13 小明在学习了抛物线的平移后，对抛物线的旋转产生了兴趣，并尝试通过类比的方法进行探究.
基础尝试：（1）将抛物线$y=x^2$绕原点旋转$180°$得到新抛物线的表达式为.
初步感知：小明运用几何画板，将抛物线$y=x^2$绕原点顺时针旋转$90°$后得到了如图(1)所示的抛物线. 经资料查阅，该抛物线的表达式为$x=y^2$.
类比探究：仿照抛物线$y=x^2$平移的探究过程，小明尝试探究抛物线$x=y^2$平移的性质.
（2）① 试在图(2)中画出抛物线$x=y^2+1$.
② 根据图像可得抛物线$x=y^2+1$是由抛物线$x=y^2$向平移1个单位长度得到；类比思考，将抛物线$x=y^2$向上平移1个单位长度得到新的抛物线的表达式是.
（3）已知抛物线$x=y^2+1$，借助图像可得，当$x＜5$时，$y$的取值范围是.
拓展延伸：（4）将抛物线$y=(x-3)^2$绕原点逆时针旋转$90°$，得到新的抛物线的表达式是.

13. (1) $y=-x^2$.
(2) ① 抛物线$x=y^2+1$如图所示. 提示：可通过列表描点法画图. 列表：
| $y$ | ... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x=y^2+1$ | ... | 5 | 2 | 0 | 2 | 5 | ... |
描点、连线，见.
② 右；$x=(y-1)^2$.
(3) $-2＜y＜2$.
(4) $x=-(y-3)^2$. 提示：抛物线$y=(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，点$(3,0)$绕原点逆时针旋转$90°$得到点$(0,3)$. 类比得到新的抛物线的表达式是$x=-(y-3)^2$.

【分析】
1. 第(1)问：抛物线绕原点旋转180°的本质是抛物线上任意点$(x,y)$旋转后对应点为$(-x,-y)$，将对应点代入原抛物线表达式整理即可得新解析式。
2. 第(2)问：① 画函数图像采用列表、描点、连线的基本方法，代入不同$y$值计算对应$x$值后描点即可；② 类比$y=a(x+m)^2+h$的平移规律“左加右减，上加下减”，此处$x$关于$y$的表达式中，$x$的变化对应左右平移，$y$的变化对应上下平移，结合表达式差异判断平移方向，再根据平移规则写平移后的解析式。
3. 第(3)问：先代入$x=5$求出对应的$y$值，再结合抛物线开口方向确定$x＜5$时$y$的取值范围。
4. 第(4)问：先求出原抛物线的顶点坐标，计算顶点绕原点逆时针旋转90°后的坐标，再判断旋转后抛物线的开口方向，结合旋转规律推导新抛物线解析式。
【解析】
(1) 设旋转后抛物线上任意一点坐标为$(x,y)$，则该点旋转前的对应点为$(-x,-y)$，该点在原抛物线$y=x^2$上，代入得：$-y=(-x)^2$，整理得$y=-x^2$。
(2) ① 列表取$y=-2、-1、0、1、2$，代入$x=y^2+1$得对应$x$值为$5、2、1、2、5$，在坐标系中描出对应点后用平滑曲线连接即可。
② 对比$x=y^2$和$x=y^2+1$，相同$y$值下后者的$x$比前者大1，因此是向右平移1个单位长度得到；将抛物线$x=y^2$向上平移1个单位，根据“上加下减”的规则，将原式中$y$替换为$y-1$，得到新表达式为$x=(y-1)^2$。
(3) 当$x=5$时，代入$x=y^2+1$得$5=y^2+1$，解得$y=\pm2$，由于抛物线$x=y^2+1$开口向右，因此$x＜5$时，$y$的取值范围是$-2＜y＜2$。
(4) 抛物线$y=(x-3)^2$的顶点为$(3,0)$，绕原点逆时针旋转90°后，顶点对应点为$(0,3)$；原抛物线开口向上，逆时针旋转90°后开口向左，类比旋转规律可得新抛物线表达式为$x=-(y-3)^2$。
【答案】
(1) $y=-x^2$
(2) ① ；② 右；$x=(y-1)^2$
(3) $-2＜y＜2$
(4) $x=-(y-3)^2$
【知识点】
二次函数图象的旋转，二次函数图象的平移，二次函数的取值范围
【点评】
本题以二次函数的旋转、平移为探究背景，引导学生类比已学的二次函数平移规律解决新问题，考查知识迁移能力和数形结合思想，需要结合点的坐标变换规律推导函数表达式，同时结合图像判断取值范围，注重对探究能力的考查。
【难度系数】
0.6