15. 下列判断正确的是 （）

A.若$|a|=|b|$，则$a=b$
B.若$|a|=|b|$，则$a=-b$
C.若$a=b$，则$|a|=|b|$
D.若$a=-b$，则$|a|=-|b|$

C

【分析】
本题考查绝对值的相关性质，解题时先回忆绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可得：两个数的绝对值相等时，这两个数相等或互为相反数；反过来，若两个数相等或互为相反数，则它们的绝对值一定相等。我们可以通过举反例的方法逐一判断每个选项的正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当a=2，b=-2时，|a|=|2|=2，|b|=|-2|=2，满足|a|=|b|，但2≠-2，故A错误；
B选项：当a=2，b=2时，|a|=|b|=2，满足|a|=|b|，但2≠-2，故B错误；
C选项：如果两个数相等，那么它们到原点的距离必然相等，即无论a、b是正数、负数还是0，只要a=b，就有|a|=|b|，故C正确；
D选项：当a=2，b=-2时，满足a=-b，此时|a|=2，-|b|=-2，2≠-2，且绝对值具有非负性，|a|不可能等于负数，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；相反数的概念
【点评】
本题是绝对值相关的基础判断题，举反例是解决这类题型的常用方法，熟练掌握绝对值的非负性以及绝对值和相反数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85

16.如图，图中数轴的单位长度为1.如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）


A.－4
B.－5
C.－6
D.－2

A

【分析】
解题时首先结合“绝对值相等的两个数到原点的距离相等”这一性质，确定原点是线段BC的中点；接下来先数出B、C之间的单位长度，算出中点位置即原点的位置，再确定点B表示的数，最后根据点A和点B的位置关系计算点A表示的数即可。
【解析】
1. 计算B、C的距离：观察数轴可知，点B和点C之间相隔4个单位长度，已知数轴单位长度为1，因此BC的长度为4。
2. 确定原点位置：因为点B、C表示的数的绝对值相等，说明这两个数互为相反数，原点是线段BC的中点，因此原点在点B右侧2个单位长度的位置。
3. 求点B表示的数：原点对应数字0，点B在原点左侧2个单位长度，因此点B表示的数是-2。
4. 求点A表示的数：点A在点B左侧2个单位长度，因此点A表示的数为$-2 - 2 = -4$。
【答案】
A
【知识点】
数轴的认识；绝对值的意义；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用绝对值的几何意义确定原点的位置，再结合数轴上点的左右位置关系计算对应点表示的数，能很好地考查对数轴、绝对值、相反数相关概念的理解。
【难度系数】
0.8

17. 化简$|π - 4| + |3 - π| =$ .

1

【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题第一步先判断两个绝对值内式子的正负性：已知π≈3.14，可得π-4＜0，3-π＜0；第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号；第三步合并化简即可得出结果。
【解析】
解：
∵π≈3.14，
∴π-4＜0，3-π＜0，
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得：
|π-4|=-(π-4)=4-π，
|3-π|=-(3-π)=π-3，
∴原式=4-π+π-3=1。
【答案】
1
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 实数大小比较
【点评】
本题是绝对值化简的基础题型，解题核心是先准确判断绝对值内表达式的正负，再根据绝对值的性质去符号运算，掌握绝对值的性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

18. 如图，若有理数a的绝对值是有理数b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点.(均选填“A”“B”“C”或“D”)

C D 【解析】由题图可知,a,b所对应的点相距4个单位长度,且$b＞a$,所以$b-a=4$.①当$a＞0,b＞0$时,由题意可得$|a|=3|b|$,即$a=3b$.将$a=3b$代入$b-a=4$,得$b-3b=4$,解得$b=-2$,则$a=-6$,不符合题意.②当$a＜0,b＜0$时,由题意可得$|a|=3|b|$,即$a=3b$,同①易得$a=-6,b=-2$,故数轴的原点在点D.③当$a＜0,b＞0$时,由题意可得$|a|=3|b|$,即$-a=3b$,同①易得$a=-3,b=1$,故数轴的原点在点C.综上可得,数轴的原点在点C或点D.

【分析】
解题时首先观察数轴，可知a、b两点相距4个单位长度，且b在a右侧，因此b＞a，可得$b-a=4$。接下来根据$|a|=3|b|$的条件，需要分三种情况讨论a、b的正负性：①a、b都为正；②a、b都为负；③a负b正。分别将绝对值条件转化为等式，代入$b-a=4$求解，判断解是否符合对应情况的正负前提，再根据得到的a、b的值确定数轴原点的位置即可。
【解析】
由数轴可知，a、b对应的点之间相距4个单位长度，且数轴上右边的数大于左边的数，故$b＞a$，即$b-a=4$。
已知$|a|=3|b|$，分三种情况讨论：
① 当$a＞0，b＞0$时，去掉绝对值得$a=3b$，将其代入$b-a=4$，得$b-3b=4$，解得$b=-2$，$a=-6$，均为负数，不符合$a＞0，b＞0$的前提，舍去该情况。
② 当$a＜0，b＜0$时，去掉绝对值得$-a=-3b$，即$a=3b$，代入$b-a=4$，得$b-3b=4$，解得$b=-2$，$a=-6$，符合前提。此时b对应的值为-2，因此原点在b右侧2个单位长度处，即点D。
③ 当$a＜0，b＞0$时，去掉绝对值得$-a=3b$，即$a=-3b$，代入$b-a=4$，得$b-(-3b)=4$，解得$b=1$，$a=-3$，符合前提。此时a对应的值为-3，因此原点在a右侧3个单位长度处，即点C。
综上，数轴的原点在点C或点D。
【答案】
C；D
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；分类讨论
【点评】
本题综合考查数轴与绝对值的相关知识，解题的核心是结合数轴得到a、b的差的关系，再通过分类讨论a、b的正负性，将绝对值方程转化为普通方程求解，注意要验证解是否符合对应情况的正负要求，避免错解漏解。
【难度系数】
0.6

19.某汽车配件厂生产一批圆形的零件，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记为正数，比标准直径短的毫米数记为负数，检验记录如下：

(1)哪个零件最标准？用学过的绝对值知识来说明；
(2)若规定与标准直径相差不大于0.2 mm为合格产品，则6件产品中有几件是不合格产品？

(1)4号零件最标准.因为绝对值最小,所以最接近标准直径.
(2)有2件是不合格产品.因为与标准直径相差不超过0.2 mm为合格产品,$|+0.5|=0.5,|-0.3|=0.3$,所以1,2号零件为不合格产品.

【分析】
(1)要判断哪个零件最标准，首先明确题中正负数的含义：记录的数是零件实际直径和标准直径的差值，差值的绝对值代表实际直径与标准直径的偏差程度，绝对值越小说明和标准直径相差越小，就越标准。解题时先计算6个偏差值的绝对值，再比较绝对值大小，绝对值最小的对应的零件就是最标准的。
(2)合格产品的判断标准是“与标准直径相差不大于0.2mm”，也就是偏差的绝对值≤0.2mm，解题时将每个偏差的绝对值和0.2比较，统计绝对值大于0.2的零件数量，就是不合格产品的数量。
【解析】
(1)计算每个零件直径偏差的绝对值：
$|+0.5|=0.5$，$|-0.3|=0.3$，$|+0.1|=0.1$，$|0|=0$，$|-0.1|=0.1$，$|+0.2|=0.2$
比较绝对值大小：$0＜0.1=0.1＜0.2＜0.3＜0.5$
其中最小的绝对值是0，对应4号零件，因此4号零件最标准。
(2)根据合格要求，偏差绝对值≤0.2mm为合格，对比计算结果：
$0.5＞0.2$，$0.3＞0.2$，其余偏差的绝对值均≤0.2，因此1号、2号零件不合格，共2件不合格产品。
【答案】
(1)4号零件最标准，因为绝对值最小，所以最接近标准直径。
(2)有2件是不合格产品，1号、2号零件为不合格产品。
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的计算，正负数的实际应用
【点评】
本题是绝对值在实际生产中的应用类题目，解题核心是理解绝对值可以表示数值的偏差程度，结合题目给出的判断标准即可顺利求解，能锻炼将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

20. 观察比较：$|0|=|0|,|1|=|1|,|1|=|-1|,$
$|2|=|2|,|2|=|-2|,······,|n|=|n|,$
$|n|=|-n|.$
(1)如果$|a|=|4|$,那么a是什么数？
(2)a,b表示任意有理数,如果$|a|=|b|$,那么a与b有什么关系？

(1)根据题意,相等或互为相反数的两个数的绝对值相等,所以a的值为4或－4.
(2)根据题意,相等或互为相反数的两个数的绝对值相等,所以a与b相等或互为相反数.

【分析】
首先观察题目给出的等式，可以总结出核心规律：两个数的绝对值相等时，这两个数要么相等，要么互为相反数。解决第(1)问时，将|a|=|4|代入该规律，即可推出a的所有可能取值；解决第(2)问时，把具体数值替换为任意有理数a、b，沿用上述规律就能得到a与b的关系。
【解析】
(1) 根据题中给出的示例可知，相等或互为相反数的两个数的绝对值相等。已知|a|=|4|，因此a和4相等或互为相反数，即a=4或a=-4。
(2) 当a、b为任意有理数时，同样遵循“绝对值相等的两个数相等或互为相反数”的规律，因此若|a|=|b|，则a与b相等，或者互为相反数。
【答案】
(1) a的值为4或－4；
(2) a与b相等或互为相反数。
【知识点】
绝对值的性质，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，通过从具体实例归纳规律再推广到一般情况的考查方式，帮助大家理解绝对值与相反数的内在联系，只要掌握绝对值的相关性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

21. 同学们都知道，$|4 - (-2)|$表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理$|x - 3|$也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离。试探索：
(1)$|4 - (-2)|=$；
(2)若$|x - 2|=5$，则$x=$；
(3)请你找出所有符合条件的整数$x$，使得$|1 - x| + |x + 2|=3$。

(1)6 【解析】$|4-(-2)|$表示4与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,所以$|4-(-2)|=6.$
(2)7或－3 【解析】$|x-2|=5$表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5,若x的对应点在2的对应点的左边,则$x=-3$;若x的对应点在2的对应点的右边,则$x=7$.综上,x为7或－3.
(3)由题意可知,$|1-x|+|x+2|=3$表示数x的对应点到1和－2的对应点的距离之和为3,所以$-2≤ x≤1$,所以符合条件的整数x的值为－2或－1或0或1.

【分析】
这道题利用绝对值的几何意义解题，即$|a-b|$表示数轴上$a$、$b$两数对应点之间的距离：
1. 第(1)问可以直接计算差的绝对值，也可以通过数轴上4和-2的位置直接求两点距离；
2. 第(2)问$|x-2|=5$的含义是x到2的距离为5，x可能在2的左侧或右侧，分两种情况计算即可；
3. 第(3)问$|1-x|+|x+2|$表示x到1的距离与x到-2的距离之和，先算出1和-2两点本身的距离就是3，因此只要x在-2和1之间（包含端点），距离和就等于3，再找出区间内的整数即可。
【解析】
(1) 解法1：先计算括号内的运算，$|4 - (-2)| = |4 + 2| = |6| = 6$；
解法2：根据绝对值几何意义，4和-2在数轴上的距离为6，因此结果为6。
(2) $|x - 2|=5$表示数轴上x对应的点到2对应的点的距离为5：
① 若x在2的左侧，$x = 2 - 5 = -3$；
② 若x在2的右侧，$x = 2 + 5 = 7$；
综上，x的值为7或-3。
(3) $|1 - x|$表示x到1的距离，$|x + 2|=|x - (-2)|$表示x到-2的距离，两者之和为3：
先计算1和-2在数轴上的距离为$|1 - (-2)|=3$，因此当x在-2和1之间（包含-2和1）时，x到两个点的距离和等于3，即$-2 ≤ x ≤1$。
该区间内的整数为：-2、-1、0、1。
【答案】
(1)6；(2)7或-3；(3)-2、-1、0、1
【知识点】
绝对值的几何意义、数轴的应用、绝对值方程求解
【点评】
本题是绝对值应用的典型题型，将绝对值的代数运算和数轴上两点距离的几何含义结合，体现了数形结合的思想，可帮助学生更直观地简化绝对值相关的计算和求解问题。
【难度系数】
0.75