14 如图，在同一个平面直角坐标系中，有抛物线 $y=2x^2 -1$ 与抛物线 $y=-2x^2 +1$。请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图，并说明作图理由。（保留作图痕迹）
（1）在图(1)中作一菱形。
（2）在图(2)中作一矩形。

14. (1) 如图(1)，菱形$ABCD$即为所求. (2) 如图(2)，矩形$EFGH$即为所求.
提示：(1) 可分别求出两条抛物线与$y$轴、$x$轴的交点坐标$B(0,-1)$、$D(0,1)$、$A(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},0)$、$C(\dfrac{\sqrt{2}}{2},0)$. 因此点$B$和点$D$、点$A$和$C$分别关于原点对称. $AC$和$BD$互相垂直且平分，所以$AB=BC=CD=AD$，四边形$ABCD$是菱形.
(2) 因为两函数图像关于$x$轴对称，且它们各自关于$y$轴对称，所以由四边形$ABCD$是菱形，可得点$F$、$G$关于$x$轴对称，点$E$、$H$关于$x$轴对称，点$F$、$E$关于$y$轴对称，点$G$、$H$关于$y$轴对称. 于是$EF// GH// x$轴，$FG// EH// y$轴. 因此，四边形$EFGH$是矩形.

【分析】
要完成作图，首先分析两条抛物线的性质：抛物线$y=2x^2-1$和$y=-2x^2+1$既关于x轴对称，各自又关于y轴对称。
（1）作菱形：根据菱形判定规则，对角线互相垂直平分的四边形是菱形。先找到两条抛物线与坐标轴的交点：两条抛物线与x轴交点相同，为$A(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$、$C(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$；$y=2x^2-1$与y轴交于$B(0,-1)$，$y=-2x^2+1$与y轴交于$D(0,1)$。这四个点的连线中，AC、BD为坐标轴，互相垂直且平分，因此连接四个点即可得到菱形。
（2）作矩形：根据矩形判定规则，有一个角是直角的平行四边形是矩形。利用抛物线的对称性，过y轴上的交点D作直线交开口向上的抛物线左右两支于F、E，再利用关于x轴对称的特点找到对应点G、H，连接后所得四边形的边分别平行于x轴、y轴，四个角为直角，即为矩形。
【解析】
（1）作图与证明：
① 确定交点：令两个抛物线的$y=0$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，即两条抛物线与x轴交点为$A(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$、$C(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$；令$x=0$，得$y=2x^2-1$与y轴交点$B(0,-1)$，$y=-2x^2+1$与y轴交点$D(0,1)$。
② 用无刻度直尺依次连接AB、BC、CD、DA，得到四边形ABCD。
理由：点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称，因此对角线AC、BD互相平分；又AC在x轴上，BD在y轴上，$AC⊥ BD$，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，可知四边形ABCD是菱形。
（2）作图与证明：
① 用直尺连接AD并延长，交左侧抛物线$y=2x^2-1$于点F；连接CD并延长，交右侧抛物线$y=2x^2-1$于点E。
② 利用图形关于x轴对称的性质，作点F关于x轴的对称点G，点E关于x轴的对称点H。
③ 用直尺依次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH。
理由：两条抛物线关于x轴对称，且各自关于y轴对称，因此$EF// GH// x$轴，$FG// EH// y$轴，四边形EFGH的四个内角均为直角，故四边形EFGH是矩形。
【答案】
(1) 如图(1)，菱形$ABCD$即为所求. (2) 如图(2)，矩形$EFGH$即为所求.
【知识点】
二次函数的对称性，菱形的判定，矩形的判定
【点评】
本题将二次函数的图像性质与特殊四边形的作图相结合，解题的关键是挖掘两条抛物线的对称特征，结合菱形、矩形的判定定理完成作图，能有效考查对函数性质和几何判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.6