题时要先根据绝对值内表达式的正负确定分类标准，去绝对值后转化为熟悉的一元二次方程求解，最后务必要验证根是否符合对应分类的取值范围，剔除增根。
【难度系数】
0.7
10. 综合与实践
表2-1
“山西三日游”的调研分析
背景
2025年某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”的定价和报名人数进行调研。
素材1
活动推出后，2025年9月份报名参加“山西三日游”的人数为1500，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，11月份的报名人数达到2160。
素材2
该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元。经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1，但每人的团费不低于750元。
问题解决
任务1
求从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率。
任务2
若该旅行社要使平均每个团的团费为32000元，求降价后每人的团费。
请完成“问题解决”中的任务1和任务2。
表2-1
“山西三日游”的调研分析
背景
2025年某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”的定价和报名人数进行调研。
素材1
活动推出后，2025年9月份报名参加“山西三日游”的人数为1500，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，11月份的报名人数达到2160。
素材2
该旅行社“山西三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元。经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1，但每人的团费不低于750元。
问题解决
任务1
求从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率。
任务2
若该旅行社要使平均每个团的团费为32000元，求降价后每人的团费。
请完成“问题解决”中的任务1和任务2。
答案
10. 解:任务1:设从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率为$x$,
由题意得$1500(1+x)^2=2160$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去)。
故从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率为20%。
任务2:$\because 30×900=27000$(元),$27000＜32000$,
$\therefore$平均每个团的人数超过30。
设降价后每人的团费为$y$元,
由题意得$y(30+\frac{900-y}{10}×1)=32000$,
整理得$y^2 -1200y +320000=0$,
解得$y_1=800$,$y_2=400$(不符合题意,舍去)。
故降价后每人的团费为800元。
由题意得$1500(1+x)^2=2160$,
解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去)。
故从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率为20%。
任务2:$\because 30×900=27000$(元),$27000＜32000$,
$\therefore$平均每个团的人数超过30。
设降价后每人的团费为$y$元,
由题意得$y(30+\frac{900-y}{10}×1)=32000$,
整理得$y^2 -1200y +320000=0$,
解得$y_1=800$,$y_2=400$(不符合题意,舍去)。
故降价后每人的团费为800元。
解析
【分析】
任务1属于平均增长率类问题：首先明确9月报名人数是增长初始量1500人，经过2次逐月增长后11月人数为2160人，根据平均增长率的通用公式“初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量”设未知数列方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的解即可。
任务2属于总费用类实际应用问题：首先计算30人初始组团的总团费，和目标总团费32000元对比，判断出需要降价增加人数；再设降价后每人团费为y元，根据“每降10元人数增加1人”的规则表示出此时的总人数，再根据“每人团费×总人数=总团费”的等量关系列方程，求解后结合“每人团费不低于750元”的限制条件舍去不符合要求的解即可。
【解析】
任务1解答：
设从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率为$x$，
由题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
任务2解答：
先计算初始30人组团的总团费：$30×900=27000$（元）
$\because 27000＜32000$，$\therefore$需要降价增加人数，此时组团人数超过30人。
设降价后每人的团费为$y$元，
此时每人团费降低了$(900-y)$元，增加的报名人数为$\frac{900-y}{10}$人，总报名人数为$30+\frac{900-y}{10}$人，
由总团费的等量关系列方程：
$y(30+\frac{900-y}{10})=32000$
整理得$y^2 -1200y +320000=0$，因式分解得$(y-800)(y-400)=0$
解得$y_1=800$，$y_2=400$，
$\because$每人团费不低于750元，$400＜750$不符合要求，故舍去$y_2=400$。
【答案】
任务1：从9月份到11月份报名人数的月平均增长率为$\boxed{20\%}$；
任务2：降价后每人的团费为$\boxed{800}$元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题结合旅行团收费的生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际限制条件对求解出的根进行验证和取舍，是非常典型的数学应用题。
【难度系数】
0.7
任务1属于平均增长率类问题：首先明确9月报名人数是增长初始量1500人，经过2次逐月增长后11月人数为2160人，根据平均增长率的通用公式“初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量”设未知数列方程，求解后结合增长率为正的实际要求舍去不符合的解即可。
任务2属于总费用类实际应用问题：首先计算30人初始组团的总团费，和目标总团费32000元对比，判断出需要降价增加人数；再设降价后每人团费为y元，根据“每降10元人数增加1人”的规则表示出此时的总人数，再根据“每人团费×总人数=总团费”的等量关系列方程，求解后结合“每人团费不低于750元”的限制条件舍去不符合要求的解即可。
【解析】
任务1解答：
设从9月份到11月份“山西三日游”的报名人数的月平均增长率为$x$，
由题意列方程：
$1500(1+x)^2=2160$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
任务2解答：
先计算初始30人组团的总团费：$30×900=27000$（元）
$\because 27000＜32000$，$\therefore$需要降价增加人数，此时组团人数超过30人。
设降价后每人的团费为$y$元，
此时每人团费降低了$(900-y)$元，增加的报名人数为$\frac{900-y}{10}$人，总报名人数为$30+\frac{900-y}{10}$人，
由总团费的等量关系列方程：
$y(30+\frac{900-y}{10})=32000$
整理得$y^2 -1200y +320000=0$，因式分解得$(y-800)(y-400)=0$
解得$y_1=800$，$y_2=400$，
$\because$每人团费不低于750元，$400＜750$不符合要求，故舍去$y_2=400$。
【答案】
任务1：从9月份到11月份报名人数的月平均增长率为$\boxed{20\%}$；
任务2：降价后每人的团费为$\boxed{800}$元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
3. 实际问题根的取舍
【点评】
本题结合旅行团收费的生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际限制条件对求解出的根进行验证和取舍，是非常典型的数学应用题。
【难度系数】
0.7
