13. 九年级某班成立了数学学习兴趣小组，探究函数 $y=\left| \dfrac{3}{4}x^2 -3 \right|$ 的图像与性质. 请将探究过程补充完整.
(1) 函数 $y=\left| \dfrac{3}{4}x^2 -3 \right|$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 .
(2) ① 列表：表中列出了 $x$ 和 $y$ 的对应值，其中 $m=$ ，$n=$ ；

② 描点：根据表中的数值在坐标系中描点，请描出点$(-1,m)$和点$(1,n)$；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整.
(3) 观察函数图像，当 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，$x$ 的取值范围为 .
(4) 已知点 $A(e,p)$、$B(f,q)$均在该函数图像上，且$|f|＜|e|＜2$，比较 $p$ 与 $q$ 的大小，并说明理由.

13. (1) 全体实数. (2) ① $\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{9}{4}$. ② 图像如图. ③ 图像如图. (3) $-2≤ x≤0$ 或 $x≥2$. (4) $p＜q$.

【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：观察函数表达式，含绝对值的部分是二次整式，整式的自变量没有取值限制，可直接判断x的取值范围。
2. 第(2)问①：将$x=-1$、$x=1$分别代入函数表达式，利用绝对值的运算规则计算即可得到m、n的值；②③按照描点连线的要求补充图像即可。
3. 第(3)问：结合已画出的函数图像，找到图像呈上升趋势的区间，即为y随x增大而增大的x的取值范围。
4. 第(4)问：先确定当$|x|＜2$时的函数解析式，判断该区间内函数的增减规律，结合$|f|＜|e|＜2$的条件即可比较p、q的大小。
【解析】
(1) 函数$y=\left| \dfrac{3}{4}x^2 -3 \right|$中，$\dfrac{3}{4}x^2 -3$是整式，x取任意实数都有意义，因此自变量x的取值范围是全体实数。
(2) ① 把$x=-1$代入函数得：
$m=\left| \dfrac{3}{4}×(-1)^2 -3 \right|=\left| \dfrac{3}{4}-3 \right|=\left| -\dfrac{9}{4} \right|=\dfrac{9}{4}$
把$x=1$代入函数得：
$n=\left| \dfrac{3}{4}×1^2 -3 \right|=\left| \dfrac{3}{4}-3 \right|=\dfrac{9}{4}$
②③ 描点连线后图像如下：
(3) 观察函数图像：
当$-2≤ x≤0$时，图像从左到右上升，y随x的增大而增大；
当$x≥2$时，图像从左到右上升，y随x的增大而增大；
因此y随x增大而增大时，x的取值范围是$-2≤ x≤0$ 或 $x≥2$。
(4) $p＜q$，理由如下：
当$|x|＜2$时，$\dfrac{3}{4}x^2 -3＜0$，因此函数可化为$y=3-\dfrac{3}{4}x^2$，该部分图像是开口向下的抛物线，对称轴为y轴，在$|x|＜2$范围内，x的绝对值越大，对应的函数值越小。
已知$|f|＜|e|＜2$，因此点A对应的函数值p小于点B对应的函数值q，即$p＜q$。
【答案】
(1) 全体实数
(2) ① $\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{9}{4}$
②③ 图像如图
(3) $-2≤ x≤0$ 或 $x≥2$
(4) $p＜q$
【知识点】
绝对值函数性质，二次函数图像与性质，函数增减性判断
【点评】
本题以含绝对值的二次函数为载体，考查了函数自变量取值范围、函数值计算、图像性质分析等内容，解题过程中要结合数形结合思想，拆分分段函数分别分析性质，是函数部分的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.7