5. 抛物线 $ y = 3(x - 1)^2 $ 的开口向，对称轴是，顶点坐标是；当自变量 $ x = $时，相应的二次函数取到最值。

5. 上；直线$x=1$；$(1,0)$；1；小；0.

【分析】
拿到本题首先识别出给出的二次函数属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式，解题时先对应找到参数$a$、$h$、$k$的取值，再结合顶点式的性质逐一推导：①由$a$的正负判断开口方向；②由$h$的值确定对称轴和顶点横坐标；③由$k$的值确定顶点纵坐标；④结合开口方向判断函数最值情况，以及取最值时的自变量取值和最值大小。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），将题中解析式$y=3(x-1)^2$变形为$y=3(x-1)^2+0$，可得参数：$a=3$，$h=1$，$k=0$。
1. 开口方向：$a=3＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 对称轴：顶点式的对称轴为直线$x=h$，代入$h=1$，得对称轴是直线$x=1$；
3. 顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，代入得顶点坐标是$(1,0)$；
4. 最值情况：因为抛物线开口向上，所以二次函数有最小值，当$x=h=1$时，函数取到最小值$k=0$。
【答案】
上；直线$x=1$；$(1,0)$；1；小；0
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数开口判断；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数图像性质类的基础题型，核心考察对二次函数顶点式中各参数对应性质的识记，熟练掌握顶点式参数与开口、对称轴、顶点、最值的对应关系即可快速解题，是该章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9

6. 如果抛物线 $y=7(x+m)^2$ 关于直线 $x=-5$ 对称，那么其顶点坐标是。

6. $(-5,0)$.

【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的基本性质：这类形式的抛物线对称轴为直线$x=-m$，顶点在对称轴上，且纵坐标为0，即顶点坐标为$(-m,0)$。已知抛物线关于直线$x=-5$对称，说明该直线就是抛物线的对称轴，由此可直接对应得到顶点的横坐标，结合顶点纵坐标固定为0即可求出顶点坐标。
【解析】
解：$\because$ 抛物线$y=7(x+m)^2$是二次函数顶点式$y=a(x+m)^2(a≠0)$的形式
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,0)$
$\because$ 抛物线关于直线$x=-5$对称，即抛物线的对称轴为$x=-5$
$\therefore -m=-5$，代入顶点坐标公式可得顶点为$(-5,0)$
【答案】
$(-5,0)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 抛物线的对称性
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，只要熟记顶点式中对称轴、顶点坐标和解析式参数的对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

7. 已知点$A(-5,y_{1})$、$B(-3,y_{2})$都在二次函数$y=a(x-1)^2(a＜0)$的图像上，那么$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.（填“＜”、“＞”或“=”）

7. ＜.

【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需先明确二次函数的图像性质：首先确定该二次函数的对称轴与开口方向，再根据开口方向判断对称轴同侧的函数增减性，最后结合两个点的横坐标大小即可得到函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=a(x-1)^2(a＜0)$：
1. 其对称轴为直线$x=1$，因$a＜0$，抛物线开口向下；
2. 开口向下的抛物线在对称轴左侧（即$x＜1$时），$y$随$x$的增大而增大；
3. 点$A(-5,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标均满足$-5＜-3＜1$，两点都在对称轴左侧，结合增减性可得$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合函数单调性比较函数值，熟练掌握二次函数的图像性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8. 下面是三位同学对某个二次函数图像的描述. 甲：图像的形状、开口方向与$y=2x^{2}$的相同；乙：顶点在$x$轴上；丙：对称轴是直线$x=-1$. 请写出这个二次函数的表达式：.

8. $y=2(x+1)^2$.

【分析】
解题时优先选择二次函数的顶点式求解，思路如下：①二次函数的开口方向、形状由二次项系数a决定，和$y=2x^2$相同即可确定a的值；②对称轴是顶点的横坐标所在直线，结合对称轴是$x=-1$可确定顶点的横坐标；③顶点在x轴上说明顶点纵坐标为0，即可得到完整顶点坐标，代入顶点式就能求出函数表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）。
1. 由甲的描述可知，两个二次函数的二次项系数相同，因此$a=2$；
2. 由丙的描述，对称轴为直线$x=-1$，而顶点式中对称轴为$x=h$，因此$h=-1$；
3. 由乙的描述，顶点在x轴上，说明顶点纵坐标$k=0$；
将$a=2$、$h=-1$、$k=0$代入顶点式，得：
$y=2(x - (-1))^2 + 0 = 2(x+1)^2$
【答案】
$y=2(x+1)^2$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题核心是考查二次函数顶点式中各参数的几何意义，掌握各个参数对应的图像特征就能快速梳理条件解题，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8

9. 在同一平面直角坐标系中，关于二次函数 $y=2(x+4)^2$，$y=-2x^2 -1$ 和 $y=2x^2$ 的图像，下列结论正确的有.（将正确结论的序号全部写在横线上）
① 都关于 y 轴对称；
② 顶点都在坐标轴上；
③ 图像都有最低点；
④ 都与 x 轴有交点.

9. ②.

【分析】
要判断四个结论是否正确，我们需要先分别求出三个二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向、与x轴的交点情况，再逐一核对每个结论：首先回忆顶点式$y=a(x+m)^2+h$的性质：对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,h)$，$a＞0$时开口向上有最低点，$a＜0$时开口向下有最高点，再结合与坐标轴交点的判断方法验证即可。
【解析】
我们先分别分析三个二次函数的性质：
1. 函数$y=2(x+4)^2$：属于顶点式$y=a(x+m)^2+h$（其中$a=2$，$m=4$，$h=0$），对称轴为直线$x=-4$，顶点坐标为$(-4,0)$，开口向上，有最低点，与x轴交点为$(-4,0)$。
2. 函数$y=-2x^2 -1$：可写成$y=-2(x-0)^2 -1$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-1)$，开口向下，有最高点，函数最大值为$-1＜0$，与x轴无交点。
3. 函数$y=2x^2$：可写成$y=2(x-0)^2 +0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$，开口向上，有最低点，与x轴交点为$(0,0)$。
接下来逐一判断结论：
① 都关于y轴对称：第一个函数对称轴为$x=-4$，不关于y轴对称，故①错误；
② 顶点都在坐标轴上：第一个顶点$(-4,0)$在x轴上，第二个顶点$(0,-1)$在y轴上，第三个顶点$(0,0)$同时在x轴和y轴上，三个顶点都在坐标轴上，故②正确；
③ 图像都有最低点：第二个函数开口向下，只有最高点，没有最低点，故③错误；
④ 都与x轴有交点：第二个函数最大值为$-1＜0$，和x轴没有交点，故④错误。
综上只有结论②正确。
【答案】
②
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的顶点与对称轴；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练掌握顶点式下二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向等参数的判断，逐一排查结论即可得到正确答案，属于基础性质类考题。
【难度系数】
0.7

10. 先将抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 绕其顶点旋转 $180°$，再向右平移3个单位，所得的抛物线是二次函数的图像。

10. $y=\frac{1}{2}(x-3)^2$.

【分析】
解决本题需要分两步处理二次函数的图像变换：第一步处理绕顶点旋转180°的变换，绕抛物线顶点旋转180°时，顶点坐标不变，开口方向相反，因此二次项系数变为原系数的相反数；第二步处理平移变换，抛物线左右平移遵循“左加右减”的规律，即向右平移n个单位时，将解析式中的x替换为(x-n)。按照先旋转、后平移的顺序逐步推导即可得到最终解析式。
【解析】
1. 处理旋转变换：
原抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，二次项系数为$-\dfrac{1}{2}$，开口向下。绕顶点旋转180°后，顶点坐标保持$(0,0)$不变，开口方向变为向上，二次项系数变为原系数的相反数，即$a=\dfrac{1}{2}$，因此旋转后的抛物线解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2$。
2. 处理平移变换：
将$y=\dfrac{1}{2}x^2$向右平移3个单位，根据“左加右减”的平移规律，将自变量$x$替换为$x-3$，可得平移后的解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2$
【知识点】
二次函数旋转变换、二次函数平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数的图像变换问题，核心是明确不同变换对解析式的影响：旋转180°仅改变二次项系数的符号，平移时需注意“左加右减”是针对自变量$x$的变换，掌握这两个规律就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11. 已知二次函数 $y=4x^2$，$y=4(x+1)^2$ 和 $y=4(x-1)^2$。
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图像。
（2）分别写出各个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（3）分别通过怎样的平移，可以由函数 $y=4x^2$ 的图像得到函数 $y=4(x+1)^2$ 和函数 $y=4(x-1)^2$ 的图像？

11.（1）图略.
（2）抛物线$y=4x^2$开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；抛物线$y=4(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；抛物线$y=4(x-1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$.
（3）抛物线$y=4(x+1)^2$由抛物线$y=4x^2$向左平移1个单位得到；抛物线$y=4(x-1)^2$由抛物线$y=4x^2$向右平移1个单位得到.

【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x+m)^2$的相关性质：①开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,0)$；③图像平移遵循“左加右减”的规律（针对自变量$x$的变换）。
对于第(1)问画图，先确定三个函数的顶点、对称轴，再各取几组对称点，描点连线即可完成作图；第(2)问直接套用顶点式的性质逐一判断三个函数的开口、对称轴、顶点即可；第(3)问根据“左加右减”的平移规律，对比自变量的变化就能得到平移方式。
【解析】
（1）画图步骤：先分别确定三个抛物线的顶点坐标、对称轴，再列表选取对称轴两侧的对称点，依次描点、用平滑曲线连线即可，图像略。
（2）对于二次函数$y=a(x+m)^2(a≠0)$，$a$决定开口方向：
①$y=4x^2$中$a=4＞0$，故开口向上，可看作$y=4(x+0)^2$，因此对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
②$y=4(x+1)^2$中$a=4＞0$，故开口向上，对应$m=1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
③$y=4(x-1)^2$中$a=4＞0$，故开口向上，对应$m=-1$，因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
（3）二次函数图像平移遵循“左加右减”（针对自变量$x$的变换）的规则：
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x+1$即可得到$y=4(x+1)^2$，因此是向左平移1个单位；
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=4(x-1)^2$，因此是向右平移1个单位。
【答案】
（1）图略.
（2）抛物线$y=4x^2$开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$；抛物线$y=4(x+1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；抛物线$y=4(x-1)^2$开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$.
（3）抛物线$y=4(x+1)^2$由抛物线$y=4x^2$向左平移1个单位得到；抛物线$y=4(x-1)^2$由抛物线$y=4x^2$向右平移1个单位得到.
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数平移规律
3.二次函数图像画法
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查对二次函数顶点式各参数意义的理解，以及图像平移规律的掌握，只要熟练记忆相关性质和“左加右减”的平移规则，就能快速解题。
【难度系数】
0.85