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12. 已知二次函数 $y=2(x-1)^2$ 的图像如图所示，求$△ ABO$ 的面积. 
(第12题)
(第12题)答案
12. 1.
解析
【分析】
要求$△ ABO$的面积，首先观察到$△ ABO$的直角顶点在原点$O$，$OA$在$x$轴上，$OB$在$y$轴上，因此只需先求出点$A$、点$B$的坐标，得到$OA$和$OB$的长度，再利用直角三角形面积公式计算即可。解题步骤为：①利用二次函数与$x$轴交点的纵坐标为$0$，代入解析式求点$A$坐标；②利用二次函数与$y$轴交点的横坐标为$0$，代入解析式求点$B$坐标；③代入面积公式计算结果。
【解析】
解：1. 求点$A$的坐标：
点$A$是二次函数图像与$x$轴的交点，令$y=0$，代入$y=2(x-1)^2$得：
$0=2(x-1)^2$
解得$x=1$，因此点$A$的坐标为$(1,0)$，即$OA=1$。
2. 求点$B$的坐标：
点$B$是二次函数图像与$y$轴的交点，令$x=0$，代入$y=2(x-1)^2$得：
$y=2×(0-1)^2=2$
因此点$B$的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$。
3. 计算$△ ABO$的面积：
∵$∠ AOB=90°$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确函数图像与坐标轴交点的坐标特征，结合函数解析式求出对应线段长度，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
要求$△ ABO$的面积，首先观察到$△ ABO$的直角顶点在原点$O$，$OA$在$x$轴上，$OB$在$y$轴上，因此只需先求出点$A$、点$B$的坐标，得到$OA$和$OB$的长度，再利用直角三角形面积公式计算即可。解题步骤为：①利用二次函数与$x$轴交点的纵坐标为$0$，代入解析式求点$A$坐标；②利用二次函数与$y$轴交点的横坐标为$0$，代入解析式求点$B$坐标；③代入面积公式计算结果。
【解析】
解：1. 求点$A$的坐标：
点$A$是二次函数图像与$x$轴的交点，令$y=0$，代入$y=2(x-1)^2$得：
$0=2(x-1)^2$
解得$x=1$，因此点$A$的坐标为$(1,0)$，即$OA=1$。
2. 求点$B$的坐标：
点$B$是二次函数图像与$y$轴的交点，令$x=0$，代入$y=2(x-1)^2$得：
$y=2×(0-1)^2=2$
因此点$B$的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$。
3. 计算$△ ABO$的面积：
∵$∠ AOB=90°$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×1×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确函数图像与坐标轴交点的坐标特征，结合函数解析式求出对应线段长度，再代入面积公式计算即可。
【难度系数】
0.9
13 已知在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像经过点$(1,4)$。
（1）求该反比例函数的表达式。
（2）已知该反比例函数的图像与二次函数$y=a(x-1)^2$的图像只有一个交点，且该交点在直线$y=x$的下方，结合函数图像，求$a$的取值范围。
（1）求该反比例函数的表达式。
（2）已知该反比例函数的图像与二次函数$y=a(x-1)^2$的图像只有一个交点，且该交点在直线$y=x$的下方，结合函数图像，求$a$的取值范围。
答案
13.（1）$y=\frac{4}{x}$.
（2）$0＜a＜2$或$a＜-\frac{2}{9}$. 提示：直线$y=x$与反比例函数图像的交点分别为$C(-2,-2)$、$D(2,2)$. 分类讨论：① 当$a＞0$时，如图(1). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$D$时，$a=2$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$0＜a＜2$. ② 当$a＜0$时，如图(2). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$C$时，$a=-\frac{2}{9}$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$a＜-\frac{2}{9}$.
解析
【分析】
（1）第一小问采用待定系数法，将已知点坐标代入反比例函数表达式，求解得到k值即可确定函数解析式。
（2）第二小问先联立直线$y=x$与反比例函数表达式，求出二者的交点坐标；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论二次函数的开口方向，先求出二次函数经过上述交点时对应的a值，再结合二次函数开口大小与$|a|$的关系、交点需在$y=x$下方且两函数只有一个交点的条件，即可确定a的取值范围。
【解析】
（1）将点$(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$
因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
（2）先求直线$y=x$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的交点，联立两个表达式：
$\begin{cases}y=x\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去y得$x=\frac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$
对应交点为$D(2,2)$、$C(-2,-2)$。
接下来分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，二次函数$y=a(x-1)^2$开口向上，顶点为$(1,0)$。
将点$D(2,2)$代入二次函数表达式得：$2=a(2-1)^2$，解得$a=2$。
由于二次函数中$|a|$越大，开口越小，因此当$0＜a＜2$时，抛物线开口更大，与反比例函数仅在第一象限有1个交点，且交点在点D下方，即位于直线$y=x$下方，满足条件。
② 当$a＜0$时，二次函数$y=a(x-1)^2$开口向下，顶点为$(1,0)$。
将点$C(-2,-2)$代入二次函数表达式得：$-2=a(-2-1)^2$，即$-2=9a$，解得$a=-\frac{2}{9}$。
由于二次函数中$|a|$越大，开口越小，因此当$a＜-\frac{2}{9}$时，抛物线开口更小，与反比例函数仅在第三象限有1个交点，且交点在点C下方，即位于直线$y=x$下方，满足条件。
综上，a的取值范围为$0＜a＜2$或$a＜-\frac{2}{9}$。
【答案】
13.（1）$y=\frac{4}{x}$.
（2）$0＜a＜2$或$a＜-\frac{2}{9}$. 提示：直线$y=x$与反比例函数图像的交点分别为$C(-2,-2)$、$D(2,2)$. 分类讨论：① 当$a＞0$时，如图(1). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$D$时，$a=2$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$0＜a＜2$. ② 当$a＜0$时，如图(2). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$C$时，$a=-\frac{2}{9}$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$a＜-\frac{2}{9}$.
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图像性质
3. 函数交点问题
【点评】
本题综合考查反比例函数与二次函数的相关性质，需要结合分类讨论和数形结合思想分析参数的取值范围，解题时要注意二次函数开口方向对图像位置的影响，不要遗漏对交点位置的限制条件。
【难度系数】
0.4
（1）第一小问采用待定系数法，将已知点坐标代入反比例函数表达式，求解得到k值即可确定函数解析式。
（2）第二小问先联立直线$y=x$与反比例函数表达式，求出二者的交点坐标；再分$a＞0$、$a＜0$两种情况讨论二次函数的开口方向，先求出二次函数经过上述交点时对应的a值，再结合二次函数开口大小与$|a|$的关系、交点需在$y=x$下方且两函数只有一个交点的条件，即可确定a的取值范围。
【解析】
（1）将点$(1,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{1}$，解得$k=4$
因此该反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
（2）先求直线$y=x$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的交点，联立两个表达式：
$\begin{cases}y=x\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，消去y得$x=\frac{4}{x}$，即$x^2=4$，解得$x=\pm2$
对应交点为$D(2,2)$、$C(-2,-2)$。
接下来分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，二次函数$y=a(x-1)^2$开口向上，顶点为$(1,0)$。
将点$D(2,2)$代入二次函数表达式得：$2=a(2-1)^2$，解得$a=2$。
由于二次函数中$|a|$越大，开口越小，因此当$0＜a＜2$时，抛物线开口更大，与反比例函数仅在第一象限有1个交点，且交点在点D下方，即位于直线$y=x$下方，满足条件。
② 当$a＜0$时，二次函数$y=a(x-1)^2$开口向下，顶点为$(1,0)$。
将点$C(-2,-2)$代入二次函数表达式得：$-2=a(-2-1)^2$，即$-2=9a$，解得$a=-\frac{2}{9}$。
由于二次函数中$|a|$越大，开口越小，因此当$a＜-\frac{2}{9}$时，抛物线开口更小，与反比例函数仅在第三象限有1个交点，且交点在点C下方，即位于直线$y=x$下方，满足条件。
综上，a的取值范围为$0＜a＜2$或$a＜-\frac{2}{9}$。
【答案】
13.（1）$y=\frac{4}{x}$.
（2）$0＜a＜2$或$a＜-\frac{2}{9}$. 提示：直线$y=x$与反比例函数图像的交点分别为$C(-2,-2)$、$D(2,2)$. 分类讨论：① 当$a＞0$时，如图(1). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$D$时，$a=2$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$0＜a＜2$. ② 当$a＜0$时，如图(2). 当抛物线$y=a(x-1)^2$经过点$C$时，$a=-\frac{2}{9}$. 根据$|a|$越大，抛物线$y=a(x-1)^2$的开口越小，可得满足条件的$a$的取值范围是$a＜-\frac{2}{9}$.
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数图像性质
3. 函数交点问题
【点评】
本题综合考查反比例函数与二次函数的相关性质，需要结合分类讨论和数形结合思想分析参数的取值范围，解题时要注意二次函数开口方向对图像位置的影响，不要遗漏对交点位置的限制条件。
【难度系数】
0.4
