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10. 下列说法:① 若$a+b=0$,则$\frac{a}{b}=-1$;② 若$a+b＜0$,且$\frac{b}{a}＞0$,则$|a+3b|=-a-3b$;③ 若$|a|＞|b|$,则$(a+b)(a-b)＞0$;④ 若$a+b+c＜0,ab＞0,c＞0$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}=-1$.其中正确的有
②③④
(填序号).答案
10. ②③④
解析
【分析】
我们需要逐一判断4个说法的正确性，解题时要结合有理数运算的符号规则、绝对值的性质，同时注意特殊情况（如分母不能为0）：分析①时要考虑除数为0无意义的情况；分析②先根据分式的符号判断a、b同号，再结合和为负判断a、b均为负，进而化简绝对值；分析③分a为正、a为负两种情况，根据绝对值大小判断两个因式的符号即可判断乘积的正负；分析④先根据乘法符号判断a、b同号，再结合总和为负判断a、b均为负，最后代入计算即可。
【解析】
逐个分析各说法：
① 若$a+b=0$，则$a=-b$，当$b=0$时，$\frac{a}{b}$的分母为0，无意义，故①错误；
② 由$\frac{b}{a}＞0$可知$a$、$b$同号，结合$a+b＜0$可得$a＜0$、$b＜0$，因此$a+3b＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a+3b|=-(a+3b)=-a-3b$，故②正确；
③ 分两种情况讨论：当$a$为正数时，因为$|a|＞|b|$，所以$a+b$的符号与$a$一致为正，$a-b$的符号也为正，两个正数的乘积为正；当$a$为负数时，因为$|a|＞|b|$，所以$a+b$的符号与$a$一致为负，$a-b$的符号也为负，两个负数的乘积为正，因此总有$(a+b)(a-b)＞0$，故③正确；
④ 由$ab＞0$可知$a$、$b$同号，又$c＞0$、$a+b+c＜0$，则$a+b＜-c＜0$，因此$a＜0$、$b＜0$，代入计算得$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}=-1-1+1=-1$，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
1.绝对值的性质 2.有理数符号判断 3.分式有意义的条件
【点评】
本题属于有理数运算的综合基础题，解题关键是牢记分母不为0的限制，熟练掌握有理数运算的符号规律和绝对值的化简规则，逐一验证即可得出结论，易错点是容易忽略①中分母为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
我们需要逐一判断4个说法的正确性，解题时要结合有理数运算的符号规则、绝对值的性质，同时注意特殊情况（如分母不能为0）：分析①时要考虑除数为0无意义的情况；分析②先根据分式的符号判断a、b同号，再结合和为负判断a、b均为负，进而化简绝对值；分析③分a为正、a为负两种情况，根据绝对值大小判断两个因式的符号即可判断乘积的正负；分析④先根据乘法符号判断a、b同号，再结合总和为负判断a、b均为负，最后代入计算即可。
【解析】
逐个分析各说法：
① 若$a+b=0$，则$a=-b$，当$b=0$时，$\frac{a}{b}$的分母为0，无意义，故①错误；
② 由$\frac{b}{a}＞0$可知$a$、$b$同号，结合$a+b＜0$可得$a＜0$、$b＜0$，因此$a+3b＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a+3b|=-(a+3b)=-a-3b$，故②正确；
③ 分两种情况讨论：当$a$为正数时，因为$|a|＞|b|$，所以$a+b$的符号与$a$一致为正，$a-b$的符号也为正，两个正数的乘积为正；当$a$为负数时，因为$|a|＞|b|$，所以$a+b$的符号与$a$一致为负，$a-b$的符号也为负，两个负数的乘积为正，因此总有$(a+b)(a-b)＞0$，故③正确；
④ 由$ab＞0$可知$a$、$b$同号，又$c＞0$、$a+b+c＜0$，则$a+b＜-c＜0$，因此$a＜0$、$b＜0$，代入计算得$\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{c}=-1-1+1=-1$，故④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
1.绝对值的性质 2.有理数符号判断 3.分式有意义的条件
【点评】
本题属于有理数运算的综合基础题，解题关键是牢记分母不为0的限制，熟练掌握有理数运算的符号规律和绝对值的化简规则，逐一验证即可得出结论，易错点是容易忽略①中分母为0的特殊情况。
【难度系数】
0.6
11. 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折n次可以得到
$2^n-1$
条折痕。答案
11. $2^n-1$
解析
【分析】
我们可以先从已知的对折1次、2次、3次的折痕数量入手，分别列出对应的结果，再对比对折次数，寻找两者之间的数量规律。首先观察每次对折后纸张被分成的份数，会发现份数是前一次的2倍，而折痕的数量始终比总份数少1，结合乘方的意义就能推导出对折n次的折痕数量。
【解析】
我们先列举前几次对折的折痕数：
1. 对折1次：折痕有1条，此时纸张被分成$2=2^1$份，折痕数$1=2^1-1$；
2. 对折2次：折痕有3条，此时纸张被分成$4=2^2$份，折痕数$3=2^2-1$；
3. 对折3次：折痕有7条，此时纸张被分成$8=2^3$份，折痕数$7=2^3-1$；
以此类推，每对折1次，纸张被分成的份数是上一次的2倍，那么对折n次后，纸张总共被分成$2^n$份，折痕数比总份数少1，因此折痕数为$2^n-1$。
【答案】
$2^n-1$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 乘方的应用
【点评】
本题是典型的归纳规律类题型，需要从特殊的个例推导到一般结论，解题时要注意观察每次操作后数量的变化特点，找到变化的共性规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先从已知的对折1次、2次、3次的折痕数量入手，分别列出对应的结果，再对比对折次数，寻找两者之间的数量规律。首先观察每次对折后纸张被分成的份数，会发现份数是前一次的2倍，而折痕的数量始终比总份数少1，结合乘方的意义就能推导出对折n次的折痕数量。
【解析】
我们先列举前几次对折的折痕数：
1. 对折1次：折痕有1条，此时纸张被分成$2=2^1$份，折痕数$1=2^1-1$；
2. 对折2次：折痕有3条，此时纸张被分成$4=2^2$份，折痕数$3=2^2-1$；
3. 对折3次：折痕有7条，此时纸张被分成$8=2^3$份，折痕数$7=2^3-1$；
以此类推，每对折1次，纸张被分成的份数是上一次的2倍，那么对折n次后，纸张总共被分成$2^n$份，折痕数比总份数少1，因此折痕数为$2^n-1$。
【答案】
$2^n-1$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 乘方的应用
【点评】
本题是典型的归纳规律类题型，需要从特殊的个例推导到一般结论，解题时要注意观察每次操作后数量的变化特点，找到变化的共性规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
12. 定义一种对正整数 $ n $ 的“F”运算：
① 当 $ n $ 为奇数时，$ F(n)=3n+1 $；② 当 $ n $ 为偶数时，$ F(n)=\dfrac{n}{2^k} $（其中 $ k $ 是使 $ F(n) $ 为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：当 $ n=13 $ 时，
当 $ n=24 $ 时，第100次“F”运算的结果是
① 当 $ n $ 为奇数时，$ F(n)=3n+1 $；② 当 $ n $ 为偶数时，$ F(n)=\dfrac{n}{2^k} $（其中 $ k $ 是使 $ F(n) $ 为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：当 $ n=13 $ 时，
当 $ n=24 $ 时，第100次“F”运算的结果是
4
。答案
12. 4
解析
【分析】
这是一道新定义运算的规律探究题，解题思路如下：首先准确理解“F”运算的两种规则：当n为奇数时按3n+1计算，当n为偶数时要除以2的k次方，直到结果为奇数。我们先从n=24开始，依次计算前几次“F”运算的结果，观察发现结果会进入固定的循环周期，找到周期后，用总次数减去循环前的次数，再除以周期看余数，就能快速得到第100次的运算结果。
【解析】
我们按规则逐步计算n=24时的运算结果：
第1次：24是偶数，24÷2³=24÷8=3（k=3时结果为奇数），结果是3；
第2次：3是奇数，3×3+1=10，结果是10；
第3次：10是偶数，10÷2¹=5（k=1时结果为奇数），结果是5；
第4次：5是奇数，3×5+1=16，结果是16；
第5次：16是偶数，16÷2⁴=1（k=4时结果为奇数），结果是1；
第6次：1是奇数，3×1+1=4，结果是4；
第7次：4是偶数，4÷2²=1（k=2时结果为奇数），结果是1；
第8次：1是奇数，3×1+1=4，结果是4；
……
观察可知：从第5次开始，运算结果按“1、4”为一个周期循环出现，周期为2。
循环从第5次开始，先减去前4次不循环的部分：100-4=96。
96÷2=48，余数为0，说明第100次的结果对应周期的最后一个数，即4。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，周期找规律，有理数运算
【点评】
本题属于新定义类规律探究题，核心是先正确理解运算规则，准确计算前若干次的运算结果，找到循环周期后即可简化计算，解题时要注意偶数运算中k的取值必须保证最终结果为奇数，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算的规律探究题，解题思路如下：首先准确理解“F”运算的两种规则：当n为奇数时按3n+1计算，当n为偶数时要除以2的k次方，直到结果为奇数。我们先从n=24开始，依次计算前几次“F”运算的结果，观察发现结果会进入固定的循环周期，找到周期后，用总次数减去循环前的次数，再除以周期看余数，就能快速得到第100次的运算结果。
【解析】
我们按规则逐步计算n=24时的运算结果：
第1次：24是偶数，24÷2³=24÷8=3（k=3时结果为奇数），结果是3；
第2次：3是奇数，3×3+1=10，结果是10；
第3次：10是偶数，10÷2¹=5（k=1时结果为奇数），结果是5；
第4次：5是奇数，3×5+1=16，结果是16；
第5次：16是偶数，16÷2⁴=1（k=4时结果为奇数），结果是1；
第6次：1是奇数，3×1+1=4，结果是4；
第7次：4是偶数，4÷2²=1（k=2时结果为奇数），结果是1；
第8次：1是奇数，3×1+1=4，结果是4；
……
观察可知：从第5次开始，运算结果按“1、4”为一个周期循环出现，周期为2。
循环从第5次开始，先减去前4次不循环的部分：100-4=96。
96÷2=48，余数为0，说明第100次的结果对应周期的最后一个数，即4。
【答案】
4
【知识点】
新定义运算，周期找规律，有理数运算
【点评】
本题属于新定义类规律探究题，核心是先正确理解运算规则，准确计算前若干次的运算结果，找到循环周期后即可简化计算，解题时要注意偶数运算中k的取值必须保证最终结果为奇数，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
13. 计算:
(1) $\frac{8}{9} × [0.75 - (\frac{7}{16} - 0.25)]$；
(2) $-16 - 3^2 ÷ (-2 + \frac{1}{2})$；
(3) $(-2)^3 ÷ 4 + 6 × \left| \frac{1}{3} - 1 \right| - \frac{1}{2} × 14$；
(4) $(-1)^{2023} + (-\frac{1}{3}) + (-\frac{3}{8} + \frac{1}{4}) × (-2)^3$；
(5) $(1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{8}) + (-\frac{8}{3})$；
(6) $-1 - [1 - (1 - 0.5 × \frac{1}{3})] × [2 - (-3)^2]$。
(1) $\frac{8}{9} × [0.75 - (\frac{7}{16} - 0.25)]$；
(2) $-16 - 3^2 ÷ (-2 + \frac{1}{2})$；
(3) $(-2)^3 ÷ 4 + 6 × \left| \frac{1}{3} - 1 \right| - \frac{1}{2} × 14$；
(4) $(-1)^{2023} + (-\frac{1}{3}) + (-\frac{3}{8} + \frac{1}{4}) × (-2)^3$；
(5) $(1\frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) ÷ (-\frac{7}{8}) + (-\frac{8}{3})$；
(6) $-1 - [1 - (1 - 0.5 × \frac{1}{3})] × [2 - (-3)^2]$。
答案
13. (1) $\frac{1}{2}$ (2) $-10$ (3) $-5$ (4) $-\frac{1}{3}$ (5) $-3$ (6) $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这6道题均为有理数混合运算题，解题需严格遵循运算顺序：先算乘方、去绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。计算过程中可观察式子特点，灵活运用加法交换律、乘法分配律等运算律简化计算，同时要重点关注符号处理，避免因符号错误失分。
【解析】
(1) 先去小括号，将小数凑整计算：
原式=$\frac{8}{9} × [0.75 - \frac{7}{16} + 0.25]$
=$\frac{8}{9} × [(0.75 + 0.25) - \frac{7}{16}]$
=$\frac{8}{9} × (1 - \frac{7}{16})$
=$\frac{8}{9} × \frac{9}{16}$
=$\frac{1}{2}$
(2) 先算乘方和括号内的运算：
原式=$-16 - 9 ÷ (-\frac{3}{2})$
=$-16 - 9 × (-\frac{2}{3})$
=$-16 + 6$
=$-10$
(3) 先算乘方、去绝对值，再算乘除，最后算加减：
原式=$-8 ÷ 4 + 6 × \left| -\frac{2}{3} \right| - 7$
=$-2 + 6 × \frac{2}{3} -7$
=$-2 + 4 -7$
=$-5$
(4) 先算乘方，再算乘法，最后算加减：
原式=$-1 - \frac{1}{3} + (-\frac{3}{8} + \frac{2}{8}) × (-8)$
=$-1 - \frac{1}{3} + (-\frac{1}{8}) × (-8)$
=$-1 - \frac{1}{3} + 1$
=$-\frac{1}{3}$
(5) 先将除法转化为乘法，利用乘法分配律简化计算：
原式=$(\frac{7}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{8}{7}) - \frac{8}{3}$
=$\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7}) - \frac{7}{8}×(-\frac{8}{7}) - \frac{7}{12}×(-\frac{8}{7}) - \frac{8}{3}$
=$-2 + 1 + \frac{2}{3} - \frac{8}{3}$
=$-1 - 2$
=$-3$
(6) 按从内到外的顺序计算括号内的运算，再算乘法，最后算加减：
原式=$-1 - [1 - (1 - \frac{1}{2}×\frac{1}{3})] × (2 - 9)$
=$-1 - [1 - (1 - \frac{1}{6})] × (-7)$
=$-1 - (1 - \frac{5}{6}) × (-7)$
=$-1 - \frac{1}{6} × (-7)$
=$-1 + \frac{7}{6}$
=$\frac{1}{6}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $-10$；(3) $-5$；(4) $-\frac{1}{3}$；(5) $-3$；(6) $\frac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的应用，绝对值运算
【点评】
本组题目核心考查有理数混合运算的规则，计算时牢记运算顺序是基础，细心处理符号、合理运用运算律是提升正确率和计算速度的关键，日常练习要养成先观察式子结构再动笔计算的习惯。
【难度系数】
0.7
这6道题均为有理数混合运算题，解题需严格遵循运算顺序：先算乘方、去绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的，按小括号、中括号的顺序依次计算。计算过程中可观察式子特点，灵活运用加法交换律、乘法分配律等运算律简化计算，同时要重点关注符号处理，避免因符号错误失分。
【解析】
(1) 先去小括号，将小数凑整计算：
原式=$\frac{8}{9} × [0.75 - \frac{7}{16} + 0.25]$
=$\frac{8}{9} × [(0.75 + 0.25) - \frac{7}{16}]$
=$\frac{8}{9} × (1 - \frac{7}{16})$
=$\frac{8}{9} × \frac{9}{16}$
=$\frac{1}{2}$
(2) 先算乘方和括号内的运算：
原式=$-16 - 9 ÷ (-\frac{3}{2})$
=$-16 - 9 × (-\frac{2}{3})$
=$-16 + 6$
=$-10$
(3) 先算乘方、去绝对值，再算乘除，最后算加减：
原式=$-8 ÷ 4 + 6 × \left| -\frac{2}{3} \right| - 7$
=$-2 + 6 × \frac{2}{3} -7$
=$-2 + 4 -7$
=$-5$
(4) 先算乘方，再算乘法，最后算加减：
原式=$-1 - \frac{1}{3} + (-\frac{3}{8} + \frac{2}{8}) × (-8)$
=$-1 - \frac{1}{3} + (-\frac{1}{8}) × (-8)$
=$-1 - \frac{1}{3} + 1$
=$-\frac{1}{3}$
(5) 先将除法转化为乘法，利用乘法分配律简化计算：
原式=$(\frac{7}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) × (-\frac{8}{7}) - \frac{8}{3}$
=$\frac{7}{4}×(-\frac{8}{7}) - \frac{7}{8}×(-\frac{8}{7}) - \frac{7}{12}×(-\frac{8}{7}) - \frac{8}{3}$
=$-2 + 1 + \frac{2}{3} - \frac{8}{3}$
=$-1 - 2$
=$-3$
(6) 按从内到外的顺序计算括号内的运算，再算乘法，最后算加减：
原式=$-1 - [1 - (1 - \frac{1}{2}×\frac{1}{3})] × (2 - 9)$
=$-1 - [1 - (1 - \frac{1}{6})] × (-7)$
=$-1 - (1 - \frac{5}{6}) × (-7)$
=$-1 - \frac{1}{6} × (-7)$
=$-1 + \frac{7}{6}$
=$\frac{1}{6}$
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $-10$；(3) $-5$；(4) $-\frac{1}{3}$；(5) $-3$；(6) $\frac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算，运算律的应用，绝对值运算
【点评】
本组题目核心考查有理数混合运算的规则，计算时牢记运算顺序是基础，细心处理符号、合理运用运算律是提升正确率和计算速度的关键，日常练习要养成先观察式子结构再动笔计算的习惯。
【难度系数】
0.7
