4. (2025·成都期末)如图,某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱,立柱与文化墙均垂直于地面,且两立柱与墙的距离均为2.4米.小明观察到高为1.2米的矮立柱的影子完全落在地面上,其影长为1.6米;而高立柱的部分影子落在墙上.假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直,在不计立柱粗细与影子宽度的情况下,请回答下列问题:

(1)小明的身高为1.65米,此刻他的影子完全落在地面上,则小明的影长为多少米?
(2)此刻测得高立柱落在墙上的影长为1.3米,求高立柱的高度.

4.(1)设小明的影长为x米.由题意得$\frac{1.65}{x}=\frac{1.2}{1.6}$,解得$x=2.2$,经检验:$x=2.2$是分式方程的解.$\therefore$ 小明的影长为2.2米.
(2)如图,连接AE,作$FB// EA$. $\because AB// EF$,$\therefore$ 四边形ABFE是平行四边形,$\therefore AB=EF=1.3$米.设$BC=y$米,由题意知BC落在地面上的影长为2.4米,$\therefore \frac{y}{2.4}=\frac{1.2}{1.6}$,$\therefore y=1.8$,$\therefore AC=AB+BC=1.3+1.8=3.1$(米).答:高立柱的高度为3.1米.
配图：

【分析】
本题是平行投影的实际应用题，解题核心是：同一时刻，所有垂直于地面的物体，高度与落在地面的影长的比值固定。
(1)问直接利用该比值相等，建立小明身高和影长的比例关系即可求解；
(2)问中落在墙上的影子长度，对应高立柱中无需投到地面的部分高度，剩余部分高立柱的影长就是立柱到墙面的距离2.4米，再利用比值规律求出这部分高度，两部分相加即为高立柱总高度。
【解析】
(1) 设小明的影长为x米，根据同一时刻物高与影长成正比，列方程：
$\frac{1.2}{1.6}=\frac{1.65}{x}$
交叉计算得$1.2x=1.65×1.6$，解得$x=2.2$
经检验，$x=2.2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 如图，连接AE，作$FB// EA$。
$\because AB// EF$，$\therefore$ 四边形ABFE是平行四边形，$\therefore AB=EF=1.3$米。
设高立柱中影子落在地面的部分高度为y米，该部分影长为立柱到墙的距离2.4米，列方程：
$\frac{y}{2.4}=\frac{1.2}{1.6}$
解得$y=1.8$
因此高立柱总高度为$AC=AB+BC=1.3+1.8=3.1$米。
【答案】
(1) 小明的影长为2.2米；
(2) 高立柱的高度为3.1米。

【知识点】
平行投影的性质，比例的应用，平行四边形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查投影知识的实际应用，解题关键是抓住同一时刻平行投影下物高与影长成正比的规律，第二问需要合理转化墙上影子对应的立柱高度，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

5. 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量,下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图①,测得一根直立于平地、长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组:如图②,测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组:如图③,测得校园景灯(灯罩视为圆柱体,灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90 cm,灯杆被阳光照射到的部分PG长为50 cm,未被照射到的部分KP长为32 cm.
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.
(2)请根据甲、丙两组得到的信息,解答下列问题:
①求灯罩底面半径MK的长;
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积.

5.(1)由题意,可知$\mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ DEF$,$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$,即$\frac{80}{DE}=\frac{60}{900}$,$\therefore DE=1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$,$\therefore$ 学校旗杆的高度为12 m.
(2)①根据题意可知,$\mathrm{Rt}△ GPH∽\mathrm{Rt}△ KPM∽\mathrm{Rt}△ ABC$,$\therefore \frac{AC}{GH}=\frac{AB}{PG}$,$\frac{AC}{MK}=\frac{AB}{PK}$,即$\frac{60}{GH}=\frac{80}{50}$,$\frac{60}{MK}=\frac{80}{32}$,$\therefore GH=37.5\ \mathrm{cm}$,$MK=24\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 灯罩底面半径MK的长为24 cm.
②$\because$ 太阳光为平行光,$\therefore MH// LQ$,$\therefore ∠ MPK=∠ K'LN$,由题意,可知$MK=NK'$,$∠ MKP=∠ NK'L=90°$,$\therefore △ KPM≌△ K'LN(\mathrm{AAS})$,$\therefore LK'=PK=32\ \mathrm{cm}$.$\because MH// LQ$,$\therefore \mathrm{Rt}△ GPH∽\mathrm{Rt}△ GLQ$,$\therefore \frac{PG}{LG}=\frac{HG}{GQ}=\frac{HG}{HG+HQ}$,即$\frac{50}{LG}=\frac{37.5}{37.5+90}$,$\therefore LG=170\ \mathrm{cm}$,$\therefore KK'=170-50-32-32=56(\mathrm{cm})$,$\therefore$ 从正面看灯罩为矩形,面积为$24×2×56=2688(\mathrm{cm^2})$,
从上面看灯罩为圆形,面积为$π×24^2=576π(\mathrm{cm^2})$.

【分析】
(1) 同一时刻的阳光下，直立物体、物体的影子与太阳光线构成的直角三角形相似，物高与影长的比值是定值。因此可借助竹竿的高与影长的比值，结合旗杆的影长，列比例式求解旗杆的高度。
(2) ① 依旧利用同一时刻物高和影长的比值不变的规律，可得△KPM与甲组的△ABC相似，代入对应边长列比例式就能求出灯罩底面半径MK的长度。
② 首先根据太阳光线平行的性质证明△KPM≌△K'LN，得到LK'的长度；再结合△GPH与△GLQ相似求出灯杆总高度LG，进而计算出灯罩的高度KK'。从正面看灯罩是矩形，长为灯罩的直径（2倍MK），宽为灯罩高度KK'，代入矩形面积公式即可求解；从上面看灯罩是圆，半径为MK，代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由平行投影的性质可知$\mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ DEF$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$，
将$AB=80\ \mathrm{cm}$，$AC=60\ \mathrm{cm}$，$DF=900\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{80}{DE}=\frac{60}{900}$，
解得$DE=1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$。
(2) ① 由题意得$\mathrm{Rt}△ KPM∽\mathrm{Rt}△ ABC$，
$\therefore \frac{AB}{PK}=\frac{AC}{MK}$，
将$AB=80\ \mathrm{cm}$，$AC=60\ \mathrm{cm}$，$PK=32\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{80}{32}=\frac{60}{MK}$，
解得$MK=24\ \mathrm{cm}$。
② $\because$ 太阳光为平行光，$\therefore MH// LQ$，
$\therefore ∠ MPK=∠ K'LN$，
又$\because MK=NK'$，$∠ MKP=∠ NK'L=90°$，
$\therefore △ KPM≌△ K'LN(\mathrm{AAS})$，
$\therefore LK'=PK=32\ \mathrm{cm}$。
先求GH：由$\mathrm{Rt}△ GPH∽\mathrm{Rt}△ ABC$得$\frac{AB}{PG}=\frac{AC}{GH}$，
代入$AB=80\ \mathrm{cm}$，$AC=60\ \mathrm{cm}$，$PG=50\ \mathrm{cm}$得$\frac{80}{50}=\frac{60}{GH}$，解得$GH=37.5\ \mathrm{cm}$。
再由$MH// LQ$得$\mathrm{Rt}△ GPH∽\mathrm{Rt}△ GLQ$，
$\therefore \frac{PG}{LG}=\frac{HG}{HG+HQ}$，
代入$PG=50\ \mathrm{cm}$，$HG=37.5\ \mathrm{cm}$，$HQ=90\ \mathrm{cm}$得：
$\frac{50}{LG}=\frac{37.5}{37.5+90}$，
解得$LG=170\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 灯罩高度$KK'=170-50-32-32=56(\mathrm{cm})$。
从正面看灯罩为矩形，长为$2MK=48\ \mathrm{cm}$，宽为$56\ \mathrm{cm}$，面积为$48×56=2688(\mathrm{cm^2})$；
从上面看灯罩为半径$24\ \mathrm{cm}$的圆，面积为$π×24^2=576π(\mathrm{cm^2})$。
【答案】
(1) 学校旗杆的高度为12 m；
(2) ① 灯罩底面半径MK的长为24 cm；
② 从正面看灯罩得到的图形面积为$2688\ \mathrm{cm^2}$，从上面看灯罩得到的图形面积为$576π\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查了平行投影规律、相似三角形和全等三角形的综合应用，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，准确找到对应三角形建立等量关系，贴近生活实际，能有效提升将实际问题转化为几何问题的建模能力。
【难度系数】
0.6