登录
7. 如图,在半圆O中,直径$AB=6$,点C在$\overset{\frown}{AB}$上,连接BC,弦BD平分$∠ ABC$,连接OD.
(1) 求证:$OD// BC$.
(2) 连接OC,AD,若$OC// AD$,求BD的长.
(1) 求证:$OD// BC$.
(2) 连接OC,AD,若$OC// AD$,求BD的长.
答案
7. (1)
∵弦BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB.
∴∠ODB=∠CBD.
∴OD//BC
(2) 如图,
∵OC//AD,
∴∠BOC=∠OAD,∠COD=∠ODA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∴∠BOC=∠COD.
∵$\overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBD.又
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠AOD=∠COD=∠BOC.
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°.又
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴AD=OA.
∵AB=6,
∴AD=OA=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°.
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明$OD// BC$，可通过证明内错角相等实现：首先利用角平分线的性质得到$∠ ABD=∠ CBD$，再结合$OB$、$OD$都是圆的半径，得到等腰$△ OBD$，推出$∠ ABD=∠ ODB$，等量代换得到内错角相等即可证平行。
(2) 求$BD$的长时，先结合$OC// AD$和等腰$△ OAD$的性质推出$∠ BOC=∠ COD$，再结合角平分线和圆周角定理得到$∠ AOD=∠ COD=∠ BOC$，算出三个角均为$60°$，得到等边$△ AOD$求出$AD$的长度；最后利用直径所对圆周角为直角，在$Rt△ ADB$中用勾股定理计算$BD$即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 弦$BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ CBD$，
∵ $OB=OD$（均为半圆$O$的半径），
∴ $∠ ABD=∠ ODB$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ ODB=∠ CBD$（等量代换），
∴ $OD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ $OC// AD$，
∴ $∠ BOC=∠ OAD$（两直线平行，同位角相等），$∠ COD=∠ ODA$（两直线平行，内错角相等），
∵ $OA=OD$（均为半圆$O$的半径），
∴ $∠ OAD=∠ ODA$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ BOC=∠ COD$（等量代换），
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ ABD$，$∠ COD=2∠ CBD$，
又
∵ $∠ ABD=∠ CBD$，
∴ $∠ AOD=∠ COD$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC$，
∵ $AB$是直径，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$，
∵ $OA=OD$，$∠ AOD=60°$，
∴ $△ AOD$是等边三角形，
∴ $AD=OA$，
∵ $AB=6$，
∴ $AD=OA=\frac{1}{2}AB=3$，
∵ $AB$是半圆的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
7. (1)
∵弦BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB.
∴∠ODB=∠CBD.
∴OD//BC
(2) 如图,
∵OC//AD,
∴∠BOC=∠OAD,∠COD=∠ODA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∴∠BOC=∠COD.
∵$\overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBD.又
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠AOD=∠COD=∠BOC.
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°.又
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴AD=OA.
∵AB=6,
∴AD=OA=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°.
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 圆周角定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了平行线、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系推出特殊的60°圆心角，再结合直径的性质求解，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$OD// BC$，可通过证明内错角相等实现：首先利用角平分线的性质得到$∠ ABD=∠ CBD$，再结合$OB$、$OD$都是圆的半径，得到等腰$△ OBD$，推出$∠ ABD=∠ ODB$，等量代换得到内错角相等即可证平行。
(2) 求$BD$的长时，先结合$OC// AD$和等腰$△ OAD$的性质推出$∠ BOC=∠ COD$，再结合角平分线和圆周角定理得到$∠ AOD=∠ COD=∠ BOC$，算出三个角均为$60°$，得到等边$△ AOD$求出$AD$的长度；最后利用直径所对圆周角为直角，在$Rt△ ADB$中用勾股定理计算$BD$即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 弦$BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ CBD$，
∵ $OB=OD$（均为半圆$O$的半径），
∴ $∠ ABD=∠ ODB$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ ODB=∠ CBD$（等量代换），
∴ $OD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ $OC// AD$，
∴ $∠ BOC=∠ OAD$（两直线平行，同位角相等），$∠ COD=∠ ODA$（两直线平行，内错角相等），
∵ $OA=OD$（均为半圆$O$的半径），
∴ $∠ OAD=∠ ODA$（等腰三角形两底角相等），
∴ $∠ BOC=∠ COD$（等量代换），
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ ABD$，$∠ COD=2∠ CBD$，
又
∵ $∠ ABD=∠ CBD$，
∴ $∠ AOD=∠ COD$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC$，
∵ $AB$是直径，$∠ AOB=180°$，
∴ $∠ AOD=∠ COD=∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$，
∵ $OA=OD$，$∠ AOD=60°$，
∴ $△ AOD$是等边三角形，
∴ $AD=OA$，
∵ $AB=6$，
∴ $AD=OA=\frac{1}{2}AB=3$，
∵ $AB$是半圆的直径，
∴ $∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
【答案】
7. (1)
∵弦BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB.
∴∠ODB=∠CBD.
∴OD//BC
(2) 如图,
∵OC//AD,
∴∠BOC=∠OAD,∠COD=∠ODA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∴∠BOC=∠COD.
∵$\overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{CD}$,
∴∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBD.又
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠AOD=∠COD=∠BOC.
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°.又
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴AD=OA.
∵AB=6,
∴AD=OA=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵AB是半圆的直径,
∴∠ADB=90°.
∴BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=$\sqrt{6^2-3^2}$=$3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 圆周角定理
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了平行线、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的相关性质，解题的核心是通过角的等量关系推出特殊的60°圆心角，再结合直径的性质求解，对基础知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8. (1) 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$D$是$△ ABC$外(在直线$BC$上方)的一点,且$AD=AC$,求$∠ BDC$的度数.
若以点$A$为圆心,$AB$为半径作辅助圆$\odot A$,则点$C,D$必在$\odot A$上,$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角,而$∠ BDC$是圆周角,从而容易得到$∠ BDC=$
(2) 如图②,在四边形$ABCD$中,$∠ BAD=∠ BCD=90°$,$∠ BDC=25°$,求$∠ BAC$的度数.
小刚认为用添加辅助圆的方法,可以使问题快速解决,他是这样思考的:$△ ABD$的外接圆就是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$的长为半径的圆;$△ BCD$的外接圆也是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$的长为半径的圆.这样$A,B,C,D$四点在同一个圆上,进而可以利用圆周角的性质求出$∠ BAC$的度数,请运用小刚的思路解决这个问题.
(3) 如图③,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$,$AD$是边$BC$上的高,且$BD=6$,$CD=2$,求$AD$的长.
若以点$A$为圆心,$AB$为半径作辅助圆$\odot A$,则点$C,D$必在$\odot A$上,$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角,而$∠ BDC$是圆周角,从而容易得到$∠ BDC=$
45
$°$.(2) 如图②,在四边形$ABCD$中,$∠ BAD=∠ BCD=90°$,$∠ BDC=25°$,求$∠ BAC$的度数.
小刚认为用添加辅助圆的方法,可以使问题快速解决,他是这样思考的:$△ ABD$的外接圆就是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$的长为半径的圆;$△ BCD$的外接圆也是以$BD$的中点为圆心,$\frac{1}{2}BD$的长为半径的圆.这样$A,B,C,D$四点在同一个圆上,进而可以利用圆周角的性质求出$∠ BAC$的度数,请运用小刚的思路解决这个问题.
(3) 如图③,在$△ ABC$中,$∠ BAC=45°$,$AD$是边$BC$上的高,且$BD=6$,$CD=2$,求$AD$的长.
答案
8. (1) 45
(2) 如图①,取BD的中点O,连接OA,OC.易得点A,B,C,D四点在同一个⊙O上,
∴∠BDC=∠BAC=25°
(3) 如图②,作△ABC的外接圆,过圆心O作OE⊥BC,作OF⊥AD,垂足分别为E,F,连接OA,OB,OC.
∵∠BAC=45°,
∴∠BOC=2∠BAC=90°.在Rt△BOC中,BC=BD+CD=6+2=8,OB²+CO²=BC²,
∴OB=OC=4√2.
∵OE⊥BC,
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=4.
∴OF=DE=EC-CD=4-2=2.在Rt△BEO中,OB=4√2,BE=4,
∴OE=DF=4.在Rt△AFO中,OA=4√2,OF=2,
∴AF=$\sqrt{OA^2-OF^2}$=$\sqrt{(4\sqrt{2})^2-2^2}$=$2\sqrt{7}$.
∴AD=AF+DF=$2\sqrt{7}+4$
解析
【分析】
(1) 由$AB=AC=AD$可知点B、C、D都在以A为圆心、AB为半径的圆上，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角$∠ BAC=90°$，即可直接求出圆周角$∠ BDC$的度数。
(2) 直角三角形外接圆的直径为斜边，因此$Rt△ ABD$和$Rt△ BCD$共斜边BD，二者外接圆圆心都为BD中点、半径都为$\frac{1}{2}BD$，可得A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，$∠ BAC$与$∠ BDC$都是弧BC对应的圆周角，二者相等即可求解。
(3) 先作$△ ABC$的外接圆，由$∠ BAC=45°$可得对应的圆心角$∠ BOC=90°$，结合BC的长度求出外接圆半径，再利用垂径定理求出OE的长度，通过构造矩形OEDF得到OF和DF的长度，最后用勾股定理求出AF的长度，$AF+DF$即为AD的长。
【解析】
(1) 因为$AB=AC=AD$，所以点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的$\odot A$上，$∠ BAC$是弧BC所对的圆心角，大小为$90°$，$∠ BDC$是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 取BD的中点O，连接OA、OC：
在$Rt△ BAD$中，$∠ BAD=90°$，O是BD中点，因此$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，O是BD中点，因此$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
可得$OA=OB=OC=OD$，即A、B、C、D四点在以O为圆心、$\frac{1}{2}BD$为半径的同一个圆上。
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角相等，因此$∠ BAC=∠ BDC=25°$。
(3) 作$△ ABC$的外接圆，过圆心O作$OE⊥ BC$于E，$OF⊥ AD$于F，连接OA、OB、OC：
已知$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理，同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠ BOC=2∠ BAC=90°$。
$BC=BD+CD=6+2=8$，在等腰$Rt△ BOC$中，$OB=OC$，由$OB^2+OC^2=BC^2$得$2OB^2=64$，解得$OB=OC=4\sqrt{2}$，即外接圆半径$OA=4\sqrt{2}$。
因为$OE⊥ BC$，根据垂径定理，$BE=EC=\frac{1}{2}BC=4$，因此$DE=EC-CD=4-2=2$。
又$OE⊥ BC$，$AD⊥ BC$，$OF⊥ AD$，因此四边形OEDF是矩形，可得$OF=DE=2$，$DF=OE$。
在$Rt△ BEO$中，$OB=4\sqrt{2}$，$BE=4$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=4$，故$DF=4$。
在$Rt△ AFO$中，$OA=4\sqrt{2}$，$OF=2$，由勾股定理得$AF=\sqrt{OA^2-OF^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}$。
因此$AD=AF+DF=2\sqrt{7}+4$。
【答案】
(1) 45
(2) $∠ BAC=25°$
(3) $AD=2\sqrt{7}+4$
【知识点】
圆周角定理，四点共圆的判定，垂径定理
【点评】
本题通过构造辅助圆简化几何计算，前两问利用圆周角定理可快速得到角度关系，第三问通过构造三角形外接圆，结合垂径定理、勾股定理求解线段长度，需要掌握常见的辅助圆构造场景，如共顶点等线段、共斜边的直角三角形等，可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6
(1) 由$AB=AC=AD$可知点B、C、D都在以A为圆心、AB为半径的圆上，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆心角$∠ BAC=90°$，即可直接求出圆周角$∠ BDC$的度数。
(2) 直角三角形外接圆的直径为斜边，因此$Rt△ ABD$和$Rt△ BCD$共斜边BD，二者外接圆圆心都为BD中点、半径都为$\frac{1}{2}BD$，可得A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对圆周角相等，$∠ BAC$与$∠ BDC$都是弧BC对应的圆周角，二者相等即可求解。
(3) 先作$△ ABC$的外接圆，由$∠ BAC=45°$可得对应的圆心角$∠ BOC=90°$，结合BC的长度求出外接圆半径，再利用垂径定理求出OE的长度，通过构造矩形OEDF得到OF和DF的长度，最后用勾股定理求出AF的长度，$AF+DF$即为AD的长。
【解析】
(1) 因为$AB=AC=AD$，所以点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的$\odot A$上，$∠ BAC$是弧BC所对的圆心角，大小为$90°$，$∠ BDC$是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
(2) 取BD的中点O，连接OA、OC：
在$Rt△ BAD$中，$∠ BAD=90°$，O是BD中点，因此$OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，O是BD中点，因此$OC=OB=OD=\frac{1}{2}BD$；
可得$OA=OB=OC=OD$，即A、B、C、D四点在以O为圆心、$\frac{1}{2}BD$为半径的同一个圆上。
根据圆周角定理，同弧BC所对的圆周角相等，因此$∠ BAC=∠ BDC=25°$。
(3) 作$△ ABC$的外接圆，过圆心O作$OE⊥ BC$于E，$OF⊥ AD$于F，连接OA、OB、OC：
已知$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理，同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠ BOC=2∠ BAC=90°$。
$BC=BD+CD=6+2=8$，在等腰$Rt△ BOC$中，$OB=OC$，由$OB^2+OC^2=BC^2$得$2OB^2=64$，解得$OB=OC=4\sqrt{2}$，即外接圆半径$OA=4\sqrt{2}$。
因为$OE⊥ BC$，根据垂径定理，$BE=EC=\frac{1}{2}BC=4$，因此$DE=EC-CD=4-2=2$。
又$OE⊥ BC$，$AD⊥ BC$，$OF⊥ AD$，因此四边形OEDF是矩形，可得$OF=DE=2$，$DF=OE$。
在$Rt△ BEO$中，$OB=4\sqrt{2}$，$BE=4$，由勾股定理得$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=4$，故$DF=4$。
在$Rt△ AFO$中，$OA=4\sqrt{2}$，$OF=2$，由勾股定理得$AF=\sqrt{OA^2-OF^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-2^2}=\sqrt{32-4}=2\sqrt{7}$。
因此$AD=AF+DF=2\sqrt{7}+4$。
【答案】
(1) 45
(2) $∠ BAC=25°$
(3) $AD=2\sqrt{7}+4$
【知识点】
圆周角定理，四点共圆的判定，垂径定理
【点评】
本题通过构造辅助圆简化几何计算，前两问利用圆周角定理可快速得到角度关系，第三问通过构造三角形外接圆，结合垂径定理、勾股定理求解线段长度，需要掌握常见的辅助圆构造场景，如共顶点等线段、共斜边的直角三角形等，可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.6
