16.「2026 浙江台州期末，★★☆」已知抛物线的表达式为 $y=-x^2+2ax-a^2+2a$。

(1)求抛物线的顶点坐标.(用含a的式子表示)
(2)若该抛物线与直线 $y=2x$ 的交点的横坐标分别为 $x_1$，$x_2$，证明：$|x_1-x_2|=2$。
(3)求不等式 $-2x+4a＜-x^2+2ax-a^2+2a$ 的解集.(用含a的式子表示)

(1)
∵ $y=-x^2+2ax-a^2+2a=-(x^2-2ax+a^2)+2a=-(x-a)^2+2a$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(a,2a)$.
(2)证明:令$-x^2+2ax-a^2+2a=2x$,
整理得$-x^2+(2a-2)x-a^2+2a=0$,
∵ 该抛物线与直线 $y=2x$ 的交点的横坐标分别为 $x_1,x_2$,
∴ $x_1+x_2=2a-2$,$x_1x_2=a^2-2a$,
∴ $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$
$=\sqrt{(2a-2)^2-4(a^2-2a)}=\sqrt{4a^2-8a+4-4a^2+8a}=\sqrt{4}=2$.
(3)整理$-2x+4a＜-x^2+2ax-a^2+2a$,得$x^2-2ax+a^2-2x+2a＜0$.
不等式的解集为抛物线 $y=x^2-2ax+a^2-2x+2a$ 在 x 轴下方部分的自变量的取值范围,
令 y=0,则$x^2-2ax+a^2-2x+2a=0$,
∴ $(x-a)^2-2(x-a)=0$,
∴ $(x-a)(x-a-2)=0$,
∴ x=a 或 x=a+2,
∴ 抛物线 $y=x^2-2ax+a^2-2x+2a$ 与 x 轴交点的坐标为(a,0),(a+2,0),
∴ 不等式 $x^2-2ax+a^2-2x+2a＜0$ 的解集为 a＜x＜a+2,
即不等式$-2x+4a＜-x^2+2ax-a^2+2a$ 的解集为 a＜x＜a+2.