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例1 如图3.4.1，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$∠ A=30°$，$BC=2$，求$\odot O$的直径长。
答案
连接OB,OC.
∵∠BOC=2∠A=2×30°=60°,而OB=OC,
∴△OCB为等边三角形.
∴BC=OB=2.
∴⊙O的直径为4
解析
【分析】
要求⊙O的直径，需先求出⊙O的半径。已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，我们可以连接OB、OC构造出弧BC所对的圆心角∠BOC，求出∠BOC的度数；再结合OB=OC（都是圆的半径），可判断△OBC的形状，进而得到半径的长度，最后计算直径即可。
【解析】
连接OB，OC。
∵ 同弧BC所对的圆心角∠BOC和圆周角∠A满足∠BOC=2∠A，
∴ ∠BOC=2×30°=60°，
又
∵ OB=OC（同圆的半径相等），
∴ △OCB为等边三角形，
∴ OB=BC=2，
∴ ⊙O的直径为2×OB=2×2=4。
【答案】
⊙O的直径长为4
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将已知的圆周角条件转化为圆心角的条件，再结合特殊三角形的性质求解半径，需熟练掌握圆周角与圆心角的转化方法。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的直径，需先求出⊙O的半径。已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，我们可以连接OB、OC构造出弧BC所对的圆心角∠BOC，求出∠BOC的度数；再结合OB=OC（都是圆的半径），可判断△OBC的形状，进而得到半径的长度，最后计算直径即可。
【解析】
连接OB，OC。
∵ 同弧BC所对的圆心角∠BOC和圆周角∠A满足∠BOC=2∠A，
∴ ∠BOC=2×30°=60°，
又
∵ OB=OC（同圆的半径相等），
∴ △OCB为等边三角形，
∴ OB=BC=2，
∴ ⊙O的直径为2×OB=2×2=4。
【答案】
⊙O的直径长为4
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求线段长度的基础题型，解题关键是通过连接半径构造圆心角，将已知的圆周角条件转化为圆心角的条件，再结合特殊三角形的性质求解半径，需熟练掌握圆周角与圆心角的转化方法。
【难度系数】
0.7
例2 如图3.4.2，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB=2∠ BAC$。
（1）求证：$∠ AOB=2∠ BOC$。
（2）若$AB=8$，$OC=5$，求$BC$。
（1）求证：$∠ AOB=2∠ BOC$。
（2）若$AB=8$，$OC=5$，求$BC$。
答案
(1)
∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC,
∴∠AOB=4∠BAC.
∵∠BOC=2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC
(2) 如图,作OD⊥AB,作CE⊥OB,垂足分别为D,E.
∵OD⊥AB,OA=OB,
∴∠BOD=1/2∠AOB,BD=1/2 AB=1/2 ×8=4,∠BDO=90°.由(1)知∠AOB=2∠BOC,
∴∠BOC=1/2∠AOB=∠BOD.
∵CE⊥OB,
∴∠CEO=90°.
∴∠CEO=∠BDO=90°.
在△OCE 和△OBD 中,
$\begin{cases} ∠CEO=∠BDO, \\ ∠BOC=∠BOD, \\ OC=OB, \end{cases}$
∴△OCE≌△OBD(AAS).
∴CE=BD=4.
∴在Rt△OCE中,OE=$\sqrt{OC^2-CE^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3.
∴BE=OB-OE=5-3=2.
∴在Rt△BEC中,BC=$\sqrt{BE^2+CE^2}$=$\sqrt{2^2+4^2}$=$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）要证明∠AOB=2∠BOC，可依据圆周角定理：同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍。先分别得出∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC的数量关系，再结合已知∠ACB=2∠BAC，即可推导得到两个圆心角的关系。
（2）求BC的长度时，结合（1）的角的等量关系，可通过作OD⊥AB、CE⊥OB构造全等三角形，将已知的AB长度转化为CE的长度，再先后利用勾股定理计算OE和BC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧AB所对的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，
又
∵ ∠ACB=2∠BAC，
∴ ∠AOB=4∠BAC。
∵ 同弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，
∴ ∠AOB=2∠BOC。
(2) 解：
如图，作OD⊥AB，CE⊥OB，垂足分别为D、E。
∵ OD⊥AB，OA=OB，
∴ 根据等腰三角形三线合一性质，得∠BOD=1/2∠AOB，BD=1/2 AB=1/2×8=4，∠BDO=90°。
由(1)的结论∠AOB=2∠BOC，可得∠BOC=1/2∠AOB=∠BOD。
∵ CE⊥OB，
∴ ∠CEO=90°，即∠CEO=∠BDO=90°。
在△OCE和△OBD中：
$\begin{cases} ∠CEO=∠BDO \\ ∠EOC=∠DOB \\ OC=OB \end{cases}$
∴ △OCE≌△OBD（AAS），
∴ CE=BD=4。
在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ BE=OB-OE=5-3=2。
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析，∠AOB=2∠BOC成立；
(2) $BC=2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题的核心是利用圆周角定理得到角的等量关系，通过作垂线构造全等三角形完成线段的转化，是圆相关知识的典型综合应用题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠AOB=2∠BOC，可依据圆周角定理：同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍。先分别得出∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC的数量关系，再结合已知∠ACB=2∠BAC，即可推导得到两个圆心角的关系。
（2）求BC的长度时，结合（1）的角的等量关系，可通过作OD⊥AB、CE⊥OB构造全等三角形，将已知的AB长度转化为CE的长度，再先后利用勾股定理计算OE和BC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧AB所对的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠ACB，
又
∵ ∠ACB=2∠BAC，
∴ ∠AOB=4∠BAC。
∵ 同弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，
∴ ∠AOB=2∠BOC。
(2) 解：
如图，作OD⊥AB，CE⊥OB，垂足分别为D、E。
∵ OD⊥AB，OA=OB，
∴ 根据等腰三角形三线合一性质，得∠BOD=1/2∠AOB，BD=1/2 AB=1/2×8=4，∠BDO=90°。
由(1)的结论∠AOB=2∠BOC，可得∠BOC=1/2∠AOB=∠BOD。
∵ CE⊥OB，
∴ ∠CEO=90°，即∠CEO=∠BDO=90°。
在△OCE和△OBD中：
$\begin{cases} ∠CEO=∠BDO \\ ∠EOC=∠DOB \\ OC=OB \end{cases}$
∴ △OCE≌△OBD（AAS），
∴ CE=BD=4。
在Rt△OCE中，OC=5，CE=4，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ BE=OB-OE=5-3=2。
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析，∠AOB=2∠BOC成立；
(2) $BC=2\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题的核心是利用圆周角定理得到角的等量关系，通过作垂线构造全等三角形完成线段的转化，是圆相关知识的典型综合应用题。
【难度系数】
0.6
1. 如图，点A，B，C均在$\odot O$上，若$∠ OBC=23°$，则$∠ A=$（
A.$67°$
B.$68°$
C.$62°$
D.$72°$
A
）A.$67°$
B.$68°$
C.$62°$
D.$72°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用圆的半径相等，可知△OBC为等腰三角形，结合已知底角∠OBC的度数，根据三角形内角和可求出圆心角∠BOC的度数；第二步，∠A和∠BOC是同弧BC所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠OBC=23°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-23°-23°=134°，
又
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠A=½∠BOC=½×134°=67°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题核心是通过半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角后，利用圆周角定理完成圆周角的计算，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为两步：第一步，利用圆的半径相等，可知△OBC为等腰三角形，结合已知底角∠OBC的度数，根据三角形内角和可求出圆心角∠BOC的度数；第二步，∠A和∠BOC是同弧BC所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠OBC=23°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-23°-23°=134°，
又
∵ ∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠A=½∠BOC=½×134°=67°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础题型，解题核心是通过半径相等得到等腰三角形，求出对应圆心角后，利用圆周角定理完成圆周角的计算，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图，AB，AC是$\odot O$的弦，OB，OC是$\odot O$的半径，D为OB上的任意一点（点D不与点O，B重合），连接CD。若$∠ BAC=30°$，则$∠ BDC$的度数可能为 （
A.$60°$
B.$96°$
C.$120°$
D.$125°$
B
）A.$60°$
B.$96°$
C.$120°$
D.$125°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再利用三角形外角的性质，推导∠BDC和已知角的关系；最后结合点D的位置确定∠OCD的取值范围，即可得到∠BDC的取值范围，匹配选项得到答案。
【解析】
1. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
弧BC对应的圆周角为∠BAC=30°，对应的圆心角为∠BOC，因此$∠ BOC=2∠ BAC=2×30°=60°$。
2. ∠BDC是$△ ODC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ BDC=∠ BOC+∠ OCD=60°+∠ OCD$。
3. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以OB=OC，$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
点D在OB上且不与O、B重合，因此$0°＜∠ OCD＜∠ OCB=60°$。
4. 代入∠BDC的表达式可得：$60°＜∠ BDC＜60°+60°=120°$。
观察选项，只有96°在该范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题目，需要结合三角形外角和等腰三角形的性质判断角的取值范围，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角的关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；再利用三角形外角的性质，推导∠BDC和已知角的关系；最后结合点D的位置确定∠OCD的取值范围，即可得到∠BDC的取值范围，匹配选项得到答案。
【解析】
1. 由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。
弧BC对应的圆周角为∠BAC=30°，对应的圆心角为∠BOC，因此$∠ BOC=2∠ BAC=2×30°=60°$。
2. ∠BDC是$△ ODC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ BDC=∠ BOC+∠ OCD=60°+∠ OCD$。
3. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以OB=OC，$△ OBC$是等腰三角形，$∠ OCB=\frac{180°-∠ BOC}{2}=\frac{180°-60°}{2}=60°$。
点D在OB上且不与O、B重合，因此$0°＜∠ OCD＜∠ OCB=60°$。
4. 代入∠BDC的表达式可得：$60°＜∠ BDC＜60°+60°=120°$。
观察选项，只有96°在该范围内，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题目，需要结合三角形外角和等腰三角形的性质判断角的取值范围，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角的关系。
【难度系数】
0.7
