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5. 如图，已知$\odot O$的半径为$R$.
（1）请用无刻度直尺和圆规作出$\odot O$的内接等边三角形$ABC$；
（2）试求等边三角形$ABC$的周长.
（1）请用无刻度直尺和圆规作出$\odot O$的内接等边三角形$ABC$；
（2）试求等边三角形$ABC$的周长.
答案
(1) 作法不唯一,如图,$△ ABC$就是所求作的三角形
(2) 过点$O$作$OD⊥ BC$,垂足为$D$,则$BD=CD=\frac{1}{2}BC$.在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,$∠ ODC=90°$,$∠ OCD=30°$,$\therefore OD=\frac{1}{2}R$.由勾股定理,得$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}R$.$\therefore BC=2CD=\sqrt{3}R$.故$△ ABC$的周长为$3\sqrt{3}R$
解析
【分析】
（1）要作⊙O的内接等边三角形，本质是将圆周三等分，等边三角形的三个顶点为圆的三等分点，相邻顶点对应的圆心角为120°。可以先作一条直径，再以直径的一个端点为圆心、圆的半径R为半径画弧，与圆交于两点，这两点和直径的另一个端点就是等边三角形的三个顶点，依次连接即可得到所求图形。
（2）求等边三角形的周长，需要先求出边长。可利用垂径定理构造直角三角形，结合30°直角三角形的性质和勾股定理求出边长，再乘3即可得到周长。
【解析】
（1）作法：①作⊙O的直径EC；②以点E为圆心，R为半径画弧，交⊙O于A、B两点；③连接AB、BC、AC，所得△ABC即为所求作的⊙O的内接等边三角形。
（2）过点O作$OD⊥BC$，垂足为D，根据垂径定理可得$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，OC为∠ACB的角平分线，
∴$∠OCD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ ODC=90°$，$OC=R$，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}R$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{R^2-(\frac{1}{2}R)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$BC=2CD=\sqrt{3}R$，
则△ABC的周长为$3×BC=3\sqrt{3}R$。
【答案】
(1) 作法不唯一,如图,$△ ABC$就是所求作的三角形
(2) 等边三角形$ABC$的周长为$3\sqrt{3}R$
【知识点】
尺规作图、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了圆内接正多边形的作图能力，又考查了垂径定理、特殊直角三角形性质的综合运用，是圆与正多边形相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
（1）要作⊙O的内接等边三角形，本质是将圆周三等分，等边三角形的三个顶点为圆的三等分点，相邻顶点对应的圆心角为120°。可以先作一条直径，再以直径的一个端点为圆心、圆的半径R为半径画弧，与圆交于两点，这两点和直径的另一个端点就是等边三角形的三个顶点，依次连接即可得到所求图形。
（2）求等边三角形的周长，需要先求出边长。可利用垂径定理构造直角三角形，结合30°直角三角形的性质和勾股定理求出边长，再乘3即可得到周长。
【解析】
（1）作法：①作⊙O的直径EC；②以点E为圆心，R为半径画弧，交⊙O于A、B两点；③连接AB、BC、AC，所得△ABC即为所求作的⊙O的内接等边三角形。
（2）过点O作$OD⊥BC$，垂足为D，根据垂径定理可得$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，OC为∠ACB的角平分线，
∴$∠OCD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$∠ ODC=90°$，$OC=R$，
∴$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}R$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{R^2-(\frac{1}{2}R)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
∴$BC=2CD=\sqrt{3}R$，
则△ABC的周长为$3×BC=3\sqrt{3}R$。
【答案】
(1) 作法不唯一,如图,$△ ABC$就是所求作的三角形
(2) 等边三角形$ABC$的周长为$3\sqrt{3}R$
【知识点】
尺规作图、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了圆内接正多边形的作图能力，又考查了垂径定理、特殊直角三角形性质的综合运用，是圆与正多边形相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点P是$\odot O$内一定点.
(1) 过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 若$\odot O$的半径为10,$OP=6$.
① 求过点P的弦的长度$m$范围；
② 过点P的弦中,长度为整数的弦有
(1) 过点P作弦AB,使点P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹).
(2) 若$\odot O$的半径为10,$OP=6$.
① 求过点P的弦的长度$m$范围；
② 过点P的弦中,长度为整数的弦有
8
条.答案
(1) 连接$OP$并延长,过点$P$作$AB⊥ OP$,则弦$AB$即为所求
(2) ① 过点$P$的所有弦中,直径最长为20,与$OP$垂直的弦最短.连接$OA$,$\because OP⊥ AB$,$\therefore AP=BP=\sqrt{OA^2-OP^2}=8$.$\therefore AB=2AP=16$.$\therefore$过点$P$的弦的长度$m$的范围为$16≤ m≤ 20$
② 8
解析
【分析】
(1) 要作过点P且P为中点的弦，可依据垂径定理推论：垂直于弦的直径平分弦，因此过P作垂直于OP的弦，即可满足P是弦的中点，按照这个思路作图即可。
(2) ① 过圆内定点的弦中，最长弦是圆的直径，最短弦是与过该点的半径垂直的弦，先求出直径得弦长最大值，再结合勾股定理算出最短弦长，就能得到弦长的取值范围。
② 先找出取值范围内的所有整数弦长，再结合圆的对称性：除最短、最长弦各只有1条外，其余长度的弦在OP两侧各有1条，据此统计总条数即可。
【解析】
(1) 连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求。
(2) ① 过点P的弦中，最长弦为⊙O的直径，长度为$2×10=20$；最短弦为与OP垂直的弦AB。
连接OA，$\because OP⊥ AB$，由垂径定理可得$AP=BP$，
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，根据勾股定理：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AB=2AP=16$，
因此过点P的弦的长度$m$的范围为$16≤ m≤ 20$。
② 由①可知弦长的整数取值为16、17、18、19、20：
长度为16的最短弦仅1条，长度为20的直径仅1条；
长度为17、18、19的弦，根据圆的对称性，每个长度各有2条，
总条数为$1+2×3+1=8$条。
【答案】
(1) 连接$OP$并延长,过点$P$作$AB⊥ OP$,则弦$AB$即为所求
(2) ① $16≤ m≤ 20$
② 8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题综合考查圆的相关作图与弦长计算，基础考点结合，求解整数弦数量时需注意利用圆的对称性，避免漏算重复的弦。
【难度系数】
0.6
(1) 要作过点P且P为中点的弦，可依据垂径定理推论：垂直于弦的直径平分弦，因此过P作垂直于OP的弦，即可满足P是弦的中点，按照这个思路作图即可。
(2) ① 过圆内定点的弦中，最长弦是圆的直径，最短弦是与过该点的半径垂直的弦，先求出直径得弦长最大值，再结合勾股定理算出最短弦长，就能得到弦长的取值范围。
② 先找出取值范围内的所有整数弦长，再结合圆的对称性：除最短、最长弦各只有1条外，其余长度的弦在OP两侧各有1条，据此统计总条数即可。
【解析】
(1) 连接OP，过点P作AB⊥OP，交⊙O于A、B两点，弦AB即为所求。
(2) ① 过点P的弦中，最长弦为⊙O的直径，长度为$2×10=20$；最短弦为与OP垂直的弦AB。
连接OA，$\because OP⊥ AB$，由垂径定理可得$AP=BP$，
在$Rt△ OPA$中，$OA=10$，$OP=6$，根据勾股定理：
$AP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore AB=2AP=16$，
因此过点P的弦的长度$m$的范围为$16≤ m≤ 20$。
② 由①可知弦长的整数取值为16、17、18、19、20：
长度为16的最短弦仅1条，长度为20的直径仅1条；
长度为17、18、19的弦，根据圆的对称性，每个长度各有2条，
总条数为$1+2×3+1=8$条。
【答案】
(1) 连接$OP$并延长,过点$P$作$AB⊥ OP$,则弦$AB$即为所求
(2) ① $16≤ m≤ 20$
② 8
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的对称性
【点评】
本题综合考查圆的相关作图与弦长计算，基础考点结合，求解整数弦数量时需注意利用圆的对称性，避免漏算重复的弦。
【难度系数】
0.6
7. 一次综合实践的主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径?小明同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直紧贴杯口上,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,利用刻度尺量得该纸条宽为3.5 cm,AB=3 cm,CD=4 cm.请你帮忙计算纸杯的直径.
答案
如图,$MN$过圆心$O$,且$MN⊥ AB$,连接$OD$,$OB$,则$MN=3.5\ \mathrm{cm}$.$\because CD// AB$,$\therefore MN⊥ CD$.
$\therefore DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$,$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$.设$OM=x\ \mathrm{cm}$,$\therefore ON=MN-OM=(3.5-x)\mathrm{cm}$.
$\because OM^2+MD^2=OD^2$,$ON^2+BN^2=OB^2$,$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$.$\therefore x^2+2^2=(3.5-x)^2+1.5^2$.
解得$x=1.5$.$\therefore OM=1.5\ \mathrm{cm}$.$\therefore OD=\sqrt{OM^2+MD^2}=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{cm}$.故纸杯的直径为$2.5×2=5\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要测量圆形杯口的直径，可利用圆的垂径定理与勾股定理求解。首先过圆心作两条平行弦AB、CD的垂线，根据垂径定理可分别得到AB、CD的一半长度；再设圆心到弦CD的距离为x，即可表示出圆心到弦AB的距离，结合同圆半径相等，利用勾股定理分别表示半径的平方，列方程求解得到x后，即可算出半径，进而得到杯口直径。
【解析】
作过圆心O的直线$MN⊥AB$，交AB于点N，交CD于点M，连接OD、OB。
由题意可知纸条宽度$MN=3.5\ \mathrm{cm}$，
$\because CD// AB$，$\therefore MN⊥CD$。
根据垂径定理可得：
$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$。
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(3.5-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，由勾股定理得：$OD^2=OM^2+MD^2=x^2+2^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ONB$中，由勾股定理得：$OB^2=ON^2+BN^2=(3.5-x)^2+1.5^2$，
∵OD和OB都是杯口所在圆的半径，$\therefore OD=OB$，即$OD^2=OB^2$，
列方程得：$x^2+2^2=(3.5-x)^2+1.5^2$，
解得：$x=1.5$。
将$x=1.5$代入$OD=\sqrt{OM^2+MD^2}$，得$OD=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{cm}$，
∴杯口的直径为$2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
纸杯的直径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题结合实际测量场景考查圆的相关性质的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要测量圆形杯口的直径，可利用圆的垂径定理与勾股定理求解。首先过圆心作两条平行弦AB、CD的垂线，根据垂径定理可分别得到AB、CD的一半长度；再设圆心到弦CD的距离为x，即可表示出圆心到弦AB的距离，结合同圆半径相等，利用勾股定理分别表示半径的平方，列方程求解得到x后，即可算出半径，进而得到杯口直径。
【解析】
作过圆心O的直线$MN⊥AB$，交AB于点N，交CD于点M，连接OD、OB。
由题意可知纸条宽度$MN=3.5\ \mathrm{cm}$，
$\because CD// AB$，$\therefore MN⊥CD$。
根据垂径定理可得：
$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，$BN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$。
设$OM=x\ \mathrm{cm}$，则$ON=MN-OM=(3.5-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，由勾股定理得：$OD^2=OM^2+MD^2=x^2+2^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ONB$中，由勾股定理得：$OB^2=ON^2+BN^2=(3.5-x)^2+1.5^2$，
∵OD和OB都是杯口所在圆的半径，$\therefore OD=OB$，即$OD^2=OB^2$，
列方程得：$x^2+2^2=(3.5-x)^2+1.5^2$，
解得：$x=1.5$。
将$x=1.5$代入$OD=\sqrt{OM^2+MD^2}$，得$OD=\sqrt{1.5^2+2^2}=2.5\ \mathrm{cm}$，
∴杯口的直径为$2×2.5=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
纸杯的直径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；同圆半径相等
【点评】
本题结合实际测量场景考查圆的相关性质的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解，能很好地锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$\odot O$的直径AB和弦CD相交于点E，已知$AE=1\ \mathrm{cm}$，$EB=5\ \mathrm{cm}$，$∠ DEB=60°$。
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E按顺时针方向旋转$15°$，交$\odot O$于点M，N，求弦MN的长。
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E按顺时针方向旋转$15°$，交$\odot O$于点M，N，求弦MN的长。
答案
(1) 作$OH⊥ CD$,垂足为$H$,连接$OD$.$\because AE=1\ \mathrm{cm}$,$BE=5\ \mathrm{cm}$,点$E$在直径$AB$上,$\therefore AB=AE+BE=1+5=6\ \mathrm{cm}$,半径$OD=3\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$OE=OA-AE =3-1=2\ \mathrm{cm}$,$∠ OEH=60°$,$\therefore ∠ HOE=30°$.$\therefore HE=\frac{1}{2}OE=1\ \mathrm{cm}$.$\therefore OH=\sqrt{OE^2-HE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ OHD$中,由勾股定理,得$HD=\sqrt{OD^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$.$\because OH⊥ CD$,$\therefore DC=2DH=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
①(2) 作$OH⊥ MN$,垂足为$H$,连接$ON$.$\because AE=1\ \mathrm{cm}$,$BE=5\ \mathrm{cm}$,点$E$在直径$AB$上,$\therefore AB=AE+BE=1+5=6\ \mathrm{cm}$,半径$ON=3\ \mathrm{cm}$.$\because$若直线$MN$绕点$E$按顺时针方向旋转$15°$,$\therefore ∠ OEH=60°-15°=45°$.在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$OE=OA-AE=3-1=2\ \mathrm{cm}$,$∠ OEH=45°$,$\therefore OH=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ OHN$中,$HN=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$.$\because OH⊥ MN$,$\therefore NM=2NH=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$,即弦$MN$的长为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
②解析
【分析】
本题两小问均为求圆内弦长，解题核心是运用垂径定理求解。我们可以通过过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长：
（1）先根据AE、EB的长度求出圆的直径、半径以及OE的长度，再在Rt△OHE中利用60°角的性质求出弦心距OH的长度，最后在Rt△OHD中用勾股定理求出半弦长HD，乘2即可得到CD的总长度。
（2）CD旋转15°后先求出新的夹角∠OEH的度数，同理先求出弦MN的弦心距OH，再用勾股定理求出半弦长HN，乘2即可得到MN的总长度。
【解析】
（1）过点$O$作$OH⊥ CD$,垂足为$H$,连接$OD$。
$\because AE=1\ \mathrm{cm}$,$BE=5\ \mathrm{cm}$,点$E$在直径$AB$上,
$\therefore AB=AE+BE=1+5=6\ \mathrm{cm}$,半径$OD=OA=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OE=OA-AE =3-1=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$∠ OEH=∠DEB=60°$,
$\therefore ∠ HOE=30°$,
$\therefore HE=\frac{1}{2}OE=1\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OH=\sqrt{OE^2-HE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHD$中,由勾股定理,得$HD=\sqrt{OD^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
$\because OH⊥ CD$,由垂径定理得$CD=2DH$,
$\therefore DC=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$①
（2）过点$O$作$OH⊥ MN$,垂足为$H$,连接$ON$。
同理可得半径$ON=3\ \mathrm{cm}$,$OE=2\ \mathrm{cm}$。
$\because$直线$CD$绕点$E$按顺时针方向旋转$15°$得到$MN$,
$\therefore ∠ OEH=60°-15°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$∠ OEH=45°$,即△OHE为等腰直角三角形,
$\therefore OH=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHN$中,由勾股定理得$HN=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
$\because OH⊥ MN$,由垂径定理得$MN=2NH$,
$\therefore NM=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$②
【答案】
(1) $CD$的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$①；
(2) 弦$MN$的长为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$②。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，需要准确梳理旋转前后的角度变化，结合勾股定理完成求解。
【难度系数】
0.6
本题两小问均为求圆内弦长，解题核心是运用垂径定理求解。我们可以通过过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长：
（1）先根据AE、EB的长度求出圆的直径、半径以及OE的长度，再在Rt△OHE中利用60°角的性质求出弦心距OH的长度，最后在Rt△OHD中用勾股定理求出半弦长HD，乘2即可得到CD的总长度。
（2）CD旋转15°后先求出新的夹角∠OEH的度数，同理先求出弦MN的弦心距OH，再用勾股定理求出半弦长HN，乘2即可得到MN的总长度。
【解析】
（1）过点$O$作$OH⊥ CD$,垂足为$H$,连接$OD$。
$\because AE=1\ \mathrm{cm}$,$BE=5\ \mathrm{cm}$,点$E$在直径$AB$上,
$\therefore AB=AE+BE=1+5=6\ \mathrm{cm}$,半径$OD=OA=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OE=OA-AE =3-1=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$∠ OEH=∠DEB=60°$,
$\therefore ∠ HOE=30°$,
$\therefore HE=\frac{1}{2}OE=1\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OH=\sqrt{OE^2-HE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHD$中,由勾股定理,得$HD=\sqrt{OD^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
$\because OH⊥ CD$,由垂径定理得$CD=2DH$,
$\therefore DC=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
①（2）过点$O$作$OH⊥ MN$,垂足为$H$,连接$ON$。
同理可得半径$ON=3\ \mathrm{cm}$,$OE=2\ \mathrm{cm}$。
$\because$直线$CD$绕点$E$按顺时针方向旋转$15°$得到$MN$,
$\therefore ∠ OEH=60°-15°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ OHE$中,$∠ OEH=45°$,即△OHE为等腰直角三角形,
$\therefore OH=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHN$中,由勾股定理得$HN=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
$\because OH⊥ MN$,由垂径定理得$MN=2NH$,
$\therefore NM=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
②【答案】
(1) $CD$的长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
①；(2) 弦$MN$的长为$2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$
②。【知识点】
垂径定理；勾股定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题关键是熟练运用垂径定理构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算问题，需要准确梳理旋转前后的角度变化，结合勾股定理完成求解。
【难度系数】
0.6
