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8. 如果$A(-1,y_{1})$、$B(-3,y_{2})$是二次函数$y=-(x-1)^2 +k$图像上的两点，那么$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$.（填“＜”、“＞”或“=”）
答案
8. ＞.
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，可利用二次函数的增减性求解：第一步先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴；第二步判断两个点的横坐标在对称轴的哪一侧；第三步结合开口方向对应的增减性，比较两个横坐标的大小，即可得出函数值的大小关系，也可直接将两点坐标代入函数解析式计算$y_1$、$y_2$的值再比较。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-1)^2 +k$，
∴$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-1,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标$-1＜1$，$-3＜1$，两点均在对称轴左侧，
又
∵$-1 ＞ -3$，
∴$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合函数增减性判断函数值大小，也可通过代入坐标计算函数值直接比较，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，可利用二次函数的增减性求解：第一步先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴；第二步判断两个点的横坐标在对称轴的哪一侧；第三步结合开口方向对应的增减性，比较两个横坐标的大小，即可得出函数值的大小关系，也可直接将两点坐标代入函数解析式计算$y_1$、$y_2$的值再比较。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-(x-1)^2 +k$，
∴$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，
∴当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∵点$A(-1,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标$-1＜1$，$-3＜1$，两点均在对称轴左侧，
又
∵$-1 ＞ -3$，
∴$y_1 ＞ y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题的核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合函数增减性判断函数值大小，也可通过代入坐标计算函数值直接比较，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
9. 将抛物线$y=-3(x-5)^2+6$绕着它的顶点旋转$180°$，所得抛物线的表达式为
$y=3(x-5)^2+6$
。答案
9. $y=3(x-5)^2+6$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线绕顶点旋转180°时的变化规律：旋转过程中顶点位置保持不变，仅抛物线的开口方向发生反转。解题可分为两步：第一步先确定原抛物线的顶点坐标和二次项系数，第二步根据开口方向反转得到新的二次项系数，结合不变的顶点坐标写出新的抛物线表达式即可。
【解析】
解：原抛物线$y=-3(x-5)^2+6$为顶点式，其顶点坐标为$(5,6)$，二次项系数为$-3$。
将抛物线绕顶点旋转$180°$后，顶点坐标仍为$(5,6)$，且开口方向与原抛物线相反，因此新抛物线的二次项系数为原系数的相反数，即$a=3$。
代入顶点式可得旋转后抛物线的表达式为$y=3(x-5)^2+6$。
【答案】
$y=3(x-5)^2+6$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图像旋转
【点评】
本题考查二次函数图像的旋转变换，解题核心是抓住绕顶点旋转时“顶点不变、开口反向”的规律，只要掌握顶点式的结构特点就能快速求解，是二次函数图像性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确抛物线绕顶点旋转180°时的变化规律：旋转过程中顶点位置保持不变，仅抛物线的开口方向发生反转。解题可分为两步：第一步先确定原抛物线的顶点坐标和二次项系数，第二步根据开口方向反转得到新的二次项系数，结合不变的顶点坐标写出新的抛物线表达式即可。
【解析】
解：原抛物线$y=-3(x-5)^2+6$为顶点式，其顶点坐标为$(5,6)$，二次项系数为$-3$。
将抛物线绕顶点旋转$180°$后，顶点坐标仍为$(5,6)$，且开口方向与原抛物线相反，因此新抛物线的二次项系数为原系数的相反数，即$a=3$。
代入顶点式可得旋转后抛物线的表达式为$y=3(x-5)^2+6$。
【答案】
$y=3(x-5)^2+6$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图像旋转
【点评】
本题考查二次函数图像的旋转变换，解题核心是抓住绕顶点旋转时“顶点不变、开口反向”的规律，只要掌握顶点式的结构特点就能快速求解，是二次函数图像性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
10 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)。若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B关于抛物线的对称轴对称，且$CD=\dfrac{1}{2}AB$，则$h=$
2
，点C的坐标为$(1,2)$
。答案
10. 2；$(1,2)$. 提示：由点A、B关于抛物线对称轴直线$x=h$对称，得到$h=2$. 由$AB=4$，得$CD=2$. 设点C的坐标为$(c,2)$，则点D的坐标为$(c+2,2)$. 由$h=c+1$，得$c=1$.
解析
【分析】
解题可按两步思考：第一步求h的值：抛物线顶点式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，已知A、B关于抛物线对称轴对称，根据轴对称性质，对称轴过线段AB的中点，计算AB中点的横坐标即可得到h；第二步求点C的坐标：先算出AB的长度，结合$CD=\dfrac{1}{2}AB$得到CD的长度，由于C、D在纵坐标为2的线段AB上，且C、D也关于抛物线对称轴对称，因此对称轴到C、D的距离都是CD长度的一半，据此可算出C的横坐标，结合纵坐标为2即可得到C的坐标。
【解析】
1. 求h的值：
抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$。
已知点$A(0,2)$、$B(4,2)$关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为线段AB的垂直平分线，AB中点的横坐标为$\dfrac{0+4}{2}=2$，故$h=2$。
2. 求点C的坐标：
线段AB平行于x轴，长度为$4-0=4$，由$CD=\dfrac{1}{2}AB$可得$CD=\dfrac{1}{2}×4=2$。
因为C、D在线段AB上，所以C、D的纵坐标均为2，且C、D关于对称轴$x=2$对称，因此点C到对称轴$x=2$的距离为$\dfrac{CD}{2}=1$。
又因为C在D的左侧，所以C的横坐标为$2-1=1$，即点C的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$2$；$(1,2)$
【知识点】
二次函数对称轴，轴对称性质，平行于x轴的线段长度计算
【点评】
本题结合二次函数图像与线段的位置关系，考查对二次函数对称轴性质和轴对称特征的理解，解题时抓住“对称点的中点在对称轴上”这一核心即可快速破题，属于对基础知识点的灵活考查。
【难度系数】
0.7
解题可按两步思考：第一步求h的值：抛物线顶点式$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，已知A、B关于抛物线对称轴对称，根据轴对称性质，对称轴过线段AB的中点，计算AB中点的横坐标即可得到h；第二步求点C的坐标：先算出AB的长度，结合$CD=\dfrac{1}{2}AB$得到CD的长度，由于C、D在纵坐标为2的线段AB上，且C、D也关于抛物线对称轴对称，因此对称轴到C、D的距离都是CD长度的一半，据此可算出C的横坐标，结合纵坐标为2即可得到C的坐标。
【解析】
1. 求h的值：
抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$。
已知点$A(0,2)$、$B(4,2)$关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为线段AB的垂直平分线，AB中点的横坐标为$\dfrac{0+4}{2}=2$，故$h=2$。
2. 求点C的坐标：
线段AB平行于x轴，长度为$4-0=4$，由$CD=\dfrac{1}{2}AB$可得$CD=\dfrac{1}{2}×4=2$。
因为C、D在线段AB上，所以C、D的纵坐标均为2，且C、D关于对称轴$x=2$对称，因此点C到对称轴$x=2$的距离为$\dfrac{CD}{2}=1$。
又因为C在D的左侧，所以C的横坐标为$2-1=1$，即点C的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$2$；$(1,2)$
【知识点】
二次函数对称轴，轴对称性质，平行于x轴的线段长度计算
【点评】
本题结合二次函数图像与线段的位置关系，考查对二次函数对称轴性质和轴对称特征的理解，解题时抓住“对称点的中点在对称轴上”这一核心即可快速破题，属于对基础知识点的灵活考查。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 写出二次函数 $y=-3(x+1)^2-4$ 图像的开口方向、对称轴、顶点坐标及其图像的变化规律. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求自变量 $x$ 的相应取值.
11. 写出二次函数 $y=-3(x+1)^2-4$ 图像的开口方向、对称轴、顶点坐标及其图像的变化规律. 判断此二次函数有最大值还是最小值，并求自变量 $x$ 的相应取值.
答案
11. 开口向下；对称轴为直线$x=-1$；顶点为$(-1,-4)$；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-1$时，函数有最大值$-4$.
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+h(a≠0)$中各参数的意义：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,h)$；再结合开口方向判断函数的增减性和最值即可。
【解析】
首先识别二次函数$y=-3(x+1)^2-4$属于顶点式$y=a(x+m)^2+h$，其中$a=-3$，$m=1$，$h=-4$：
1. 开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 二次函数图像开口向下；
2. 对称轴：根据顶点式性质，对称轴为直线$x=-m=-1$；
3. 顶点坐标：顶点坐标为$(-m,h)$，代入得顶点为$(-1,-4)$；
4. 图像变化规律（增减性）：$\because$ 开口向下，$\therefore$ 在对称轴左侧，即$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值判断：$\because$ 开口向下，函数图像有最高点，$\therefore$ 函数有最大值，在顶点处取得，即当$x=-1$时，函数最大值为$-4$。
【答案】
开口向下；对称轴为直线$x=-1$；顶点为$(-1,-4)$；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-1$时，函数有最大值$-4$.
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像特征，牢记开口方向、对称轴、顶点坐标的判断方法以及增减性、最值的推导逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x+m)^2+h(a≠0)$中各参数的意义：$a$的符号决定开口方向，对称轴为直线$x=-m$，顶点坐标为$(-m,h)$；再结合开口方向判断函数的增减性和最值即可。
【解析】
首先识别二次函数$y=-3(x+1)^2-4$属于顶点式$y=a(x+m)^2+h$，其中$a=-3$，$m=1$，$h=-4$：
1. 开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 二次函数图像开口向下；
2. 对称轴：根据顶点式性质，对称轴为直线$x=-m=-1$；
3. 顶点坐标：顶点坐标为$(-m,h)$，代入得顶点为$(-1,-4)$；
4. 图像变化规律（增减性）：$\because$ 开口向下，$\therefore$ 在对称轴左侧，即$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；
5. 最值判断：$\because$ 开口向下，函数图像有最高点，$\therefore$ 函数有最大值，在顶点处取得，即当$x=-1$时，函数最大值为$-4$。
【答案】
开口向下；对称轴为直线$x=-1$；顶点为$(-1,-4)$；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-1$时，函数有最大值$-4$.
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数顶点式性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像特征，牢记开口方向、对称轴、顶点坐标的判断方法以及增减性、最值的推导逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.9
12. 已知抛物线 $ y=2(x-a-1)^2 +2a+4 $（a是常数）的顶点在第二象限，求a的取值范围.
答案
12. $-2＜a＜-1$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=A(x-h)^2+k$（$A≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，先据此求出题干中抛物线的顶点坐标；再结合第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于$a$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=A(x-h)^2+k$（$A≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=2(x-a-1)^2 +2a+4$变形为$y=2[x-(a+1)]^2+(2a+4)$，可得其顶点坐标为$(a+1,2a+4)$。
$\because$ 抛物线顶点在第二象限，第二象限内点满足横坐标$＜0$，纵坐标$＞0$，
$\therefore$ 可列不等式组：
$\begin{cases}a+1 ＜ 0&①\\2a+4 ＞ 0&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＜ -1$；
解不等式②：移项得$2a ＞ -4$，系数化为1得$a ＞ -2$。
综上，不等式组的解集为$-2 ＜ a ＜ -1$，即$a$的取值范围是$-2 ＜ a ＜ -1$。
【答案】
$-2＜a＜-1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质；2. 象限点的坐标特征；3. 一元一次不等式组解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，将二次函数顶点坐标的求解、象限坐标特征和解不等式组的知识点结合考查，解题的核心是准确写出顶点式对应的顶点坐标，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=A(x-h)^2+k$（$A≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，先据此求出题干中抛物线的顶点坐标；再结合第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于$a$的一元一次不等式组，最后解不等式组即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=A(x-h)^2+k$（$A≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=2(x-a-1)^2 +2a+4$变形为$y=2[x-(a+1)]^2+(2a+4)$，可得其顶点坐标为$(a+1,2a+4)$。
$\because$ 抛物线顶点在第二象限，第二象限内点满足横坐标$＜0$，纵坐标$＞0$，
$\therefore$ 可列不等式组：
$\begin{cases}a+1 ＜ 0&①\\2a+4 ＞ 0&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＜ -1$；
解不等式②：移项得$2a ＞ -4$，系数化为1得$a ＞ -2$。
综上，不等式组的解集为$-2 ＜ a ＜ -1$，即$a$的取值范围是$-2 ＜ a ＜ -1$。
【答案】
$-2＜a＜-1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质；2. 象限点的坐标特征；3. 一元一次不等式组解法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，将二次函数顶点坐标的求解、象限坐标特征和解不等式组的知识点结合考查，解题的核心是准确写出顶点式对应的顶点坐标，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
