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1. （2026·青岛期末）如图是由6个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1 cm.
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：
（2）请按要求在方格内分别画出这个几何体的三视图.
＞＞专题突破册 P34
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：
26 cm²
；（2）请按要求在方格内分别画出这个几何体的三视图.
＞＞专题突破册 P34
答案
1.(1)$26\ \mathrm{cm^2}$
(2)根据三视图的画法,画出相应的图形如下：
解析:$1×1×(5+4+4)×2=26(\mathrm{cm^2})$,故答案为$26\ \mathrm{cm^2}$.
解析
【分析】
（1）求该组合几何体的表面积可采用三视图法：几何体前后、左右、上下六个方向观察到的面的数量，分别对应主视图、左视图、俯视图小正方形数量的2倍，因此只需先数出三个视图的小正方形总数，再乘单个小正方形的面积即可得到总表面积。（2）绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，分别从正面、左面、上方观察几何体，记录看到的小正方形的位置与数量，对应画出图形即可。
【解析】
（1）单个小正方形面的面积为：$1×1=1\ \mathrm{cm^2}$。
数得主视图含5个小正方形，左视图含4个小正方形，俯视图含4个小正方形。
总表面积为：$1×(5+4+4)×2=26\ \mathrm{cm^2}$。
（2）按照三视图绘制规则，画出的三视图如下：
【答案】
（1）$\boldsymbol{26\ \mathrm{cm^2}}$
（2）
【知识点】
组合体表面积计算，三视图绘制
【点评】
本题属于视图部分的基础常考题，主要考查学生的空间想象能力，掌握三视图法求表面积的方法和三视图的绘制规则是解题的关键，解题时注意数小正方形数量时避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
（1）求该组合几何体的表面积可采用三视图法：几何体前后、左右、上下六个方向观察到的面的数量，分别对应主视图、左视图、俯视图小正方形数量的2倍，因此只需先数出三个视图的小正方形总数，再乘单个小正方形的面积即可得到总表面积。（2）绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，分别从正面、左面、上方观察几何体，记录看到的小正方形的位置与数量，对应画出图形即可。
【解析】
（1）单个小正方形面的面积为：$1×1=1\ \mathrm{cm^2}$。
数得主视图含5个小正方形，左视图含4个小正方形，俯视图含4个小正方形。
总表面积为：$1×(5+4+4)×2=26\ \mathrm{cm^2}$。
（2）按照三视图绘制规则，画出的三视图如下：
【答案】
（1）$\boldsymbol{26\ \mathrm{cm^2}}$
（2）
【知识点】
组合体表面积计算，三视图绘制
【点评】
本题属于视图部分的基础常考题，主要考查学生的空间想象能力，掌握三视图法求表面积的方法和三视图的绘制规则是解题的关键，解题时注意数小正方形数量时避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7
2. (2026·保定月考)(1)一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成,如图是这个几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数,请在网格中画出主视图和左视图.
(2)用小正方体搭一个几何体,使它的三视图如图所示.请在俯视图的小正方形中填入相应的数字,使得小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数.其中,图①填入的数字表示最多组成该几何体的小正方体的个数,图②填入的数字表示最少组成该几何体的小正方体的个数.
＞＞ 专题突破册 P34
(2)用小正方体搭一个几何体,使它的三视图如图所示.请在俯视图的小正方形中填入相应的数字,使得小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数.其中,图①填入的数字表示最多组成该几何体的小正方体的个数,图②填入的数字表示最少组成该几何体的小正方体的个数.
＞＞ 专题突破册 P34
答案
2.(1)主视图和左视图如下：
解析:主视图分左中右三列,左列有2个小正方形,中列有3个小正方形,右列有4个小正方形,如图.
左视图分左中右三列,左列有1个小正方形,中列有4个小正方形,右列有2个小正方形,如图.
(2)根据题意,填图如下：
解析:从主视图可知几何体分左中右三列,左列最高有3个小正方体,中列最高有1个小正方体,右列最高有2个小正方体,
从左视图可知几何体分两排,前排后排,前排最高有2个小正方体,后排最高有3个小正方体,
左列前排可以是1个小正方体或2个小正方体,左列后排有3个小正方体,中间列只有前排1个小正方体,右列前排有2个小正方体,后排可以是1个或2个小正方体,最多10个小正方体,如图①;最少8个小正方体,如图②.
解析
【分析】
(1) 已知俯视图各位置小正方体个数画主视图、左视图时，遵循以下思路：主视图列数与俯视图列数相同，每列小正方形的个数等于俯视图对应列中数字的最大值；左视图列数与俯视图行数相同，每列小正方形的个数等于俯视图对应行中数字的最大值，按该规律即可绘制视图。
(2) 已知主视图、左视图填俯视图的最多、最少小正方体个数时，先从主视图提取每列的最大层数，从左视图提取每行的最大层数；求最多个数时，每个位置取所在列、行允许的最大层数；求最少个数时，仅需保证行列最高层数的位置满足要求，其余位置取最小可行值即可。
【解析】
(1) ①主视图：观察俯视图可知共3列，左列数字最大值为2，中列数字最大值为3，右列数字最大值为4，因此主视图从左到右三列的小正方形个数依次为2、3、4。
②左视图：观察俯视图可知共3行，第一行数字最大值为1，第二行数字最大值为4，第三行数字最大值为2，因此左视图从左到右三列的小正方形个数依次为1、4、2，按要求在网格中绘制即可。
(2) 首先提取三视图信息：从主视图可知几何体分左中右三列，左列最高有3个小正方体，中列最高有1个小正方体，右列最高有2个小正方体；从左视图可知几何体分前后两排，前排最高有2个小正方体，后排最高有3个小正方体。
求最多小正方体个数时，各位置取允许的最大值：左列后排为3个，左列前排取最大值2个，中列取最大值1个，右列前排为2个，右列后排取最大值2个，总和为10个，对应图①；求最少小正方体个数时，仅需满足行列最高要求：左列后排为3个，左列前排取最小值1个，中列取1个，右列前排为2个，右列后排取最小值1个，总和为8个，对应图②，按规则填入俯视图即可。
【答案】
2.(1)主视图和左视图如下：
(2)填图如下：
【知识点】
三视图的画法，由三视图判断几何体，几何体构成分析
【点评】
本题是投影与视图的典型题型，重点考查三视图之间的对应关系，需要学生结合视图特征建立空间想象，明确三类视图分别反映的几何体层数、行列分布规律，对空间思维能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1) 已知俯视图各位置小正方体个数画主视图、左视图时，遵循以下思路：主视图列数与俯视图列数相同，每列小正方形的个数等于俯视图对应列中数字的最大值；左视图列数与俯视图行数相同，每列小正方形的个数等于俯视图对应行中数字的最大值，按该规律即可绘制视图。
(2) 已知主视图、左视图填俯视图的最多、最少小正方体个数时，先从主视图提取每列的最大层数，从左视图提取每行的最大层数；求最多个数时，每个位置取所在列、行允许的最大层数；求最少个数时，仅需保证行列最高层数的位置满足要求，其余位置取最小可行值即可。
【解析】
(1) ①主视图：观察俯视图可知共3列，左列数字最大值为2，中列数字最大值为3，右列数字最大值为4，因此主视图从左到右三列的小正方形个数依次为2、3、4。
②左视图：观察俯视图可知共3行，第一行数字最大值为1，第二行数字最大值为4，第三行数字最大值为2，因此左视图从左到右三列的小正方形个数依次为1、4、2，按要求在网格中绘制即可。
(2) 首先提取三视图信息：从主视图可知几何体分左中右三列，左列最高有3个小正方体，中列最高有1个小正方体，右列最高有2个小正方体；从左视图可知几何体分前后两排，前排最高有2个小正方体，后排最高有3个小正方体。
求最多小正方体个数时，各位置取允许的最大值：左列后排为3个，左列前排取最大值2个，中列取最大值1个，右列前排为2个，右列后排取最大值2个，总和为10个，对应图①；求最少小正方体个数时，仅需满足行列最高要求：左列后排为3个，左列前排取最小值1个，中列取1个，右列前排为2个，右列后排取最小值1个，总和为8个，对应图②，按规则填入俯视图即可。
【答案】
2.(1)主视图和左视图如下：
(2)填图如下：
【知识点】
三视图的画法，由三视图判断几何体，几何体构成分析
【点评】
本题是投影与视图的典型题型，重点考查三视图之间的对应关系，需要学生结合视图特征建立空间想象，明确三类视图分别反映的几何体层数、行列分布规律，对空间思维能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7
3. (2025·成都期末)周末小明同学与父亲爬山,在停车场附近看到了一棵银杏树AB,AB垂直于地面,满树金灿灿的叶子非常好看,小明同学想测量这棵树的高度,他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上(如图所示),此时测得地面上的影长BC为8米,坡面上的影长CD为4米,斜坡与水平地面所成的锐角为30°,同一时刻,一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米.(参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732$)
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度(结果精确到0.1米).
(1)求点D到水平地面的距离；
(2)求树的高度(结果精确到0.1米).
答案
3.(1)如图,过D作$DH⊥ BC$交BC的延长线于H,在$\mathrm{Rt}△ CDH$中,$∠ CHD=90°$,$∠ DCH=30°$,$\therefore DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$(米).
答:点D到水平地面的距离为2米.
(2)过H作$HE// AD$交AB于E,如图.$\because AE⊥ BC$,$DH⊥ BC$,$\therefore AE// DH$,$\therefore$ 四边形AEHD为平行四边形,$\therefore AE=DH=2$米.在$\mathrm{Rt}△ CDH$中,$∠ CHD=90°$,$\therefore CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$(米),$\therefore BH=BC+CH=(8+2\sqrt{3})$米,由题意知$\frac{BE}{BH}=\frac{1}{2}$,即$\frac{BE}{8+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$,解得$BE=(4+\sqrt{3})$米,$\therefore AB=AE+BE=2+4+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}\approx7.7$(米).
答:树的高度为7.7米.
配图：
解析
【分析】
(1) 求点D到水平地面的距离，可过D向BC的延长线作垂线DH，构造直角三角形CDH，已知斜坡与水平地面夹角为30°，CD长4米，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出D到地面的距离DH。
(2) 求树高AB，首先利用平行投影的性质：同一时刻垂直地面的物体高度与水平影长的比值为定值（本题为1:2）。通过作辅助线HE平行于AD，先证明四边形AEHD为平行四边形，得到AE=DH；再在Rt△CDH中用勾股定理求出CH的长度，得到BE对应的总水平影长BH，结合物高影长的比例求出BE的长度，最后将AE与BE相加即可得到树高。
【解析】
(1) 如图，过D作$DH⊥ BC$交BC的延长线于H。
在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，$∠ CHD=90°$，$∠ DCH=30°$，$CD=4$米，
$\therefore DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$（米）。
(2) 过H作$HE// AD$交AB于E，如图。
$\because AB⊥ BC$，$DH⊥ BC$，
$\therefore AE// DH$，又$\because HE// AD$，
$\therefore$ 四边形AEHD为平行四边形，$\therefore AE=DH=2$米。
在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，由勾股定理得：
$CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$（米），
$\therefore BH=BC+CH=(8+2\sqrt{3})$米。
由题意知同一时刻物高与水平影长的比为$\frac{1}{2}$，即$\frac{BE}{BH}=\frac{1}{2}$，
代入得$\frac{BE}{8+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，解得$BE=(4+\sqrt{3})$米，
$\therefore AB=AE+BE=2+4+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}\approx7.7$（米）。
【答案】
(1) 点D到水平地面的距离为2米；
(2) 树的高度约为7.7米。
【知识点】
解直角三角形应用，平行四边形判定与性质，平行投影性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的综合应用，解题关键是通过作辅助线将斜坡上的影长转化为等效水平影长，再结合平行投影的比例关系求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点D到水平地面的距离，可过D向BC的延长线作垂线DH，构造直角三角形CDH，已知斜坡与水平地面夹角为30°，CD长4米，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可直接求出D到地面的距离DH。
(2) 求树高AB，首先利用平行投影的性质：同一时刻垂直地面的物体高度与水平影长的比值为定值（本题为1:2）。通过作辅助线HE平行于AD，先证明四边形AEHD为平行四边形，得到AE=DH；再在Rt△CDH中用勾股定理求出CH的长度，得到BE对应的总水平影长BH，结合物高影长的比例求出BE的长度，最后将AE与BE相加即可得到树高。
【解析】
(1) 如图，过D作$DH⊥ BC$交BC的延长线于H。
在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，$∠ CHD=90°$，$∠ DCH=30°$，$CD=4$米，
$\therefore DH=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2$（米）。
(2) 过H作$HE// AD$交AB于E，如图。
$\because AB⊥ BC$，$DH⊥ BC$，
$\therefore AE// DH$，又$\because HE// AD$，
$\therefore$ 四边形AEHD为平行四边形，$\therefore AE=DH=2$米。
在$\mathrm{Rt}△ CDH$中，由勾股定理得：
$CH=\sqrt{CD^2-DH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$（米），
$\therefore BH=BC+CH=(8+2\sqrt{3})$米。
由题意知同一时刻物高与水平影长的比为$\frac{1}{2}$，即$\frac{BE}{BH}=\frac{1}{2}$，
代入得$\frac{BE}{8+2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，解得$BE=(4+\sqrt{3})$米，
$\therefore AB=AE+BE=2+4+\sqrt{3}=6+\sqrt{3}\approx7.7$（米）。
【答案】
(1) 点D到水平地面的距离为2米；
(2) 树的高度约为7.7米。
【知识点】
解直角三角形应用，平行四边形判定与性质，平行投影性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的综合应用，解题关键是通过作辅助线将斜坡上的影长转化为等效水平影长，再结合平行投影的比例关系求解，能锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
