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1. 在$△ ABC$中，两个完全一样的三角尺如图所示摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在（
A.$∠ A$的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的中线上
D.边AB的中线上
A
）A.$∠ A$的平分线上
B.边AC的高上
C.边BC的中线上
D.边AB的中线上
答案
1.A
解析
【分析】
首先提取题目关键信息：两个完全相同的直角三角尺，一组对应直角边分别在AB、AC上，公共顶点为M。首先可得出：M到AB的距离、M到AC的距离就是这两个三角尺的对应直角边，长度相等。再结合角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可判断M的位置，其余选项均无对应条件支撑，可直接排除。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此点M到AB边的距离与点M到AC边的距离相等，且点M在∠BAC的内部。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，可知点M在∠A的平分线上。
没有条件能证明M在边AC的高、边BC的中线、边AB的中线上，故B、C、D错误，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题的核心是从摆放的三角尺中提炼出“点到角两边距离相等”的隐含条件，熟练掌握定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
首先提取题目关键信息：两个完全相同的直角三角尺，一组对应直角边分别在AB、AC上，公共顶点为M。首先可得出：M到AB的距离、M到AC的距离就是这两个三角尺的对应直角边，长度相等。再结合角平分线的判定定理：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可判断M的位置，其余选项均无对应条件支撑，可直接排除。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此点M到AB边的距离与点M到AC边的距离相等，且点M在∠BAC的内部。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上，可知点M在∠A的平分线上。
没有条件能证明M在边AC的高、边BC的中线、边AB的中线上，故B、C、D错误，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题型，解题的核心是从摆放的三角尺中提炼出“点到角两边距离相等”的隐含条件，熟练掌握定理即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2.如图，$PA⊥ ON$于点A，$PB⊥ OM$于点B，且$PA=PB$.若$∠ MON=50°$，$∠ OPC=30°$，则$∠ PCA$的大小为
55°
.答案
2.55°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：点P到∠MON两边的垂线段PA、PB长度相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠MON的角平分线，先求出∠COP的度数；再观察所求的∠PCA是△OPC的外角，利用三角形外角的性质，将其转化为两个不相邻内角的和，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA⊥ON，PB⊥OM，且PA=PB，
∴根据角平分线的判定定理，点P在∠MON的角平分线上，即OP平分∠MON，
∴$∠ COP=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×50°=25°$。
∵$∠ PCA$是$△ OPC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ PCA=∠ COP+∠ OPC=25°+30°=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先通过角平分线的判定确定角的等量关系，再结合外角性质完成角度计算，掌握相关定理的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：点P到∠MON两边的垂线段PA、PB长度相等，结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠MON的角平分线，先求出∠COP的度数；再观察所求的∠PCA是△OPC的外角，利用三角形外角的性质，将其转化为两个不相邻内角的和，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA⊥ON，PB⊥OM，且PA=PB，
∴根据角平分线的判定定理，点P在∠MON的角平分线上，即OP平分∠MON，
∴$∠ COP=\frac{1}{2}∠ MON=\frac{1}{2}×50°=25°$。
∵$∠ PCA$是$△ OPC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ PCA=∠ COP+∠ OPC=25°+30°=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先通过角平分线的判定确定角的等量关系，再结合外角性质完成角度计算，掌握相关定理的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，且$DB=DC$.求证:$AD$平分$∠BAC$.
答案
3.证明:$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore∠ E=∠ DFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中，$\begin{cases} DB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=DF.$
又 $DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC.$
$\therefore∠ E=∠ DFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中，$\begin{cases} DB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=DF.$
又 $DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC.$
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，我们可以利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE和到AC的距离DF相等即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC，且给出了DB=DC、BE=CF，可先证明Rt△BED和Rt△CFD全等，根据全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore∠ E=∠ DFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中，$\begin{cases} DB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=DF.$
又 $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC.$
【答案】
AD平分∠BAC
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是明确角平分线判定的使用条件，结合已知的边相等条件证明直角三角形全等，进而得到点到角两边的距离相等，推导过程逻辑连贯，有助于巩固基础定理的应用。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，我们可以利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点D到AB的距离DE和到AC的距离DF相等即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC，且给出了DB=DC、BE=CF，可先证明Rt△BED和Rt△CFD全等，根据全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore∠ E=∠ DFC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ BED$ 和 $\mathrm{Rt}△ CFD$ 中，$\begin{cases} DB=DC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BED≌\mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=DF.$
又 $\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠ BAC.$
【答案】
AD平分∠BAC
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是明确角平分线判定的使用条件，结合已知的边相等条件证明直角三角形全等，进而得到点到角两边的距离相等，推导过程逻辑连贯，有助于巩固基础定理的应用。
【难度系数】
0.8
4.已知点 P 到$△ ABC$三边的距离相等，则点 P 是$△ ABC$的 （
A.中线交点
B.高线交点
C.角平分线交点
D.垂直平分线交点
C
）A.中线交点
B.高线交点
C.角平分线交点
D.垂直平分线交点
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先抓住核心条件：点P到△ABC三边的距离相等，再逐一回忆各选项对应的交点性质，通过性质匹配或排除法即可解题。首先明确几类特殊交点的核心特征：中线交点和线段比例相关，高线交点和垂直相关，角平分线交点和到边的距离相关，垂直平分线交点和到顶点的距离相关，对应条件筛选即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形中线的交点是重心，核心性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
B. 三角形高线的交点是垂心，是三条高的公共交点，不具备到三边距离相等的性质，不符合要求；
C. 根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。若点P到△ABC三边距离都相等，说明点P同时在△ABC三个内角的角平分线上，即P是三条角平分线的交点，符合条件；
D. 三角形三边垂直平分线的交点是外心，核心性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的对应性质，解题时要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”两类条件对应的不同结论，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先抓住核心条件：点P到△ABC三边的距离相等，再逐一回忆各选项对应的交点性质，通过性质匹配或排除法即可解题。首先明确几类特殊交点的核心特征：中线交点和线段比例相关，高线交点和垂直相关，角平分线交点和到边的距离相关，垂直平分线交点和到顶点的距离相关，对应条件筛选即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形中线的交点是重心，核心性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
B. 三角形高线的交点是垂心，是三条高的公共交点，不具备到三边距离相等的性质，不符合要求；
C. 根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。若点P到△ABC三边距离都相等，说明点P同时在△ABC三个内角的角平分线上，即P是三条角平分线的交点，符合条件；
D. 三角形三边垂直平分线的交点是外心，核心性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的对应性质，解题时要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”两类条件对应的不同结论，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=50°,则∠BOC等于 (
A.$115°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$130°$
A
)A.$115°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$130°$
答案
5.A
解析
【分析】
首先根据已知条件“点O到△ABC三边距离相等”，结合角平分线的判定定理，可得出O是△ABC三个内角的角平分线交点，即内心。解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的定义，得到∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠OBC与∠OCB的和；第三步，在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是先判断出点O为三角形内角平分线的交点，再通过角度的比例关系转化计算，这类题型是三角形角度计算类的常见考法，掌握相关定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件“点O到△ABC三边距离相等”，结合角平分线的判定定理，可得出O是△ABC三个内角的角平分线交点，即内心。解题思路如下：第一步，利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和；第二步，根据角平分线的定义，得到∠OBC、∠OCB分别是∠ABC、∠ACB的一半，进而求出∠OBC与∠OCB的和；第三步，在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 50° = 130°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
在△BOC中，再次利用三角形内角和：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 65° = 115°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与三角形内角和的综合基础题，解题的核心是先判断出点O为三角形内角平分线的交点，再通过角度的比例关系转化计算，这类题型是三角形角度计算类的常见考法，掌握相关定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.[应用意识]小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”小明的做法，其理论依据是
.
.
答案
6.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
解析
【分析】
要判断射线OP是∠AOB的平分线，可结合角平分线的判定定理分析：首先明确长方形直尺的宽度固定，且直尺侧边与边缘垂直，两把完全相同的直尺宽度相等，因此点P到OA、OB的距离分别等于两把直尺的宽度，即点P到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可推导得出结论。
【解析】
因为两把长方形直尺完全相同，所以二者的宽度相等。
长方形的邻边互相垂直，因此点P到射线OA的距离等于压住OA的直尺的宽度，点P到射线OB的距离等于压住OB的直尺的宽度，可得点P在∠AOB的内部，且到∠AOB两边OA、OB的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可知射线OP就是∠BOA的平分线。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离，长方形的性质
【点评】
本题结合生活中的操作场景考查几何定理的应用，需要我们将实物的特征转化为数学几何条件，体现了数学的实用性，有助于提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.75
要判断射线OP是∠AOB的平分线，可结合角平分线的判定定理分析：首先明确长方形直尺的宽度固定，且直尺侧边与边缘垂直，两把完全相同的直尺宽度相等，因此点P到OA、OB的距离分别等于两把直尺的宽度，即点P到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可推导得出结论。
【解析】
因为两把长方形直尺完全相同，所以二者的宽度相等。
长方形的邻边互相垂直，因此点P到射线OA的距离等于压住OA的直尺的宽度，点P到射线OB的距离等于压住OB的直尺的宽度，可得点P在∠AOB的内部，且到∠AOB两边OA、OB的距离相等。
根据角平分线的判定定理，可知射线OP就是∠BOA的平分线。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离，长方形的性质
【点评】
本题结合生活中的操作场景考查几何定理的应用，需要我们将实物的特征转化为数学几何条件，体现了数学的实用性，有助于提升知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.75
7.如图，要在河流的南边，公路左侧的M区建一个工厂，要求工厂的位置到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点A处的距离为1 cm(指图上的距离)，求图中工厂的位置应选在哪里，画图并说明理由.
答案
7.解:如图，点 N 即为所求
.由题意，得工厂的位置应在河流与公路夹角的平分线上，并且到交叉点 A 距离为 1 cm(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上).解析
【分析】
要确定工厂的位置，需结合题目的两个要求分析：①到河流、公路的距离相等，根据角平分线的判定定理，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足第一个要求的点都在河流与公路夹角（即∠BAC）的角平分线上；②到点A的图上距离为1cm，因此只需在上述角平分线上，从A点向M区方向找到距离A为1cm的点，该点就同时满足两个要求，即为所求位置。
【解析】
1. 作∠BAC的角平分线：根据角平分线的判定定理，这条角平分线上的所有点到AB（河流）、AC（公路）的距离都相等，满足第一个选址条件。
2. 在∠BAC的角平分线上，从点A出发向M区方向截取1cm长的线段，线段的另一端点记为N，该点到点A的距离为1cm，满足第二个选址条件。
因此点N就是符合要求的工厂位置。
【答案】
点N即为所求。由题意，得工厂的位置应在河流与公路夹角的平分线上，并且到交叉点A距离为1 cm(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)。
【知识点】
角平分线的判定，角平分线作图
【点评】
本题将角平分线的判定定理和实际选址问题结合，解题核心是把“到角两边距离相等”的实际要求转化为作角平分线的数学操作，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要确定工厂的位置，需结合题目的两个要求分析：①到河流、公路的距离相等，根据角平分线的判定定理，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足第一个要求的点都在河流与公路夹角（即∠BAC）的角平分线上；②到点A的图上距离为1cm，因此只需在上述角平分线上，从A点向M区方向找到距离A为1cm的点，该点就同时满足两个要求，即为所求位置。
【解析】
1. 作∠BAC的角平分线：根据角平分线的判定定理，这条角平分线上的所有点到AB（河流）、AC（公路）的距离都相等，满足第一个选址条件。
2. 在∠BAC的角平分线上，从点A出发向M区方向截取1cm长的线段，线段的另一端点记为N，该点到点A的距离为1cm，满足第二个选址条件。
因此点N就是符合要求的工厂位置。
【答案】
点N即为所求
。由题意，得工厂的位置应在河流与公路夹角的平分线上，并且到交叉点A距离为1 cm(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)。【知识点】
角平分线的判定，角平分线作图
【点评】
本题将角平分线的判定定理和实际选址问题结合，解题核心是把“到角两边距离相等”的实际要求转化为作角平分线的数学操作，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
