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一、选择题
1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=2(x-2)^2$的图像可能是（
1. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=2(x-2)^2$的图像可能是（
D
）答案
1. D.
解析
【分析】
解决二次函数图像判断类问题，可按照“判断开口方向→确定顶点/对称轴位置→验证特殊点”的思路逐步排除错误选项：①首先观察函数表达式，二次项系数a=2＞0，可先判断抛物线开口向上，排除开口向下的选项；②该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，顶点坐标为$(h,0)$，可得本题顶点坐标为$(2,0)$，即顶点落在x轴正半轴，据此排除顶点位置不符合的选项；③也可代入$x=0$计算函数值，验证抛物线与y轴的交点位置，进一步确认正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=2(x-2)^2$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，直接排除。
2. 确定顶点坐标：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），顶点坐标为$(h,k)$。将本题函数改写为$y=2(x-2)^2+0$，可得顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项A的顶点在x轴负半轴（原点左侧），不符合顶点位置，排除；
选项C的顶点在y轴正半轴（$x=0$处），不符合顶点位置，排除；
选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，符合函数性质。
3. 特殊点验证：当$x=0$时，$y=2×(0-2)^2=8＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，也符合选项D的图像特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图像识别、开口方向判断
【点评】
本题是二次函数图像的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对图像的影响，按顺序逐步筛选选项即可快速得到答案，熟练掌握顶点式的图像性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图像判断类问题，可按照“判断开口方向→确定顶点/对称轴位置→验证特殊点”的思路逐步排除错误选项：①首先观察函数表达式，二次项系数a=2＞0，可先判断抛物线开口向上，排除开口向下的选项；②该函数是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，顶点坐标为$(h,0)$，可得本题顶点坐标为$(2,0)$，即顶点落在x轴正半轴，据此排除顶点位置不符合的选项；③也可代入$x=0$计算函数值，验证抛物线与y轴的交点位置，进一步确认正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=2(x-2)^2$中，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，直接排除。
2. 确定顶点坐标：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），顶点坐标为$(h,k)$。将本题函数改写为$y=2(x-2)^2+0$，可得顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项A的顶点在x轴负半轴（原点左侧），不符合顶点位置，排除；
选项C的顶点在y轴正半轴（$x=0$处），不符合顶点位置，排除；
选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，符合函数性质。
3. 特殊点验证：当$x=0$时，$y=2×(0-2)^2=8＞0$，即抛物线与y轴交于正半轴，也符合选项D的图像特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图像识别、开口方向判断
【点评】
本题是二次函数图像的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对图像的影响，按顺序逐步筛选选项即可快速得到答案，熟练掌握顶点式的图像性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 对于二次函数$y=-2(x+3)^2$的图像，下列说法正确的是（
A.开口向上；
B.当$x＞-3$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
C.对称轴是直线$x=3$；
D.顶点坐标为$(-2,-3)$。
B
）A.开口向上；
B.当$x＞-3$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
C.对称轴是直线$x=3$；
D.顶点坐标为$(-2,-3)$。
答案
2. B.
解析
【分析】
解决这道题需要先明确二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$（$a≠0$）的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,0)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+3)^2$，对照顶点式$y=a(x+m)^2$可得：$a=-2$，$m=3$。
1. 判断选项A：$\because a=-2＜0$，$\therefore$函数图像开口向下，A错误；
2. 判断选项C：函数对称轴为直线$x=-m=-3$，不是$x=3$，C错误；
3. 判断选项D：顶点坐标为$(-m,0)$，即$(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D错误；
4. 判断选项B：$\because$函数开口向下，对称轴为$x=-3$，$\therefore$当$x＞-3$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而减小，B正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像特征和增减性规律，熟练记忆相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要先明确二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$（$a≠0$）的相关性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,0)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x+3)^2$，对照顶点式$y=a(x+m)^2$可得：$a=-2$，$m=3$。
1. 判断选项A：$\because a=-2＜0$，$\therefore$函数图像开口向下，A错误；
2. 判断选项C：函数对称轴为直线$x=-m=-3$，不是$x=3$，C错误；
3. 判断选项D：顶点坐标为$(-m,0)$，即$(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D错误；
4. 判断选项B：$\because$函数开口向下，对称轴为$x=-3$，$\therefore$当$x＞-3$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而减小，B正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图像特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像特征和增减性规律，熟练记忆相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{h}{x}(h≠0)$的图像如图所示，则二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图像可能是（
D
）答案
3. D.
解析
【分析】
解题思路分为两步：①先利用反比例函数的图像性质判断h的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图像分布由k的符号决定，k＞0时图像在第一、三象限，k＜0时图像在第二、四象限，由此可得到h的正负。②再结合二次函数顶点式的性质分析图像：二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的顶点坐标为$(h,0)$，顶点在x轴上，对称轴为直线$x=h$，根据h的符号先排除顶点横坐标不符合的选项，再结合开口方向即可确定正确选项。
【解析】
首先观察反比例函数$y=\frac{h}{x}$的图像，可知其分布在第一、第三象限，因此$h＞0$。
对于二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$，它的顶点坐标为$(h,0)$，结合$h＞0$可知顶点在x轴的正半轴上，因此可以排除顶点在x轴负半轴的选项。
进一步分析开口方向，符合顶点在x轴正半轴且开口方向特征的为选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图像与性质；二次函数顶点式的图像与性质
【点评】
本题是函数图像的综合判断题，解题核心是先通过反比例函数确定参数h的符号，再结合二次函数顶点式的图像特征筛选选项，是函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：①先利用反比例函数的图像性质判断h的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图像分布由k的符号决定，k＞0时图像在第一、三象限，k＜0时图像在第二、四象限，由此可得到h的正负。②再结合二次函数顶点式的性质分析图像：二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的顶点坐标为$(h,0)$，顶点在x轴上，对称轴为直线$x=h$，根据h的符号先排除顶点横坐标不符合的选项，再结合开口方向即可确定正确选项。
【解析】
首先观察反比例函数$y=\frac{h}{x}$的图像，可知其分布在第一、第三象限，因此$h＞0$。
对于二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$，它的顶点坐标为$(h,0)$，结合$h＞0$可知顶点在x轴的正半轴上，因此可以排除顶点在x轴负半轴的选项。
进一步分析开口方向，符合顶点在x轴正半轴且开口方向特征的为选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图像与性质；二次函数顶点式的图像与性质
【点评】
本题是函数图像的综合判断题，解题核心是先通过反比例函数确定参数h的符号，再结合二次函数顶点式的图像特征筛选选项，是函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$沿$x$轴向左平移2个单位，得到的抛物线的表达式是
4. 将抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$沿$x$轴向左平移2个单位，得到的抛物线的表达式是
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$
；再向右平移5个单位，得到的抛物线的表达式是$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
。答案
4. $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$；$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象沿x轴平移的规律“左加右减”，注意平移变换是针对自变量x本身进行的，二次项系数在平移过程中保持不变。首先第一步处理向左平移2个单位的情况，依据“左加”原则给x加2；第二步在第一次平移后的表达式基础上，依据“右减”原则给x减5，化简后即可得到最终结果。
【解析】
抛物线沿x轴平移时遵循“左加右减”的规律：向左平移m个单位，将表达式中的x替换为(x+m)；向右平移n个单位，将表达式中的x替换为(x-n)，平移过程中二次项系数不变。
1. 原抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，沿x轴向左平移2个单位，将x替换为$x+2$，得到的抛物线表达式为：
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$
2. 将得到的$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$再向右平移5个单位，将表达式中的x替换为$x-5$，代入得：
$y=-\frac{1}{2}[(x-5)+2]^2=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$；$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 左加右减平移原则
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，易错点是容易混淆平移加减的方向，或者在对带括号的自变量做变换时计算错误，牢记平移是针对自变量x本身的变换即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图象沿x轴平移的规律“左加右减”，注意平移变换是针对自变量x本身进行的，二次项系数在平移过程中保持不变。首先第一步处理向左平移2个单位的情况，依据“左加”原则给x加2；第二步在第一次平移后的表达式基础上，依据“右减”原则给x减5，化简后即可得到最终结果。
【解析】
抛物线沿x轴平移时遵循“左加右减”的规律：向左平移m个单位，将表达式中的x替换为(x+m)；向右平移n个单位，将表达式中的x替换为(x-n)，平移过程中二次项系数不变。
1. 原抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，沿x轴向左平移2个单位，将x替换为$x+2$，得到的抛物线表达式为：
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$
2. 将得到的$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$再向右平移5个单位，将表达式中的x替换为$x-5$，代入得：
$y=-\frac{1}{2}[(x-5)+2]^2=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$；$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 左加右减平移原则
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，易错点是容易混淆平移加减的方向，或者在对带括号的自变量做变换时计算错误，牢记平移是针对自变量x本身的变换即可正确解题。
【难度系数】
0.8
