登录
例1 如图 3.4.3，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$∠ BCD=100°$，求$∠ ABD$的度数。
图3.4.3
图3.4.3答案
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠BCD+∠A=180°.∵∠BCD=100°$,
∴$∠A=180°-100°=80°.∵AB$ 是$\odot O$的直径,
∴$∠ADB=90°.∴∠ABD=90°-80°=10°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先四边形ABCD内接于⊙O，可优先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BCD的度数，先求出∠BAD的度数；再由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，最后在Rt△ADB中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠BCD+∠A=180°$.
∵$∠BCD=100°$,
∴$∠A=180°-100°=80°$.
∵AB 是$\odot O$的直径,
∴$∠ADB=90°$.
∴$∠ABD=90°-80°=10°$.
【答案】
$\boldsymbol{10°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，核心是对圆相关性质的直接应用，解题时只要对应已知条件匹配对应的性质逐步推导即可，需熟练掌握此类基础题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先四边形ABCD内接于⊙O，可优先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠BCD的度数，先求出∠BAD的度数；再由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，最后在Rt△ADB中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠BCD+∠A=180°$.
∵$∠BCD=100°$,
∴$∠A=180°-100°=80°$.
∵AB 是$\odot O$的直径,
∴$∠ADB=90°$.
∴$∠ABD=90°-80°=10°$.
【答案】
$\boldsymbol{10°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础类几何计算题，核心是对圆相关性质的直接应用，解题时只要对应已知条件匹配对应的性质逐步推导即可，需熟练掌握此类基础题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
例2 如图3.4.4，AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$外一点，BC交$\odot O$于点E，AC交$\odot O$于点D，$∠ DOE=60°$，求$∠ C$的度数.
答案
如图,连接AE,
∵AB为$\odot O$的直径,
∴$∠AEB=90°.∴∠AEC=90°.∵∠DOE=60°$,
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE=30°.∴∠C=90°-30°=60°$
解析
【分析】
要求∠C的度数，可通过构造辅助线求解：首先AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AE可得∠AEC=90°，此时△AEC为直角三角形，∠C和∠DAE互余，仅需求出∠DAE的度数即可；其次∠DAE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠DAE的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠C的度数。
【解析】
解：如图，连接AE。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠AEB=90°$，因此$∠AEC=180°-∠AEB=90°$。
∵$∠DOE=60°$，$∠DAE$是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，$∠DOE$是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠C+∠DAE=90°$，
∴$∠C=90°-30°=60°$。
【答案】
如图,连接AE,
∵AB为$\odot O$的直径,
∴$∠AEB=90°.∴∠AEC=90°.∵∠DOE=60°$,
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE=30°.∴∠C=90°-30°=60°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是正确作出辅助线AE，同时利用直径的性质和圆周角定理建立角度关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠C的度数，可通过构造辅助线求解：首先AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，连接AE可得∠AEC=90°，此时△AEC为直角三角形，∠C和∠DAE互余，仅需求出∠DAE的度数即可；其次∠DAE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，∠DOE是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠DAE的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可算出∠C的度数。
【解析】
解：如图，连接AE。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠AEB=90°$，因此$∠AEC=180°-∠AEB=90°$。
∵$∠DOE=60°$，$∠DAE$是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，$∠DOE$是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角，
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ AEC$中，$∠C+∠DAE=90°$，
∴$∠C=90°-30°=60°$。
【答案】
如图,连接AE,
∵AB为$\odot O$的直径,
∴$∠AEB=90°.∴∠AEC=90°.∵∠DOE=60°$,
∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE=30°.∴∠C=90°-30°=60°$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是正确作出辅助线AE，同时利用直径的性质和圆周角定理建立角度关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$。若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
（第1题）
A
）A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
（第1题）答案
1. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①首先看到圆内接四边形，优先想到圆内接四边形对角互补，可先求出∠DAB的度数；②已知$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，根据等弧所对的圆周角相等，可知AC平分∠DAB，即可求出∠CAB的度数；③AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，最后在直角三角形ACB中利用两锐角互余即可求出∠ABC的度数。解题时可先连接辅助线AC，搭建角之间的关系桥梁。
【解析】
连接AC，
1. 因为四边形ABCD是半圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ DAB + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=110°$，因此$∠ DAB=180° - 110°=70°$。
2. 因为$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ DAC = ∠ CAB = \frac{1}{2}∠ DAB = \frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 因为AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得：
$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ACB$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题关键是正确添加辅助线AC，将弧相等的条件转化为角相等的关系，结合圆内接四边形和直径的性质即可求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：①首先看到圆内接四边形，优先想到圆内接四边形对角互补，可先求出∠DAB的度数；②已知$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，根据等弧所对的圆周角相等，可知AC平分∠DAB，即可求出∠CAB的度数；③AB是直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，最后在直角三角形ACB中利用两锐角互余即可求出∠ABC的度数。解题时可先连接辅助线AC，搭建角之间的关系桥梁。
【解析】
连接AC，
1. 因为四边形ABCD是半圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得：
$∠ DAB + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=110°$，因此$∠ DAB=180° - 110°=70°$。
2. 因为$\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ DAC = ∠ CAB = \frac{1}{2}∠ DAB = \frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 因为AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得：
$∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ACB$中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形性质、圆周角定理、直角三角形性质
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题关键是正确添加辅助线AC，将弧相等的条件转化为角相等的关系，结合圆内接四边形和直径的性质即可求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB为$\odot O$的直径，构造四边形$OACD$，且弦$CD// AB$，若$∠ D=40°$，则$∠ C$的度数是（
A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
C
）A.$100°$
B.$105°$
C.$110°$
D.$115°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：CD平行AB，∠D=40°，圆的半径都相等。首先利用平行线的内错角相等求出∠BOD的度数，再由OC、OD都是半径可得△OCD是等腰三角形，求出∠OCD和∠COD的度数，接着根据平角的定义求出∠AOC的度数，再由OA=OC得到△OAC是等腰三角形，求出∠OCA的度数，最后将∠OCA和∠OCD相加即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
1. 因为CD//AB，∠D=40°，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BOD=∠D=40°；
2. 因为OC、OD都是$\odot O$的半径，所以OC=OD，△OCD为等腰三角形，因此∠OCD=∠D=40°；
3. 在△OCD中，根据三角形内角和为180°，可得∠COD=$180°-∠ OCD-∠ D=180°-40°-40°=100°$；
4. 因为AB是$\odot O$的直径，∠AOB是平角为180°，所以∠AOC=$180°-∠ COD-∠ BOD=180°-100°-40°=40°$；
5. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以OA=OC，△OAC为等腰三角形，因此$∠ OCA=∠ OAC=(180°-∠ AOC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
6. 所以$∠ C=∠ ACD=∠ OCA+∠ OCD=70°+40°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的关键是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线性质逐步推导所求角的度数，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：CD平行AB，∠D=40°，圆的半径都相等。首先利用平行线的内错角相等求出∠BOD的度数，再由OC、OD都是半径可得△OCD是等腰三角形，求出∠OCD和∠COD的度数，接着根据平角的定义求出∠AOC的度数，再由OA=OC得到△OAC是等腰三角形，求出∠OCA的度数，最后将∠OCA和∠OCD相加即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
1. 因为CD//AB，∠D=40°，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BOD=∠D=40°；
2. 因为OC、OD都是$\odot O$的半径，所以OC=OD，△OCD为等腰三角形，因此∠OCD=∠D=40°；
3. 在△OCD中，根据三角形内角和为180°，可得∠COD=$180°-∠ OCD-∠ D=180°-40°-40°=100°$；
4. 因为AB是$\odot O$的直径，∠AOB是平角为180°，所以∠AOC=$180°-∠ COD-∠ BOD=180°-100°-40°=40°$；
5. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以OA=OC，△OAC为等腰三角形，因此$∠ OCA=∠ OAC=(180°-∠ AOC)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
6. 所以$∠ C=∠ ACD=∠ OCA+∠ OCD=70°+40°=110°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的关键是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合平行线性质逐步推导所求角的度数，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，若$∠ BOD=160°$，则$∠ BAD=$
80
$°$，$∠ BCD=$100
$°$。答案
3. 80,100
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步求∠BAD，观察可知∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，已知的∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，根据圆周角定理即可直接计算∠BAD的度数；第二步求∠BCD，已知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠BAD的度数即可得到∠BCD的度数，也可通过优弧BD对应的圆周角计算，结果一致。
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
∵ ∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，∠BOD=160°
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×160° = 80°$
2. 计算∠BCD的度数：
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，∠BAD和∠BCD是一组对角
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
∴ $∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 80° = 100°$
【答案】
80，100
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形对角互补
【点评】
本题是圆性质的基础应用类题目，核心考查对圆周角定理、圆内接四边形性质的掌握程度，解题时要准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，不要混淆二者的倍数关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步求∠BAD，观察可知∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，已知的∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，根据圆周角定理即可直接计算∠BAD的度数；第二步求∠BCD，已知四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠BAD的度数即可得到∠BCD的度数，也可通过优弧BD对应的圆周角计算，结果一致。
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
∵ ∠BAD是劣弧BD所对的圆周角，∠BOD是劣弧BD所对的圆心角，∠BOD=160°
∴ $∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×160° = 80°$
2. 计算∠BCD的度数：
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
∵ 四边形ABCD内接于$\odot O$，∠BAD和∠BCD是一组对角
∴ $∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
∴ $∠ BCD = 180° - ∠ BAD = 180° - 80° = 100°$
【答案】
80，100
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形对角互补
【点评】
本题是圆性质的基础应用类题目，核心考查对圆周角定理、圆内接四边形性质的掌握程度，解题时要准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，不要混淆二者的倍数关系，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点A，B，C，D都在$\odot O$上，$∠ ABC = 90°$，AD = 3，CD = 2，$\odot O$的直径是
$\sqrt{13}$
。答案
4. $\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先观察题干条件，圆内接四边形中∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可先连接AC，确定AC为⊙O的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，已知AD、CD的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度，也就是圆的直径。
【解析】
连接AC，
∵ 点A，B，C都在⊙O上，且∠ABC=90°，
∴ AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 点D在⊙O上，AC为直径，
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，AD=3，CD=2，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论，通过直角圆周角确定直径，将问题转化为直角三角形中求边长的问题，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
首先观察题干条件，圆内接四边形中∠ABC=90°，结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可先连接AC，确定AC为⊙O的直径；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，即△ADC是直角三角形，已知AD、CD的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度，也就是圆的直径。
【解析】
连接AC，
∵ 点A，B，C都在⊙O上，且∠ABC=90°，
∴ AC是⊙O的直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
∵ 点D在⊙O上，AC为直径，
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ADC中，AD=3，CD=2，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，
即⊙O的直径为$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理推论，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理的推论，通过直角圆周角确定直径，将问题转化为直角三角形中求边长的问题，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.8
