1. 已知α为锐角，$\sinα=\cos50°$，那么α等于 （）

A.$20°$；
B.$30°$；
C.$40°$；
D.$50°$

1. C.

【分析】
解题时首先观察等式两边的三角函数类型，一边是正弦，一边是余弦，可联想到互余两角的三角函数转化关系：任意锐角的正弦值等于它余角的余弦值，即$\sinα=\cos(90°-α)$。我们可以先把等式右侧的余弦转化为正弦形式，再结合α是锐角的条件，对应相等的三角函数值就能得到α的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系：对于任意锐角$A$，都有$\cos A=\sin(90° - A)$。
因此$\cos50°=\sin(90° - 50°)=\sin40°$。
已知$\sinα=\cos50°$，代入可得$\sinα=\sin40°$。
又因为$α$是锐角，锐角的正弦值与角度一一对应，所以$α=40°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余角之间的正弦与余弦的转化关系，熟练掌握该三角函数基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，$∠ A$、$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$，那么$△ ABC$的形状是（）

A.直角三角形；
B.钝角三角形；
C.锐角三角形；
D.无法确定。

2. C.

【分析】
解题思路：首先根据题目给出的两个锐角的三角函数值，结合特殊锐角的三角函数值，求出∠A和∠B的度数；再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；最后根据三个内角的大小判断三角形的形状。思考时需注意，题目明确∠A、∠B是锐角，无需考虑三角函数值对应的钝角情况，直接对应特殊角即可。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，且$\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$∠ A=45°$，
∵∠B是锐角，且$\cos B=\dfrac{1}{2}$，
∴$∠ B=60°$，
根据三角形内角和定理得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$，
∴△ABC的三个内角均为锐角，因此△ABC是锐角三角形。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对特殊锐角三角函数值的识记，结合三角形内角和定理即可快速求解，掌握常见特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.85

3 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CE$是斜边$AB$上的中线，过点$E$作$EF⊥ AB$，交$AC$于点$F$。如果$BC=4$，$\cos∠ CEF=\frac{4}{5}$，那么$△ AEF$的面积为（）

A.3；
B.4；
C.5；
D.6.

3. C. 提示：如图，过点C作$CG⊥AB$，垂足为G，则
$∠ GCE=∠ CEF$，故 $\cos ∠ GCE=\cos ∠ CEF=\frac{4}{5}$. 可
设 $CG = 4a$，$CE = 5a$，则 $GE = 3a$，$BG = 2a$. 在
$\mathrm{Rt}△ BCG$ 中，$(2a)^2+(4a)^2=4^2$，解得 $a=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 或 $a=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$(舍去). 所以，$CG=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$AG=3a+5a=\frac{16\sqrt{5}}{5}$，$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}× \frac{8\sqrt{5}}{5}× \frac{16\sqrt{5}}{5}=\frac{64}{5}$. 由于$△ AEF ∽ △ AGC$，$\frac{AE}{AG}=\frac{5}{8}$，因此 $S_{△ AEF}=(\frac{5}{8})^2× \frac{64}{5}=5$.

【分析】
首先根据直角三角形斜边中线的性质可得CE=AE=BE，已知∠CEF的余弦值，我们可以通过作CG⊥AB的辅助线，利用平行线的内错角相等得到∠GCE=∠CEF，将已知三角函数值转化到Rt△GCE中，通过设参数表示各边长度，再结合Rt△BCG的勾股定理求出参数，最后证明△AEF与△AGC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出△AEF的面积。
【解析】
过点C作$CG⊥AB$，垂足为G。
∵$EF⊥AB$，$CG⊥AB$，
∴$CG// EF$，可得$∠GCE=∠CEF$，
∴$\cos ∠ GCE=\cos ∠ CEF=\frac{4}{5}$。
在$Rt△GCE$中，设$CG = 4a$，$CE = 5a$，由勾股定理得$GE=\sqrt{CE^2-CG^2}=3a$。
∵$CE$是$Rt△ABC$斜边$AB$上的中线，
∴$CE=BE=AE=5a$，则$BG=BE-GE=5a-3a=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，由勾股定理得$BG^2+CG^2=BC^2$，代入得$(2a)^2+(4a)^2=4^2$，
解得 $a=\frac{2\sqrt{5}}{5}$（$a=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$不符合实际，舍去）。
由此可得：$CG=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$AG=GE+AE=3a+5a=8a=\frac{16\sqrt{5}}{5}$。
∵$∠A$为公共角，$∠AEF=∠AGC=90°$，
∴$△ AEF ∽ △ AGC$，相似比$\frac{AE}{AG}=\frac{5a}{8a}=\frac{5}{8}$。
先计算$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}× AG×CG=\frac{1}{2}× \frac{16\sqrt{5}}{5}× \frac{8\sqrt{5}}{5}=\frac{64}{5}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$S_{△ AEF}=(\frac{5}{8})^2× \frac{64}{5}=5$。
【答案】
C

【知识点】
直角三角形斜边中线性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的应用
【点评】
本题综合考查了直角三角形、三角函数、相似三角形的相关知识，解题的突破口是作辅助线构造相等的角，将已知条件转化到直角三角形中求解，能有效锻炼学生的几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=3$，那么$\tan A=$，$\sin B=$。

4. $\frac{3}{4}$；$\frac{4}{5}$.

【分析】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的求解，解题思路如下：首先已知Rt△ABC的斜边AB和直角边BC，先利用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；其次明确锐角三角函数的定义：正切值为角的对边与邻边的比值，正弦值为角的对边与斜边的比值，分别确定∠A的对边、邻边和∠B的对边，代入对应公式计算即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
根据正切的定义，$\tan A$是$∠ A$的对边与邻边的比值，$∠ A$的对边为$BC=3$，邻边为$AC=4$，因此：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$
根据正弦的定义，$\sin B$是$∠ B$的对边与斜边的比值，$∠ B$的对边为$AC=4$，斜边为$AB=5$，因此：
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{3}{4}$；$\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理，正切的定义，正弦的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数定义的掌握程度，只要熟记三角函数对应的边的比值关系，结合勾股定理求出未知边长即可快速求解。
【难度系数】
0.85

5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$AC=\sqrt{3}$，且$\sin A=\frac{1}{2}$，那么$\tan B=$，$△ ABC$的面积为。

5. $\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【分析】
解题可分两步进行：第一步求$\tan B$的值，首先根据已知的$\sin A=\frac{1}{2}$，结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$的度数，再利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$的度数，即可得到$\tan B$的值；第二步求三角形面积，先根据$∠ A$的三角函数值或直角三角形中$30°$角的性质求出另一条直角边$BC$的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求$\tan B$：
已知$\sin A=\frac{1}{2}$，根据特殊角的三角函数值可得$∠ A=30°$，
因为直角三角形两锐角互余，所以$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$，
因此$\tan B=\tan60°=\sqrt{3}$。
2. 求$△ ABC$的面积：
因为$∠ A=30°$，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，已知$AC=\sqrt{3}$，
所以$BC=AC·\tan A=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
根据直角三角形面积公式，得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握程度，以及直角三角形相关性质的应用，计算量小，只要熟记相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6. 如图，AO是圆锥的高，OB是圆锥底面的半径. 如果$AO=\sqrt{3} OB$，那么圆锥的高与圆锥的母线的夹角$∠ OAB=$°。

6. 30.

【分析】
首先根据圆锥的特征可知，圆锥的高AO垂直于底面半径OB，因此△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。要求∠OAB的度数，可结合已知的AO与OB的长度关系，利用锐角三角函数的定义求出∠OAB的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值即可得到角度。
【解析】
∵AO是圆锥的高，OB是底面半径，
∴AO⊥OB，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形。
已知$AO=\sqrt{3}OB$，在$Rt△ AOB$中，
$\tan∠ OAB=\frac{对边}{邻边}=\frac{OB}{AO}=\frac{OB}{\sqrt{3}OB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又
∵$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$∠ OAB=30°$。
【答案】
30
【知识点】
圆锥的特征；解直角三角形；特殊角的三角函数值
【点评】
本题将圆锥的性质和锐角三角函数相结合，难度较低，解题的关键是明确圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，再结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.8

7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，如果$BC=a$，且$\cos B=\dfrac{1}{3}$，那么$\sin B=$，$△ ABC$的周长为.(用含字母$a$的式子表示)

7. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$(4+2\sqrt{2})a$.

【分析】
本题是直角三角形中三角函数的应用问题，解题思路分两步：①求$\sin B$：利用同角锐角三角函数的平方关系$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，结合$∠ B$是锐角、$\sin B$为正数，代入$\cos B$的值即可求出；②求三角形周长：先根据余弦的定义（邻边比斜边）求出斜边$AB$的长度，再用勾股定理求出直角边$AC$的长度，最后将三边相加即可得到周长。
【解析】
解：$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\therefore ∠ B$是锐角，$\sin B＞0$。
1. 求$\sin B$：
根据同角三角函数的基本关系$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$，代入$\cos B=\dfrac{1}{3}$得：
$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - (\dfrac{1}{3})^2} = \sqrt{\dfrac{8}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$。
2. 求$△ ABC$的周长：
根据余弦的定义，$\cos B = \dfrac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}} = \dfrac{BC}{AB}$，
已知$BC=a$，$\cos B=\dfrac{1}{3}$，代入得：$\dfrac{a}{AB}=\dfrac{1}{3}$，解得$AB=3a$。
由勾股定理得$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(3a)^2 - a^2} = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a$。
则$△ ABC$的周长为$AB + BC + AC = 3a + a + 2\sqrt{2}a = (4 + 2\sqrt{2})a$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$；$(4+2\sqrt{2})a$
【知识点】
同角三角函数关系、锐角三角函数定义、勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直角三角形中锐角三角函数的相关计算，解题时要注意锐角三角函数的对应边关系，计算二次根式时注意化简，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7