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9. 已知一条抛物线经过点(0,1)，且其在对称轴右侧的部分下降. 该抛物线的表达式可以是
$y=-2x^2+1$
.(写出一个即可)答案
9. $y=-2x^2+1$.
解析
【分析】
解题时先根据抛物线的增减性判断开口方向：抛物线在对称轴右侧部分下降，说明开口向下，即二次项系数小于0；再结合抛物线过点(0,1)，也就是x=0时函数值为1，我们可以选择构造最简单的对称轴为y轴的二次函数，此时只需保证常数项为1、二次项系数为负即可，任意取符合条件的数值就能写出答案。
【解析】
∵ 抛物线在对称轴右侧的部分下降，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
∵ 抛物线经过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入二次函数表达式，
我们选取对称轴为y轴的二次函数，设表达式为$y=ax^2+c$，代入点坐标可得$c=1$。
取$a=-2$（$a$取任意负数均可），即可得到符合条件的抛物线表达式。
【答案】
$y=-2x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质，点与函数图象的关系，二次函数解析式确定
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二次函数增减性、开口方向的理解，以及利用图象上点的坐标确定函数表达式的能力，答案不唯一，答题灵活度较高，只要满足条件均得分。
【难度系数】
0.8
解题时先根据抛物线的增减性判断开口方向：抛物线在对称轴右侧部分下降，说明开口向下，即二次项系数小于0；再结合抛物线过点(0,1)，也就是x=0时函数值为1，我们可以选择构造最简单的对称轴为y轴的二次函数，此时只需保证常数项为1、二次项系数为负即可，任意取符合条件的数值就能写出答案。
【解析】
∵ 抛物线在对称轴右侧的部分下降，
∴ 抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
∵ 抛物线经过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入二次函数表达式，
我们选取对称轴为y轴的二次函数，设表达式为$y=ax^2+c$，代入点坐标可得$c=1$。
取$a=-2$（$a$取任意负数均可），即可得到符合条件的抛物线表达式。
【答案】
$y=-2x^2+1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质，点与函数图象的关系，二次函数解析式确定
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对二次函数增减性、开口方向的理解，以及利用图象上点的坐标确定函数表达式的能力，答案不唯一，答题灵活度较高，只要满足条件均得分。
【难度系数】
0.8
10. 如果反比例函数 $ y = \frac{a}{x} (a ≠ 0) $ 的图像位于第一、三象限，那么函数 $ y = ax^2 + a $ 的图像经过第
一、二
象限。答案
10. 一、二.
解析
【分析】
解题时首先根据反比例函数图象所在象限确定参数a的正负，再结合二次函数的系数特征分析其开口方向、与y轴交点位置，最终判断二次函数图象经过的象限。第一步：回忆反比例函数性质，当$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象在一、三象限时，$k＞0$，由此得出a的符号；第二步：分析二次函数$y=ax²+a$的性质，a的符号决定开口方向，常数项决定与y轴交点的位置，再结合开口方向即可判断图象经过的象限。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$ y = \frac{a}{x} (a ≠ 0) $的图像位于第一、三象限
∴ 根据反比例函数的性质可得：$a ＞ 0$
对于二次函数$ y = ax^2 + a $：
① 二次项系数$a ＞ 0$，因此抛物线开口向上；
② 当$x=0$时，$y=a ＞ 0$，即抛物线与y轴交于正半轴，且抛物线顶点坐标为$(0,a)$，位于y轴正半轴；
开口向上且顶点在y轴正半轴的抛物线，所有点的纵坐标都大于0：当$x＞0$时，函数值$y＞0$，对应第一象限；当$x＜0$时，函数值$y＞0$，对应第二象限。
因此函数$ y = ax^2 + a $的图像经过第一、二象限。
【答案】
一、二
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过反比例函数的图象特征确定参数取值，再代入分析二次函数的图象位置，考查对函数图象性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据反比例函数图象所在象限确定参数a的正负，再结合二次函数的系数特征分析其开口方向、与y轴交点位置，最终判断二次函数图象经过的象限。第一步：回忆反比例函数性质，当$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象在一、三象限时，$k＞0$，由此得出a的符号；第二步：分析二次函数$y=ax²+a$的性质，a的符号决定开口方向，常数项决定与y轴交点的位置，再结合开口方向即可判断图象经过的象限。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$ y = \frac{a}{x} (a ≠ 0) $的图像位于第一、三象限
∴ 根据反比例函数的性质可得：$a ＞ 0$
对于二次函数$ y = ax^2 + a $：
① 二次项系数$a ＞ 0$，因此抛物线开口向上；
② 当$x=0$时，$y=a ＞ 0$，即抛物线与y轴交于正半轴，且抛物线顶点坐标为$(0,a)$，位于y轴正半轴；
开口向上且顶点在y轴正半轴的抛物线，所有点的纵坐标都大于0：当$x＞0$时，函数值$y＞0$，对应第一象限；当$x＜0$时，函数值$y＞0$，对应第二象限。
因此函数$ y = ax^2 + a $的图像经过第一、二象限。
【答案】
一、二
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心是通过反比例函数的图象特征确定参数取值，再代入分析二次函数的图象位置，考查对函数图象性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 已知$y=(m+2)x^{m^2+m-4}+1$是关于$x$的二次函数.
（1）求满足条件的$m$的值.
（2）当$m$为何值时，抛物线有最低点？写出最低点. 此时，当$x$在什么取值范围内，$y$随$x$的增大而增大？
11. 已知$y=(m+2)x^{m^2+m-4}+1$是关于$x$的二次函数.
（1）求满足条件的$m$的值.
（2）当$m$为何值时，抛物线有最低点？写出最低点. 此时，当$x$在什么取值范围内，$y$随$x$的增大而增大？
答案
11. (1) 2或−3. (2) 当$m=2$时，抛物线有最低点；最低点为$(0,1)$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
解析
【分析】
（1）要确定m的值，需依据二次函数的定义：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
（2）抛物线有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，从第一问求出的m值中筛选出符合条件的m，再代入解析式，结合二次函数的性质即可得到最低点坐标和y随x增大而增大的x的取值范围。
【解析】
（1）
∵$y=(m+2)x^{m^2+m-4}+1$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足两个条件：
① 自变量的最高次数为2：$m^2+m-4=2$
② 二次项系数不为0：$m+2≠0$
解方程$m^2+m-4=2$，整理得$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
验证二次项系数：当$m=2$时，$m+2=4≠0$；当$m=-3$时，$m+2=-1≠0$，均符合要求。
（2）抛物线有最低点，说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$。
结合第一问的结果，只有$m=2$满足$m＞-2$。
将$m=2$代入解析式得$y=4x^2+1$，该抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标即为最低点，坐标为$(0,1)$。
根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
(1) 2或−3. (2) 当$m=2$时，抛物线有最低点；最低点为$(0,1)$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图像与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，结合开口方向判断函数的最值和增减性，掌握二次函数的基本定义和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要确定m的值，需依据二次函数的定义：一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
（2）抛物线有最低点说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，从第一问求出的m值中筛选出符合条件的m，再代入解析式，结合二次函数的性质即可得到最低点坐标和y随x增大而增大的x的取值范围。
【解析】
（1）
∵$y=(m+2)x^{m^2+m-4}+1$是关于$x$的二次函数
∴需同时满足两个条件：
① 自变量的最高次数为2：$m^2+m-4=2$
② 二次项系数不为0：$m+2≠0$
解方程$m^2+m-4=2$，整理得$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
验证二次项系数：当$m=2$时，$m+2=4≠0$；当$m=-3$时，$m+2=-1≠0$，均符合要求。
（2）抛物线有最低点，说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$。
结合第一问的结果，只有$m=2$满足$m＞-2$。
将$m=2$代入解析式得$y=4x^2+1$，该抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标即为最低点，坐标为$(0,1)$。
根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
(1) 2或−3. (2) 当$m=2$时，抛物线有最低点；最低点为$(0,1)$；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图像与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题时要注意二次项系数不为0的隐含条件，结合开口方向判断函数的最值和增减性，掌握二次函数的基本定义和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
12. 已知抛物线$y=ax^2 +n(an＞0)$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反，且该抛物线上离$x$轴最近的点与$x$轴的距离为3.
（1）求$a$、$n$的值.
（2）写出抛物线$y=ax^2 +n$的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）求$a$、$n$的值.
（2）写出抛物线$y=ax^2 +n$的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案
12. (1) $a=2$，$n=3$. (2) 开口方向向上；对称轴为$y$轴；顶点坐标为$(0,3)$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先根据“两条抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反”的性质求出a的值；再明确抛物线$y=ax^2+n$的顶点是图像上离x轴最近的点，顶点到x轴的距离为$|n|$，结合已知距离为3和$an＞0$的条件即可求出n的值。第(2)问直接根据二次项系数的正负判断开口方向，再结合$y=ax^2+n$的图像性质得出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反
∴ 两个抛物线的二次项系数互为相反数，即$a=-(-2)=2$
∵ $an＞0$，$a=2＞0$，
∴ $n＞0$
又
∵ 抛物线$y=ax^2 +n$的顶点坐标为$(0,n)$，顶点是抛物线上离x轴最近的点，且该点到x轴的距离为3
∴ $|n|=3$，结合$n＞0$可得$n=3$
综上，$a=2$，$n=3$。
(2) 由(1)可知抛物线解析式为$y=2x^2+3$
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上
对于形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$
∴ 该抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$。
【答案】
(1) $a=2$，$n=3$；(2) 开口方向向上；对称轴为$y$轴；顶点坐标为$(0,3)$
【知识点】
1. 抛物线与系数的关系 2. 二次函数顶点性质 3. 二次函数对称轴
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的基本性质设题，解题核心是掌握抛物线的形状、开口方向与二次项系数的对应关系，以及顶点、对称轴的特征，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先根据“两条抛物线形状相同则二次项系数的绝对值相等，开口方向相反则二次项系数符号相反”的性质求出a的值；再明确抛物线$y=ax^2+n$的顶点是图像上离x轴最近的点，顶点到x轴的距离为$|n|$，结合已知距离为3和$an＞0$的条件即可求出n的值。第(2)问直接根据二次项系数的正负判断开口方向，再结合$y=ax^2+n$的图像性质得出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2 +n$与抛物线$y=-2x^2$的形状相同，开口方向相反
∴ 两个抛物线的二次项系数互为相反数，即$a=-(-2)=2$
∵ $an＞0$，$a=2＞0$，
∴ $n＞0$
又
∵ 抛物线$y=ax^2 +n$的顶点坐标为$(0,n)$，顶点是抛物线上离x轴最近的点，且该点到x轴的距离为3
∴ $|n|=3$，结合$n＞0$可得$n=3$
综上，$a=2$，$n=3$。
(2) 由(1)可知抛物线解析式为$y=2x^2+3$
∵ $a=2＞0$，
∴ 抛物线开口向上
对于形如$y=ax^2+k$（$a≠0$）的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$
∴ 该抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,3)$。
【答案】
(1) $a=2$，$n=3$；(2) 开口方向向上；对称轴为$y$轴；顶点坐标为$(0,3)$
【知识点】
1. 抛物线与系数的关系 2. 二次函数顶点性质 3. 二次函数对称轴
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2+k$的基本性质设题，解题核心是掌握抛物线的形状、开口方向与二次项系数的对应关系，以及顶点、对称轴的特征，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
