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1. 已知抛物线$y=-2(x-3)^2+4$，下列平移方式中，可使该抛物线的顶点平移到原点的平移方式是（
A.向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；
B.向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度；
C.向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；
D.向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度.
D
）A.向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；
B.向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度；
C.向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；
D.向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度.
答案
1. D.
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线的平移本质是其顶点的平移，因此第一步先从二次函数的顶点式中提取原抛物线的顶点坐标，再根据平面直角坐标系中点的平移规律，推导将该顶点平移到原点(0,0)的平移路径即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
题中抛物线$y=-2(x-3)^2+4$为顶点式，对应可得$h=3$，$k=4$，因此原抛物线的顶点坐标为$(3,4)$。
要将顶点$(3,4)$平移到原点$(0,0)$：
1. 横坐标从3变为0，需减少3，对应点的平移规律为向左平移3个单位长度；
2. 纵坐标从4变为0，需减少4，对应点的平移规律为向下平移4个单位长度。
因此平移方式为向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像平移规律；点的平移规律
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础常考题，解题核心是掌握抛物线平移等价于顶点平移的规律，熟练提取顶点式的顶点坐标、牢记点的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确抛物线的平移本质是其顶点的平移，因此第一步先从二次函数的顶点式中提取原抛物线的顶点坐标，再根据平面直角坐标系中点的平移规律，推导将该顶点平移到原点(0,0)的平移路径即可。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
题中抛物线$y=-2(x-3)^2+4$为顶点式，对应可得$h=3$，$k=4$，因此原抛物线的顶点坐标为$(3,4)$。
要将顶点$(3,4)$平移到原点$(0,0)$：
1. 横坐标从3变为0，需减少3，对应点的平移规律为向左平移3个单位长度；
2. 纵坐标从4变为0，需减少4，对应点的平移规律为向下平移4个单位长度。
因此平移方式为向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像平移规律；点的平移规律
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础常考题，解题核心是掌握抛物线平移等价于顶点平移的规律，熟练提取顶点式的顶点坐标、牢记点的平移规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=(x+h)^2 -3(h≠0)$的图像可能是 （
A
）答案
2. A.
解析
【分析】
解决这道二次函数图像判断题，可按“先定开口，再定顶点，最后看交点”的思路逐步排除错误选项：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；再结合顶点式得到顶点的纵坐标，判断顶点与x轴的位置关系，由此排除顶点位置不符合、与x轴交点个数不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x+h)^2 -3$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上。选项B的抛物线开口向下，不符合性质，排除B。
2. 判断顶点位置与x轴交点个数：该函数为顶点式，顶点坐标为$(-h, -3)$，顶点的纵坐标为$-3＜0$，说明抛物线的最低点在x轴下方，因此抛物线必然与x轴有两个不同的交点。
选项C的抛物线顶点在原点（x轴上），仅与x轴有1个交点，不符合要求，排除C；
选项D的抛物线顶点在x轴上方，与x轴没有交点，不符合要求，排除D。
3. 剩余选项A满足开口向上、顶点在x轴下方、与x轴有两个交点的所有性质，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图像特征
3. 二次函数与x轴交点判断
【点评】
本题属于二次函数图像的基础考查题，核心是掌握二次函数顶点式中各参数对应的图像特征，通过逐步排除法就能快速得到答案，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解决这道二次函数图像判断题，可按“先定开口，再定顶点，最后看交点”的思路逐步排除错误选项：首先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，排除开口方向错误的选项；再结合顶点式得到顶点的纵坐标，判断顶点与x轴的位置关系，由此排除顶点位置不符合、与x轴交点个数不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x+h)^2 -3$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上。选项B的抛物线开口向下，不符合性质，排除B。
2. 判断顶点位置与x轴交点个数：该函数为顶点式，顶点坐标为$(-h, -3)$，顶点的纵坐标为$-3＜0$，说明抛物线的最低点在x轴下方，因此抛物线必然与x轴有两个不同的交点。
选项C的抛物线顶点在原点（x轴上），仅与x轴有1个交点，不符合要求，排除C；
选项D的抛物线顶点在x轴上方，与x轴没有交点，不符合要求，排除D。
3. 剩余选项A满足开口向上、顶点在x轴下方、与x轴有两个交点的所有性质，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图像特征
3. 二次函数与x轴交点判断
【点评】
本题属于二次函数图像的基础考查题，核心是掌握二次函数顶点式中各参数对应的图像特征，通过逐步排除法就能快速得到答案，是二次函数章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
3. 对于抛物线$y=-(x-2)^2+6$，有结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线$x=2$；③顶点坐标为$(2,6)$；④当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小. 其中正确的结论有（
A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
D
）A.1个；
B.2个；
C.3个；
D.4个.
答案
3. D.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图像与性质，解题思路是逐个对应4个结论，结合顶点式中参数$a、h、k$的意义分别判断对错：首先由$a$的符号判断开口方向，再由$h$确定对称轴和顶点横坐标，由$k$确定顶点纵坐标，最后结合开口方向和对称轴判断增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-1$，$h=2$，$k=6$：
1. 判断①：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，①正确；
2. 判断②：顶点式的对称轴为直线$x=h$，所以该抛物线对称轴为直线$x=2$，②正确；
3. 判断③：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，所以该抛物线顶点坐标为$(2,6)$，③正确；
4. 判断④：因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧（即$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，④正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的图像特征
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中各参数对应的图像性质，熟练记忆开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图像与性质，解题思路是逐个对应4个结论，结合顶点式中参数$a、h、k$的意义分别判断对错：首先由$a$的符号判断开口方向，再由$h$确定对称轴和顶点横坐标，由$k$确定顶点纵坐标，最后结合开口方向和对称轴判断增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-(x-2)^2+6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$a=-1$，$h=2$，$k=6$：
1. 判断①：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，①正确；
2. 判断②：顶点式的对称轴为直线$x=h$，所以该抛物线对称轴为直线$x=2$，②正确；
3. 判断③：顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，所以该抛物线顶点坐标为$(2,6)$，③正确；
4. 判断④：因为抛物线开口向下，所以在对称轴右侧（即$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，④正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的图像特征
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握二次函数顶点式中各参数对应的图像性质，熟练记忆开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
二、填空题
4. 二次函数$y=-(x+1)^2+2$图像的开口方向
4. 二次函数$y=-(x+1)^2+2$图像的开口方向
下
，对称轴是直线$x=-1$
，顶点坐标是$(-1,2)$
；当$x$＜-1
时，$y$随$x$的增大而增大。答案
4. 下；直线$x=-1$；$(-1,2)$；＜-1.
解析
【分析】
拿到本题首先识别给出的二次函数是顶点式形式，可根据顶点式的相关性质逐步求解：第一步先看二次项系数a的符号，判断开口方向；第二步根据顶点式的结构特征确定对称轴和顶点坐标；第三步结合开口方向和对称轴的位置，判断函数的增减性，找到y随x增大而增大的x的取值范围。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x+m)^2+h$（$a≠0$）的形式，其中$a=-1$，$m=1$，$h=2$：
1. 开口方向：因为二次项系数$a=-1＜0$，所以二次函数图像开口向下；
2. 对称轴：顶点式的对称轴为直线$x=-m$，代入$m=1$，可得对称轴是直线$x=-1$；
3. 顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(-m,h)$，代入对应数值，可得顶点坐标为$(-1,2)$；
4. 增减性：由于函数开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，即当$x＜-1$时，y随x的增大而增大。
【答案】
下；直线$x=-1$；$(-1,2)$；＜-1
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础应用题，是二次函数图象性质模块的常考基础题型，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先识别给出的二次函数是顶点式形式，可根据顶点式的相关性质逐步求解：第一步先看二次项系数a的符号，判断开口方向；第二步根据顶点式的结构特征确定对称轴和顶点坐标；第三步结合开口方向和对称轴的位置，判断函数的增减性，找到y随x增大而增大的x的取值范围。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=-(x+1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x+m)^2+h$（$a≠0$）的形式，其中$a=-1$，$m=1$，$h=2$：
1. 开口方向：因为二次项系数$a=-1＜0$，所以二次函数图像开口向下；
2. 对称轴：顶点式的对称轴为直线$x=-m$，代入$m=1$，可得对称轴是直线$x=-1$；
3. 顶点坐标：顶点式的顶点坐标为$(-m,h)$，代入对应数值，可得顶点坐标为$(-1,2)$；
4. 增减性：由于函数开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，即当$x＜-1$时，y随x的增大而增大。
【答案】
下；直线$x=-1$；$(-1,2)$；＜-1
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础应用题，是二次函数图象性质模块的常考基础题型，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 将二次函数$y=-2x^2$的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为
$y=-2(x-3)^2+4$
.答案
5. $y=-2(x-3)^2+4$.
解析
【分析】
拿到本题首先回忆二次函数图像平移的核心规律：“左加右减，上加下减”。要注意两点：一是“左加右减”是针对自变量x本身的操作，仅修改x的部分；二是“上加下减”是针对整个函数值的操作，在表达式末尾进行加减。解题时先处理水平方向的平移，再处理竖直方向的平移，逐步推导即可。
【解析】
根据二次函数图像平移规则解题：
1. 处理向右平移3个单位的操作：“右减”即把原函数$y=-2x^2$中的自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=-2(x-3)^2$；
2. 处理向上平移4个单位的操作：“上加”即在上述解析式的末尾加上4，最终得到平移后的抛物线表达式为$y=-2(x-3)^2+4$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数图像的平移规则，解题核心是准确把握“左加右减、上加下减”的适用场景，避免混淆平移方向出现错误。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先回忆二次函数图像平移的核心规律：“左加右减，上加下减”。要注意两点：一是“左加右减”是针对自变量x本身的操作，仅修改x的部分；二是“上加下减”是针对整个函数值的操作，在表达式末尾进行加减。解题时先处理水平方向的平移，再处理竖直方向的平移，逐步推导即可。
【解析】
根据二次函数图像平移规则解题：
1. 处理向右平移3个单位的操作：“右减”即把原函数$y=-2x^2$中的自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=-2(x-3)^2$；
2. 处理向上平移4个单位的操作：“上加”即在上述解析式的末尾加上4，最终得到平移后的抛物线表达式为$y=-2(x-3)^2+4$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2+4$
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数图像的平移规则，解题核心是准确把握“左加右减、上加下减”的适用场景，避免混淆平移方向出现错误。
【难度系数】
0.8
6. 如果抛物线的顶点坐标为$(-2,4)$，形状与二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图像相同，且开口向下，那么该抛物线的表达式为
$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4$
。答案
6. $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知的顶点坐标，选择二次函数的顶点式来设解析式，可简化计算；其次明确二次函数中二次项系数$a$的意义：$a$的绝对值决定抛物线的形状，$a$的符号决定抛物线的开口方向。本题中形状与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，说明$|a|=\frac{1}{2}$，开口向下说明$a$为负数，求出$a$后代入顶点式即可得到最终表达式。
【解析】
解：
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-2,4)$
∴ 设该抛物线的表达式为 $ y=a(x+2)^2+4 $（二次函数顶点式：若顶点坐标为$(h,k)$，则表达式可写为$y=a(x-h)^2+k$）
∵ 抛物线形状与$ y=\frac{1}{2}x^2 $相同，且开口向下
∴ $ |a|=\frac{1}{2} $，且$ a＜0 $，即$ a=-\frac{1}{2} $
将$ a=-\frac{1}{2} $代入所设表达式，得：
$ y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4 $
【答案】
$ y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4 $
【知识点】
二次函数顶点式，二次项系数的意义，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式的应用以及二次项系数对抛物线形状、开口方向的影响，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的顶点坐标，选择二次函数的顶点式来设解析式，可简化计算；其次明确二次函数中二次项系数$a$的意义：$a$的绝对值决定抛物线的形状，$a$的符号决定抛物线的开口方向。本题中形状与$y=\frac{1}{2}x^2$相同，说明$|a|=\frac{1}{2}$，开口向下说明$a$为负数，求出$a$后代入顶点式即可得到最终表达式。
【解析】
解：
∵ 抛物线的顶点坐标为$(-2,4)$
∴ 设该抛物线的表达式为 $ y=a(x+2)^2+4 $（二次函数顶点式：若顶点坐标为$(h,k)$，则表达式可写为$y=a(x-h)^2+k$）
∵ 抛物线形状与$ y=\frac{1}{2}x^2 $相同，且开口向下
∴ $ |a|=\frac{1}{2} $，且$ a＜0 $，即$ a=-\frac{1}{2} $
将$ a=-\frac{1}{2} $代入所设表达式，得：
$ y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4 $
【答案】
$ y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+4 $
【知识点】
二次函数顶点式，二次项系数的意义，二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式的应用以及二次项系数对抛物线形状、开口方向的影响，掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 已知二次函数$y=a(x+1)^2 -5$，若当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的值可以是
$-2$
.（只需写出一个符合条件的值）答案
7. $-2$.（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先识别该二次函数为顶点式，先确定其对称轴，再结合二次函数增减性与开口方向的对应关系推导a的取值范围。首先，顶点式$y=a(x+m)^2+h$的对称轴为直线$x=-m$，本题对应对称轴为$x=-1$。二次函数的增减性由a的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小；$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大。题目要求$x＜-1$（对称轴左侧）时y随x增大而增大，因此a需为负数，任取一个负值即可。
【解析】
解：二次函数$y=a(x+1)^2 -5$的对称轴为直线$x=-1$。
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小，不符合题意；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，符合题意。
因此取任意小于0的数作为a的值均符合要求，例如$a=-2$。
【答案】
$-2$（答案不唯一，负数即可）
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数增减性
3.二次函数开口与a的关系
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图像性质，解题关键是掌握a的符号对抛物线开口方向、增减性的影响，结合对称轴即可快速判断a的取值范围，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别该二次函数为顶点式，先确定其对称轴，再结合二次函数增减性与开口方向的对应关系推导a的取值范围。首先，顶点式$y=a(x+m)^2+h$的对称轴为直线$x=-m$，本题对应对称轴为$x=-1$。二次函数的增减性由a的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而减小；$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴左侧y随x增大而增大。题目要求$x＜-1$（对称轴左侧）时y随x增大而增大，因此a需为负数，任取一个负值即可。
【解析】
解：二次函数$y=a(x+1)^2 -5$的对称轴为直线$x=-1$。
若$a＞0$，抛物线开口向上，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小，不符合题意；
若$a＜0$，抛物线开口向下，当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，符合题意。
因此取任意小于0的数作为a的值均符合要求，例如$a=-2$。
【答案】
$-2$（答案不唯一，负数即可）
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数增减性
3.二次函数开口与a的关系
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图像性质，解题关键是掌握a的符号对抛物线开口方向、增减性的影响，结合对称轴即可快速判断a的取值范围，属于基础性质应用题。
【难度系数】
0.8
