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14. 已知$a$与$b$互为相反数，且$a,b$均不为零，$c$是最大的负整数，$d$是倒数等于本身的数，$x$是平方等于9的数，试求$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}$的值。
答案
14. 因为$a$与$b$互为相反数,且$a,b$均不为零,$c$是最大的负整数,$d$是倒数等于本身的数,$x$是平方等于9的数,所以$a+b=0,\frac{a}{b}=-1,c=-1,d=\pm1,x=\pm3$. 当$x=3$时,$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=3+(-1)+2×(-1)-\frac{0}{\pm1}=3+(-1)+(-2)=0$;当$x=-3$时,$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=-3+(-1)+2×(-1)-\frac{0}{\pm1}=-3+(-1)+(-2)=-6$. 综上所述,$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}$的值是0或$-6$.
解析
【分析】
解题时首先要根据题目给出的各类概念，逐一推导对应字母或式子的取值：先利用互为相反数的性质求出$a+b$和$\frac{a}{b}$的值，再根据最大负整数、倒数等于自身的数、平方等于9的数的定义分别得到$c$、$d$、$x$的取值，注意$d$和$x$均有两种可能，但由于$\frac{a+b}{d}$的分子为0，$d$的取值不会影响这部分的结果，最后分$x=3$和$x=-3$两种情况代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵$a$与$b$互为相反数，且$a,b$均不为零，
∴$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$；
∵$c$是最大的负整数，
∴$c=-1$；
∵$d$是倒数等于本身的数，
∴$d=\pm1$；
∵$x$是平方等于9的数，
∴$x=\pm3$。
∵$a+b=0$，因此无论$d$取1还是$-1$，$\frac{a+b}{d}=\frac{0}{d}=0$，分两种情况计算：
①当$x=3$时，
$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=3+(-1)+2×(-1)-0=0$；
②当$x=-3$时，
$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=-3+(-1)+2×(-1)-0=-6$。
【答案】
0或$-6$
【知识点】
1.相反数的性质
2.有理数的相关概念
3.代数式求值
【点评】
本题综合考查有理数基础概念的应用，解题的核心是准确掌握相反数、倒数、平方等基础概念的定义，遇到存在多个取值的情况时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据题目给出的各类概念，逐一推导对应字母或式子的取值：先利用互为相反数的性质求出$a+b$和$\frac{a}{b}$的值，再根据最大负整数、倒数等于自身的数、平方等于9的数的定义分别得到$c$、$d$、$x$的取值，注意$d$和$x$均有两种可能，但由于$\frac{a+b}{d}$的分子为0，$d$的取值不会影响这部分的结果，最后分$x=3$和$x=-3$两种情况代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵$a$与$b$互为相反数，且$a,b$均不为零，
∴$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$；
∵$c$是最大的负整数，
∴$c=-1$；
∵$d$是倒数等于本身的数，
∴$d=\pm1$；
∵$x$是平方等于9的数，
∴$x=\pm3$。
∵$a+b=0$，因此无论$d$取1还是$-1$，$\frac{a+b}{d}=\frac{0}{d}=0$，分两种情况计算：
①当$x=3$时，
$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=3+(-1)+2×(-1)-0=0$；
②当$x=-3$时，
$x+\frac{a}{b}+2c-\frac{a+b}{d}=-3+(-1)+2×(-1)-0=-6$。
【答案】
0或$-6$
【知识点】
1.相反数的性质
2.有理数的相关概念
3.代数式求值
【点评】
本题综合考查有理数基础概念的应用，解题的核心是准确掌握相反数、倒数、平方等基础概念的定义，遇到存在多个取值的情况时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15. 应用规律,解决问题.
(1) 定义:$a$为不等于1的有理数,我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数,如:2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1,-1$的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$,已知$a_1=-\frac{1}{3}$,① $a_2$是$a_1$的差倒数,则$a_2=$
(2) 我们知道:$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3},\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4},…,\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$,试根据上面规律,计算:$(\frac{1}{19}-1)×(\frac{1}{20}-1)×(\frac{1}{21}-1)×…×(\frac{1}{2023}-1)$.
(1) 定义:$a$为不等于1的有理数,我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数,如:2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1,-1$的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$,已知$a_1=-\frac{1}{3}$,① $a_2$是$a_1$的差倒数,则$a_2=$
$\frac{3}{4}$
;② $a_3$是$a_2$的差倒数,则$a_3=$$4$
;③ $a_4$是$a_3$的差倒数,则$a_4=$$-\frac{1}{3}$
;④ 以此类推,$a_{2021}=$$\frac{3}{4}$
;(2) 我们知道:$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3},\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4},…,\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$,试根据上面规律,计算:$(\frac{1}{19}-1)×(\frac{1}{20}-1)×(\frac{1}{21}-1)×…×(\frac{1}{2023}-1)$.
答案
15. (1) ① $\frac{3}{4}$ ② $4$ ③ $-\frac{1}{3}$ ④ $\frac{3}{4}$ (2) $-\frac{18}{2023}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：先明确差倒数的定义$\frac{1}{1-a}$（$a≠1$），①②③直接将对应数值代入定义计算；④通过计算前几项找到数值循环的周期，再用2021除以周期，根据余数确定$a_{2021}$对应的数值。
(2) 解题思路：先计算每个括号内的减法得到负分数，先根据负因数的个数判断乘积的符号，再观察分数的分子分母可连锁约分，结合给出的乘法规律计算最终结果。
【解析】
(1) 已知$a_1=-\frac{1}{3}$，根据差倒数定义计算：
① $a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
② $a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
③ $a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$；
④ 观察计算结果可得：数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环。
计算$2021÷3=673······2$，余数为2，对应周期内第2个数，因此$a_{2021}=a_2=\frac{3}{4}$。
(2) 先化简每个括号内的算式：
$\frac{1}{19}-1=-\frac{18}{19}$，$\frac{1}{20}-1=-\frac{19}{20}$，$\frac{1}{21}-1=-\frac{20}{21}$，……，$\frac{1}{2023}-1=-\frac{2022}{2023}$。
负因数总个数为$2023-19+1=2005$个，2005是奇数，因此乘积为负。
原式$=-(\frac{18}{19}×\frac{19}{20}×\frac{20}{21}×···×\frac{2022}{2023})$，中间分子分母依次约分后剩下$\frac{18}{2023}$，因此结果为$-\frac{18}{2023}$。
【答案】
(1) ① $\frac{3}{4}$；② $4$；③ $-\frac{1}{3}$；④ $\frac{3}{4}$
(2) $-\frac{18}{2023}$
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数乘除运算
【点评】
本题结合新定义和规律探究考查有理数运算能力，解题关键是准确理解新定义规则，通过计算找到循环或约分的规律，同时要注意多个负数相乘时符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先明确差倒数的定义$\frac{1}{1-a}$（$a≠1$），①②③直接将对应数值代入定义计算；④通过计算前几项找到数值循环的周期，再用2021除以周期，根据余数确定$a_{2021}$对应的数值。
(2) 解题思路：先计算每个括号内的减法得到负分数，先根据负因数的个数判断乘积的符号，再观察分数的分子分母可连锁约分，结合给出的乘法规律计算最终结果。
【解析】
(1) 已知$a_1=-\frac{1}{3}$，根据差倒数定义计算：
① $a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
② $a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
③ $a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$；
④ 观察计算结果可得：数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环。
计算$2021÷3=673······2$，余数为2，对应周期内第2个数，因此$a_{2021}=a_2=\frac{3}{4}$。
(2) 先化简每个括号内的算式：
$\frac{1}{19}-1=-\frac{18}{19}$，$\frac{1}{20}-1=-\frac{19}{20}$，$\frac{1}{21}-1=-\frac{20}{21}$，……，$\frac{1}{2023}-1=-\frac{2022}{2023}$。
负因数总个数为$2023-19+1=2005$个，2005是奇数，因此乘积为负。
原式$=-(\frac{18}{19}×\frac{19}{20}×\frac{20}{21}×···×\frac{2022}{2023})$，中间分子分母依次约分后剩下$\frac{18}{2023}$，因此结果为$-\frac{18}{2023}$。
【答案】
(1) ① $\frac{3}{4}$；② $4$；③ $-\frac{1}{3}$；④ $\frac{3}{4}$
(2) $-\frac{18}{2023}$
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数乘除运算
【点评】
本题结合新定义和规律探究考查有理数运算能力，解题关键是准确理解新定义规则，通过计算找到循环或约分的规律，同时要注意多个负数相乘时符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
