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5. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ C=2∠ A$,DE是$\odot O$的直径,连接BD,BE.
(1) 求$∠ A$的度数;
(2) 若$\odot O$直径为4,求BE的长.
(1) 求$∠ A$的度数;
(2) 若$\odot O$直径为4,求BE的长.
答案
5. (1)
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠C+∠A=180°$.又
∵$∠C=2∠A$,
∴$∠A=60°$
(2)
∵DE是$\odot O$的直径,
∴$∠DBE=90°$.由圆周角定理,得$∠E=∠A=60°.∴∠BDE=90°-60°=30°.∴BE=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×4=2$
∵四边形ABCD内接于$\odot O$,
∴$∠C+∠A=180°$.又
∵$∠C=2∠A$,
∴$∠A=60°$
(2)
∵DE是$\odot O$的直径,
∴$∠DBE=90°$.由圆周角定理,得$∠E=∠A=60°.∴∠BDE=90°-60°=30°.∴BE=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×4=2$
解析
【分析】
(1) 求∠A的度数时，首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠C的和为180°，结合题目给出的∠C=2∠A的数量关系，代入计算即可求出∠A的度数。
(2) 求BE的长度时，首先看到DE是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△DBE是直角三角形；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠E=∠A，即可求出Rt△DBE中锐角的度数，最后利用含30°角的直角三角形的性质，结合直径长度即可求出BE的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠C + ∠A = 180°$，
又
∵$∠C = 2∠A$，
∴$2∠A + ∠A = 180°$，
解得$∠A = 60°$。
(2)
∵DE是$\odot O$的直径，
∴$∠DBE = 90°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠E = ∠A = 60°$，
∴在$Rt△ DBE$中，$∠BDE = 90° - ∠E = 30°$，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，DE为直径等于4，
∴$BE = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A=60°}$；
(2) $\boldsymbol{BE=2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握圆相关的性质定理，找到角的等量关系，结合直角三角形的性质求解，考查了基础的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠A的度数时，首先观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得∠A与∠C的和为180°，结合题目给出的∠C=2∠A的数量关系，代入计算即可求出∠A的度数。
(2) 求BE的长度时，首先看到DE是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得△DBE是直角三角形；再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠E=∠A，即可求出Rt△DBE中锐角的度数，最后利用含30°角的直角三角形的性质，结合直径长度即可求出BE的长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠C + ∠A = 180°$，
又
∵$∠C = 2∠A$，
∴$2∠A + ∠A = 180°$，
解得$∠A = 60°$。
(2)
∵DE是$\odot O$的直径，
∴$∠DBE = 90°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠E = ∠A = 60°$，
∴在$Rt△ DBE$中，$∠BDE = 90° - ∠E = 30°$，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，DE为直径等于4，
∴$BE = \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠A=60°}$；
(2) $\boldsymbol{BE=2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握圆相关的性质定理，找到角的等量关系，结合直角三角形的性质求解，考查了基础的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$\odot O$的内接四边形ABCD中，$AB=AD$，$∠ C=100°$.若点E在AD上，求$∠ E$的度数.
答案
6. 如图,连接BD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴$∠C+∠BAD=180°.∴∠BAD=180°-100°=80°.∵AB=AD$,
∴$∠ABD=∠ADB.∴∠ABD=\frac{1}{2}(180°-80°)=50°$.
∵四边形ABDE为圆的内接四边形,
∴$∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-50°=130°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数求出∠BAD的度数；再由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理算出∠ABD的度数；最后四边形ABDE同样是圆内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质即可求出∠E的度数，解题第一步需先连接辅助线BD，构造出所需的角的关系。
【解析】
如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 100° = 80°$。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB$，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}(180° - ∠ BAD)=\frac{1}{2}(180° - 80°)=50°$。
∵ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ E + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ E = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
6. 如图,连接BD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴$∠C+∠BAD=180°.∴∠BAD=180°-100°=80°.∵AB=AD$,
∴$∠ABD=∠ADB.∴∠ABD=\frac{1}{2}(180°-80°)=50°$.
∵四边形ABDE为圆的内接四边形,
∴$∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-50°=130°$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，重点考查圆内接四边形对角互补性质的灵活运用，通过添加辅助线BD即可打通已知角和未知角的关联，解题逻辑清晰，掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先根据圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数求出∠BAD的度数；再由AB=AD可知△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角及三角形内角和定理算出∠ABD的度数；最后四边形ABDE同样是圆内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质即可求出∠E的度数，解题第一步需先连接辅助线BD，构造出所需的角的关系。
【解析】
如图，连接BD。
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ C + ∠ BAD = 180°$，
∴ $∠ BAD = 180° - 100° = 80°$。
∵ $AB=AD$，
∴ $∠ ABD = ∠ ADB$，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}(180° - ∠ BAD)=\frac{1}{2}(180° - 80°)=50°$。
∵ 四边形ABDE为$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ E + ∠ ABD = 180°$，
∴ $∠ E = 180° - 50° = 130°$。
【答案】
6. 如图,连接BD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴$∠C+∠BAD=180°.∴∠BAD=180°-100°=80°.∵AB=AD$,
∴$∠ABD=∠ADB.∴∠ABD=\frac{1}{2}(180°-80°)=50°$.
∵四边形ABDE为圆的内接四边形,
∴$∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-50°=130°$
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，重点考查圆内接四边形对角互补性质的灵活运用，通过添加辅助线BD即可打通已知角和未知角的关联，解题逻辑清晰，掌握相关基础性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，F是线段BD上一点，连接CF并延长，交AB于点E，$CF=BF$.
（1）求证：$CE⊥ AB$.
（2）若$CE=12$，$BE=8$，求AB的长.
（1）求证：$CE⊥ AB$.
（2）若$CE=12$，$BE=8$，求AB的长.
答案
7. (1)
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$BC=CD$,$∠D=∠CBF$.由圆周角定理,得$∠A=∠D.∴∠CBF=∠A.∵AB$是$\odot O$的直径,
∴$∠ACB=90°.∵CF=BF$,
∴$∠CBF=∠FCB.∴∠A=∠ECB.∵∠A+∠CBE=90°$,
∴$∠ECB+∠CBE=90°.∴∠CEB=90°$,即 $CE ⊥ AB$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△EBC$ 中, $CE = 12$, $BE = 8$, $∴BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13}.∵BC=CD$,
∴$BC=CD=4\sqrt{13}$.设$AB=x$,则$AE=x-8$.由勾股定理,得 $AC^2=(x-8)^2+12^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$.解得 $x=26.∴AB=26$
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.
∴$BC=CD$,$∠D=∠CBF$.由圆周角定理,得$∠A=∠D.∴∠CBF=∠A.∵AB$是$\odot O$的直径,
∴$∠ACB=90°.∵CF=BF$,
∴$∠CBF=∠FCB.∴∠A=∠ECB.∵∠A+∠CBE=90°$,
∴$∠ECB+∠CBE=90°.∴∠CEB=90°$,即 $CE ⊥ AB$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△EBC$ 中, $CE = 12$, $BE = 8$, $∴BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13}.∵BC=CD$,
∴$BC=CD=4\sqrt{13}$.设$AB=x$,则$AE=x-8$.由勾股定理,得 $AC^2=(x-8)^2+12^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$.解得 $x=26.∴AB=26$
解析
【分析】
（1）要证明$CE⊥AB$，即证$∠ CEB=90°$，可通过角的等量代换推导：先由弧中点的性质得等弧对应的圆周角相等，结合$CF=BF$的等腰三角形性质，将角进行代换后，利用直径所对圆周角为直角的性质，即可推出$∠ ECB+∠ CBE=90°$，得到垂直关系。
（2）求$AB$的长，先在$Rt△ EBC$中用勾股定理求出$BC$的长度，再设$AB$为未知数，分别在$Rt△ ACE$和$Rt△ ACB$中用勾股定理表示出$AC^2$，列方程求解即可得到$AB$的长度。
【解析】
（1）证明：
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ D=∠ CBF$，
由圆周角定理得$∠ A=∠ D$，
$\therefore ∠ CBF=∠ A$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，即$∠ A+∠ CBE=90°$。
$\because CF=BF$，
$\therefore ∠ CBF=∠ FCB$，
$\therefore ∠ A=∠ ECB$，
$\therefore ∠ ECB+∠ CBE=90°$，
$\therefore ∠ CEB=90°$，即$CE⊥ AB$。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，$CE=12$，$BE=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13}$。
设$AB=x$，则$AE=AB-BE=x-8$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC^2=AE^2+CE^2=(x-8)^2+12^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC^2=AB^2-BC^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$，
$\therefore (x-8)^2+12^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$，
解得$x=26$，
$\therefore AB=26$。
【答案】
（1）$CE⊥ AB$得证；
（2）$\boxed{26}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用圆周角定理完成角的等量代换，结合勾股定理建立方程求解未知线段，要注意灵活运用直径所对圆周角为直角、等弧对应等角这类常用结论。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$CE⊥AB$，即证$∠ CEB=90°$，可通过角的等量代换推导：先由弧中点的性质得等弧对应的圆周角相等，结合$CF=BF$的等腰三角形性质，将角进行代换后，利用直径所对圆周角为直角的性质，即可推出$∠ ECB+∠ CBE=90°$，得到垂直关系。
（2）求$AB$的长，先在$Rt△ EBC$中用勾股定理求出$BC$的长度，再设$AB$为未知数，分别在$Rt△ ACE$和$Rt△ ACB$中用勾股定理表示出$AC^2$，列方程求解即可得到$AB$的长度。
【解析】
（1）证明：
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ D=∠ CBF$，
由圆周角定理得$∠ A=∠ D$，
$\therefore ∠ CBF=∠ A$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，即$∠ A+∠ CBE=90°$。
$\because CF=BF$，
$\therefore ∠ CBF=∠ FCB$，
$\therefore ∠ A=∠ ECB$，
$\therefore ∠ ECB+∠ CBE=90°$，
$\therefore ∠ CEB=90°$，即$CE⊥ AB$。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ EBC$中，$CE=12$，$BE=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13}$。
设$AB=x$，则$AE=AB-BE=x-8$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$AC^2=AE^2+CE^2=(x-8)^2+12^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC^2=AB^2-BC^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$，
$\therefore (x-8)^2+12^2=x^2-(4\sqrt{13})^2$，
解得$x=26$，
$\therefore AB=26$。
【答案】
（1）$CE⊥ AB$得证；
（2）$\boxed{26}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练运用圆周角定理完成角的等量代换，结合勾股定理建立方程求解未知线段，要注意灵活运用直径所对圆周角为直角、等弧对应等角这类常用结论。
【难度系数】
0.65
8. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，点F在CD延长线上，且DA平分$∠ BDF$，$AE⊥ CD$，垂足为E.
（1）求证：$AB=AC$.
（2）若$BD=11$，$DE=2$，求$CD$的长.
（1）求证：$AB=AC$.
（2）若$BD=11$，$DE=2$，求$CD$的长.
答案
8. (1)
∵ AD 平分 $∠BDF$,
∴ $∠ADF = ∠ADB$.
∵ $∠ABC + ∠ADC = 180°$,$∠ADC+∠ADF=180°$,
∴$∠ADF=∠ABC.∵∠ACB=∠ADB$,
∴$∠ABC=∠ACB.∴AB=AC$
(2) 过点 A 作 $AG⊥BD$,垂足为 G.
∵AD 平分$∠BDF$,$AE⊥CF$,$AG⊥BD$,
∴ $AG = AE$, $∠AGB = ∠AEC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△AED$ 和 $\mathrm{Rt}△AGD$ 中,$\begin{cases} AE=AG, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AED≌\mathrm{Rt}△AGD.∴GD=ED=2$.在 $\mathrm{Rt}△AEC$ 和 $\mathrm{Rt}△AGB$ 中,$\begin{cases} AE=AG, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△AEC≌\mathrm{Rt}△AGB(\mathrm{HL}).∴BG=CE.∵BD=11$,
∴$BG=BD-GD=11-2=9.∴CE=BG=9.∴CD=CE-DE=9-2=7$
解析
【分析】
（1）要证AB=AC，根据等腰三角形判定，只需证明∠ABC=∠ACB。首先利用角平分线定义得∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推出∠ADF=∠ABC，最后根据同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，等量代换即可得∠ABC=∠ACB，证得结论。
（2）要求CD的长，已知DE=2，只需求出CE的长即可计算。根据角平分线的性质，过点A作AG⊥BD于G，可得AG=AE。先证明Rt△AED≌Rt△AGD得到GD=DE=2，再结合（1）中AB=AC的结论，证明Rt△AEC≌Rt△AGB得到CE=BG，求出BG的长度后即可得到CE，进而求出CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF = ∠ADB，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵∠ADC + ∠ADF = 180°，
∴∠ADF = ∠ABC，
∵同弧AB所对的圆周角相等，
∴∠ACB = ∠ADB，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC。
（2）解：
过点A作AG⊥BD，垂足为G，
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG = AE，∠AGB = ∠AEC = 90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
$\begin{cases} AE=AG \\ AD=AD \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL），
∴GD = ED = 2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
$\begin{cases} AE=AG \\ AB=AC \end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG = CE，
∵BD = 11，
∴BG = BD - GD = 11 - 2 = 9，
∴CE = BG = 9，
∴CD = CE - DE = 9 - 2 = 7。
【答案】
（1）AB=AC得证；
（2）CD的长为7。
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题，将角平分线性质、全等三角形的判定与性质和圆的相关性质结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用全等转化线段关系，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证AB=AC，根据等腰三角形判定，只需证明∠ABC=∠ACB。首先利用角平分线定义得∠ADF=∠ADB，再结合圆内接四边形对角互补、邻补角互补推出∠ADF=∠ABC，最后根据同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，等量代换即可得∠ABC=∠ACB，证得结论。
（2）要求CD的长，已知DE=2，只需求出CE的长即可计算。根据角平分线的性质，过点A作AG⊥BD于G，可得AG=AE。先证明Rt△AED≌Rt△AGD得到GD=DE=2，再结合（1）中AB=AC的结论，证明Rt△AEC≌Rt△AGB得到CE=BG，求出BG的长度后即可得到CE，进而求出CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF = ∠ADB，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC + ∠ADC = 180°，
又
∵∠ADC + ∠ADF = 180°，
∴∠ADF = ∠ABC，
∵同弧AB所对的圆周角相等，
∴∠ACB = ∠ADB，
∴∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC。
（2）解：
过点A作AG⊥BD，垂足为G，
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG = AE，∠AGB = ∠AEC = 90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
$\begin{cases} AE=AG \\ AD=AD \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△AGD（HL），
∴GD = ED = 2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
$\begin{cases} AE=AG \\ AB=AC \end{cases}$
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG = CE，
∵BD = 11，
∴BG = BD - GD = 11 - 2 = 9，
∴CE = BG = 9，
∴CD = CE - DE = 9 - 2 = 7。
【答案】
（1）AB=AC得证；
（2）CD的长为7。
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题，将角平分线性质、全等三角形的判定与性质和圆的相关性质结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用全等转化线段关系，有助于提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
