登录
11. 学科特色多解法「★☆」已知$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=-x^2-2x+2$上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 (
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
)A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_3＞y_2＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
【解法一】性质法:
∵ $y=-x^2-2x+2=-(x+1)^2+3$,
∴ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,开口向下,
∴ $x＞-1$ 时,$y$随 x 的增大而减小,
∵ $A(-2,y_1)$ 是抛物线 $y=-x^2-2x+2$ 上的点,
∴ $A(-2,y_1)$ 关于直线 $x=-1$ 的对称点$(0,y_1)$ 也是抛物线上的点,
∵ $-1＜0＜1＜2$,
∴ $y_1＞y_2＞y_3$.
【解法二】代入求值法:
∵ $A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$ 是抛物线 $y=-x^2-2x+2$ 上的三点,
∴ $y_1=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$,$y_2=-1-2+2=-1$,$y_3=-2^2-2×2+2=-6$,
∴ $y_1＞y_2＞y_3$.
【解法三】距离法:
∵ $y=-x^2-2x+2=-(x+1)^2+3$,
∴ 抛物线的对称轴是直线 $x=-1$,开口向下,
∴ 抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值越小,
∵ $A(-2,y_1),B(1,y_2)$,$C(2,y_3)$ 三点到对称轴的距离分别是 1,2,3,
∴ $y_1＞y_2＞y_3$.
【解法四】图象法:画出二次函数图象的草图,标出三个点的大致位置,根据图象判定函数值的大小.
∵ $y=-x^2-2x+2=-(x+1)^2+3$,
∴ 抛物线顶点坐标为$(-1,3)$,开口向下,对称轴是直线 $x=-1$,可以画出抛物线的草图,如图,标出$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$ 的大致位置,由图象知 $y_1＞y_2＞y_3$.
技巧归纳 根据二次函数的性质,用距离法比较函数值的大小
对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$:
(1) 当 a＞0 时,抛物线上的点到对称轴的距离越远,对应的函数值越大,如图 1;
(2) 当 a＜0 时,抛物线上的点到对称轴的距离越近,对应的函数值越大,如图 2.
12.「★★☆」已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图象如图所示，点$(-1,y_1),(0,y_2),(1.5,y_3)$在该二次函数图象上，则（
A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
C
）A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
由题图可知,抛物线开口向下,对称轴是直线 $x=1$,
∴ 当 x＜1 时,y 随 x 的增大而增大,
∵ 点$(1.5,y_3)$ 关于直线x=1 的对称点是点$(0.5,y_3)$,且$-1＜0＜0.5＜1$,
∴ $y_1＜y_2＜y_3$.
故选 C.
∴ 当 x＜1 时,y 随 x 的增大而增大,
∵ 点$(1.5,y_3)$ 关于直线x=1 的对称点是点$(0.5,y_3)$,且$-1＜0＜0.5＜1$,
∴ $y_1＜y_2＜y_3$.
故选 C.
13.「2026浙江杭州十五中月考，★★☆」已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的其中一个解的范围是（
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
B
）A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
依题意得二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象开口向下,对称轴为直线 $x=-1$,
∵ 对称轴右侧图象与 x 轴交点横坐标在 0 与 1 之间,即 0＜x＜1,
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标在 -3 与 -2 之间,即一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的其中一个解的范围是 $-3＜x＜-2$.
故选 B.
∵ 对称轴右侧图象与 x 轴交点横坐标在 0 与 1 之间,即 0＜x＜1,
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点横坐标在 -3 与 -2 之间,即一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的其中一个解的范围是 $-3＜x＜-2$.
故选 B.
14.「★★☆」二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）和一次函数$y=kx+m$（$k,m$是常数，$k≠0$）的图象如图所示，两交点分别为$M(-\dfrac{3}{2},2),N(2,-2)$，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c -kx -m ＜0$的解集是
$-\dfrac{3}{2}＜x＜2$
。答案
解析 观察图象可知,当$-\dfrac{3}{2}＜x＜2$时,$ax^2+bx+c＜kx+m$,所以不等式$ax^2+bx+c-kx-m＜0$的解集为$-\dfrac{3}{2}＜x＜2$.
15.「2026湖北武汉期中，★★☆」如图所示的为二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象，试观察图象回答问题：
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$
(2)当$y＞0$时，直接写出$x$的取值范围：
(3)若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是
(4)当$-3＜x＜3$时，求$y$的取值范围。
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$
$-3$
，$x_2=$$1$
。(2)当$y＞0$时，直接写出$x$的取值范围：
$-3＜x＜1$
。(3)若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是
$t≤4$
。(4)当$-3＜x＜3$时，求$y$的取值范围。
答案
(1)整理$-x^2-2x+3=0$,得$(x+3)(x-1)=0$,
解得 $x=-3$ 或 1.
故答案为-3;1(或1;-3).
(2)$-3＜x＜1$.
(3)
∵ $y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴ 抛物线的开口向下,顶点坐标为$(-1,4)$,
∴ 若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则 t 的取值范围是 $t≤4$.
故答案为 $t≤4$.
(4)当 x=3 时,$y=-3^2-2×3+3=-12$,
当 x=-3 时,$y=-(-3)^2-2×(-3)+3=0$,
由函数图象可知,当 x=-1 时,y 取得最大值,为 4,
∴ 当$-3＜x＜3$时,y 的取值范围是$-12＜y≤4$.
解得 $x=-3$ 或 1.
故答案为-3;1(或1;-3).
(2)$-3＜x＜1$.
(3)
∵ $y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
∴ 抛物线的开口向下,顶点坐标为$(-1,4)$,
∴ 若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则 t 的取值范围是 $t≤4$.
故答案为 $t≤4$.
(4)当 x=3 时,$y=-3^2-2×3+3=-12$,
当 x=-3 时,$y=-(-3)^2-2×(-3)+3=0$,
由函数图象可知,当 x=-1 时,y 取得最大值,为 4,
∴ 当$-3＜x＜3$时,y 的取值范围是$-12＜y≤4$.
