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3. 如图,四边形ABCD的四个顶点均在⊙O上,连接OA,OC.若∠AOC=114°,则∠ABC的度数为
(第3题)(第4题)
57
°,∠ADC的度数为123
°。 (第3题)(第4题)答案
3. 57,123
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先确定∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，就能求出∠ABC的度数；第二步，已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠ABC的度数即可得到∠ADC的度数，也可通过优弧AC对应的圆心角结合圆周角定理计算∠ADC，两种方法均可。
【解析】
解：
∵∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×114°=57°$。
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180°-57°=123°$。
【答案】
57，123
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆周角定理和圆内接四边形性质的直接应用，解题的核心是准确匹配同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关性质就能快速得到答案。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为两步：第一步，先确定∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，就能求出∠ABC的度数；第二步，已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠ABC的度数即可得到∠ADC的度数，也可通过优弧AC对应的圆心角结合圆周角定理计算∠ADC，两种方法均可。
【解析】
解：
∵∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠ABC是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×114°=57°$。
又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，
∴$∠ ABC+∠ ADC=180°$，
∴$∠ ADC=180°-57°=123°$。
【答案】
57，123
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查圆周角定理和圆内接四边形性质的直接应用，解题的核心是准确匹配同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握相关性质就能快速得到答案。
【难度系数】
0.85
4. 如图，以点O为中心的量角器与三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD。那么∠BCD=
55
°。答案
4. 55
解析
【分析】
解题首先要确定点C的位置：直角三角板ABC中∠ACB=90°，AB是量角器的直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OC=OA=OB=OD，因此A、B、C、D四点共圆。接下来点D对应的刻度110°就是其对应弧的圆心角度数，最后根据圆周角定理“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ 量角器直径与三角板斜边AB重合，O为AB中点，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB=OD，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上。
∵ 点D在量角器上对应刻度为110°，即弧BD所对的圆心角∠BOD=110°，
又
∵ 同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BCD是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；四点共圆判定
【点评】
本题结合三角板、量角器的实际摆放考查圆周角定理的应用，解题关键是判断出四点共圆，再结合刻度得到对应圆心角的度数，侧重对基础定理的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
解题首先要确定点C的位置：直角三角板ABC中∠ACB=90°，AB是量角器的直径，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OC=OA=OB=OD，因此A、B、C、D四点共圆。接下来点D对应的刻度110°就是其对应弧的圆心角度数，最后根据圆周角定理“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵ 量角器直径与三角板斜边AB重合，O为AB中点，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OC=OA=OB=OD，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上。
∵ 点D在量角器上对应刻度为110°，即弧BD所对的圆心角∠BOD=110°，
又
∵ 同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠BCD是弧BD所对的圆周角，
∴ $∠ BCD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
55
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；四点共圆判定
【点评】
本题结合三角板、量角器的实际摆放考查圆周角定理的应用，解题关键是判断出四点共圆，再结合刻度得到对应圆心角的度数，侧重对基础定理的灵活应用考查。
【难度系数】
0.7
5. 如图，A，B，C，D 四点都在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。求证：$△ ABC≌△ DCB$。
（第5题）
（第5题）答案
5.
∵$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠A 和∠D,
∴∠A = ∠D.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ACB=∠DBC(等弧所对的圆周角相等).在△ABC 和△DCB 中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠ACB=∠DBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(AAS)
∵$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠A 和∠D,
∴∠A = ∠D.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠ACB=∠DBC(等弧所对的圆周角相等).在△ABC 和△DCB 中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠ACB=∠DBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(AAS)
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DCB，首先观察可得两个三角形有公共边BC=CB，因此只需再推导两组对应角相等即可。第一步，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠A和∠D，因此可得∠A=∠D；第二步，结合已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可推出∠ACB=∠DBC；此时已经得到两组对应角相等，且对应公共边为等角的对边，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠A 和∠D，
∴∠A = ∠D。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ACB=∠DBC（等弧所对的圆周角相等）。
在△ABC 和△DCB 中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠ACB=∠DBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（AAS）。
【答案】
△ABC≌△DCB
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 全等三角形AAS判定
3. 等弧的性质
【点评】
本题属于基础常规题型，将圆周角性质与三角形全等判定相结合，解题核心是利用同弧、等弧所对圆周角相等的性质找到全等所需的等角条件，再结合公共边即可完成证明，要求熟练掌握圆周角相关性质和全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△DCB，首先观察可得两个三角形有公共边BC=CB，因此只需再推导两组对应角相等即可。第一步，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠A和∠D，因此可得∠A=∠D；第二步，结合已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可推出∠ACB=∠DBC；此时已经得到两组对应角相等，且对应公共边为等角的对边，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角是∠A 和∠D，
∴∠A = ∠D。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ACB=∠DBC（等弧所对的圆周角相等）。
在△ABC 和△DCB 中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠ACB=∠DBC, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（AAS）。
【答案】
△ABC≌△DCB
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 全等三角形AAS判定
3. 等弧的性质
【点评】
本题属于基础常规题型，将圆周角性质与三角形全等判定相结合，解题核心是利用同弧、等弧所对圆周角相等的性质找到全等所需的等角条件，再结合公共边即可完成证明，要求熟练掌握圆周角相关性质和全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.8
6. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点E在对角线AC上,$EC=BC=DC$.
(1) 若$∠ CBD=39°$,求$∠ BAD$的度数.
(2) 求证:$∠ 1=∠ 2$.
(第6题)
(1) 若$∠ CBD=39°$,求$∠ BAD$的度数.
(2) 求证:$∠ 1=∠ 2$.
(第6题)答案
6. (1)
∵BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD=39°.由圆周角定理,得∠CAB=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°.
∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=39°+39°=78°
(2)
∵EC=BC,
∴∠CBE=∠CEB.
∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠CAB,
∴∠1+∠CBD=∠2+∠CAB.
∵BC=DC,
∴∠CBD=∠CDB=∠CAB.
∴∠1=∠2
∵BC=DC,
∴∠CDB=∠CBD=39°.由圆周角定理,得∠CAB=∠CDB=39°,∠CAD=∠CBD=39°.
∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=39°+39°=78°
(2)
∵EC=BC,
∴∠CBE=∠CEB.
∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠CAB,
∴∠1+∠CBD=∠2+∠CAB.
∵BC=DC,
∴∠CBD=∠CDB=∠CAB.
∴∠1=∠2
解析
【分析】
(1) 求解∠BAD时，先观察到∠BAD可拆分为∠CAB与∠CAD的和，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由BC=DC得到∠CDB=∠CBD，再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，分别求出∠CAB和∠CAD的度数，相加即可得到∠BAD的度数。
(2) 证明∠1=∠2时，首先由EC=BC，利用等腰三角形等边对等角得到∠CBE=∠CEB，再结合三角形外角的性质，将两个角分别拆分为∠1+∠CBD、∠2+∠CAB，最后结合圆周角定理得到∠CBD=∠CAB，消去等式两边相等的角即可证得结论。
【解析】
(1) 解：
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CDB=∠ CBD=39°$（等边对等角）。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
弧$BC$所对的圆周角$∠ CAB=∠ CDB=39°$，
弧$CD$所对的圆周角$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ CAB+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CBE=∠ CEB$（等边对等角）。
由三角形外角的性质可得：
$∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，$∠ CEB=∠ 2+∠ CAB$，
∴ $∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ CAB$。
又
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$，
由圆周角定理得$∠ CDB=∠ CAB$，
∴ $∠ CBD=∠ CAB$，
等式两边同时减去相等的角，可得$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{78°}$
(2) 证明如上，$\boldsymbol{∠1=∠2}$成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将等腰三角形的边角关系和圆周角定理结合应用，找到图形中相等的角是解题的关键，对基础知识点的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠BAD时，先观察到∠BAD可拆分为∠CAB与∠CAD的和，首先利用等腰三角形等边对等角的性质，由BC=DC得到∠CDB=∠CBD，再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角相等”，分别求出∠CAB和∠CAD的度数，相加即可得到∠BAD的度数。
(2) 证明∠1=∠2时，首先由EC=BC，利用等腰三角形等边对等角得到∠CBE=∠CEB，再结合三角形外角的性质，将两个角分别拆分为∠1+∠CBD、∠2+∠CAB，最后结合圆周角定理得到∠CBD=∠CAB，消去等式两边相等的角即可证得结论。
【解析】
(1) 解：
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CDB=∠ CBD=39°$（等边对等角）。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
弧$BC$所对的圆周角$∠ CAB=∠ CDB=39°$，
弧$CD$所对的圆周角$∠ CAD=∠ CBD=39°$，
∴ $∠ BAD=∠ CAB+∠ CAD=39°+39°=78°$。
(2) 证明：
∵ $EC=BC$，
∴ $∠ CBE=∠ CEB$（等边对等角）。
由三角形外角的性质可得：
$∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，$∠ CEB=∠ 2+∠ CAB$，
∴ $∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ CAB$。
又
∵ $BC=DC$，
∴ $∠ CBD=∠ CDB$，
由圆周角定理得$∠ CDB=∠ CAB$，
∴ $∠ CBD=∠ CAB$，
等式两边同时减去相等的角，可得$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{78°}$
(2) 证明如上，$\boldsymbol{∠1=∠2}$成立。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是将等腰三角形的边角关系和圆周角定理结合应用，找到图形中相等的角是解题的关键，对基础知识点的熟练度要求较高。
【难度系数】
0.7
