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8. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△ABC的面积为28，AB=8，BC=6，则DE的长为 （
A.2
B.4
C.7
D.14
B
）A.2
B.4
C.7
D.14
答案
8.B
解析
【分析】遇到角平分线和边上的垂线，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离DE和到BC的距离相等。要求DE的长度，可将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个小三角形的高分别是DE和D到BC的距离，二者相等，结合已知的总面积、AB和BC的长度，即可列等式求出DE。
【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质得：DE=DF。
∵△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积和，即$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$，
其中$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}× BC× DE$，
将$S_{△ ABC}=28$，$AB=8$，$BC=6$代入得：
$28=\frac{1}{2}×8× DE+\frac{1}{2}×6× DE$
化简得：$28=4DE+3DE=7DE$
解得：$DE=4$。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，通过面积和建立等量关系求解，熟练掌握角平分线的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】0.7
【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质得：DE=DF。
∵△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积和，即$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}$，
其中$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}× BC× DE$，
将$S_{△ ABC}=28$，$AB=8$，$BC=6$代入得：
$28=\frac{1}{2}×8× DE+\frac{1}{2}×6× DE$
化简得：$28=4DE+3DE=7DE$
解得：$DE=4$。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是利用角平分线的性质得到两个小三角形的高相等，通过面积和建立等量关系求解，熟练掌握角平分线的性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】0.7
9.如图，$AB// CD$，$BP$和$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$并交于点$P$，$AD$过点$P$，且与$AB$垂直.若$AD=8$，则点$P$到$BC$的距离是（
A.8
B.6
C.4
D.2
C
）A.8
B.6
C.4
D.2
答案
9.C
解析
【分析】
解决本题的核心是利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先根据AB//CD且AD⊥AB，可推出AD⊥CD，即PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。我们过点P作PE⊥BC于E，所求的点P到BC的距离就是PE的长度。接下来结合BP、CP分别是两个角的平分线，可得PA=PE、PD=PE，进而推出PA=PD=PE，结合AD的长度即可求出PE的值。
【解析】
过点P作PE⊥BC，垂足为E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补，若其中一个角为直角，则另一个角也为直角）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE，
又
∵AD=PA+PD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离是4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是作出点P到BC的垂线段，再结合角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，进而求解，是角平分线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先根据AB//CD且AD⊥AB，可推出AD⊥CD，即PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。我们过点P作PE⊥BC于E，所求的点P到BC的距离就是PE的长度。接下来结合BP、CP分别是两个角的平分线，可得PA=PE、PD=PE，进而推出PA=PD=PE，结合AD的长度即可求出PE的值。
【解析】
过点P作PE⊥BC，垂足为E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补，若其中一个角为直角，则另一个角也为直角）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE，
又
∵AD=PA+PD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4，即点P到BC的距离是4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是作出点P到BC的垂线段，再结合角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，进而求解，是角平分线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:①以点$B$为圆心,任意长为半径画弧,分别交$AB,BC$于点$D,E$;②分别以点$D,E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧,两弧交于点$F$;③作射线$BF$交$AC$于点$G$.如果$\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$,那么$\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}}=$
第10题图 第11题图
$\frac{2}{3}$
.第10题图 第11题图
答案
10.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先观察题目的作图步骤，符合角平分线的尺规作图特征，可先判断BG是∠ABC的角平分线；要求两个三角形的面积比，回忆三角形面积公式，△ABG和△BGC若分别以AB、BC为底，则对应高为点G到AB、BC的距离，根据角平分线的性质，这两个高相等，因此面积比就等于底AB与BC的比值，代入已知的比例即可求解。
【解析】
解：由作图步骤可知，BG是∠ABC的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点G到AB、BC的距离相等，设该距离为$ h $。
则$ S_{△ ABG} = \frac{1}{2} · AB · h $，$ S_{△ BGC} = \frac{1}{2} · BC · h $。
因此$ \frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}} = \frac{\frac{1}{2} · AB · h}{\frac{1}{2} · BC · h} = \frac{AB}{BC} $。
已知$ \frac{AB}{BC} = \frac{2}{3} $，所以$ \frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}} = \frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是先根据作图特征识别出角平分线，再结合角平分线的性质得到两个三角形的高相等，利用同高三角形的面积比等于对应底的比即可快速求解，是角平分线性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先观察题目的作图步骤，符合角平分线的尺规作图特征，可先判断BG是∠ABC的角平分线；要求两个三角形的面积比，回忆三角形面积公式，△ABG和△BGC若分别以AB、BC为底，则对应高为点G到AB、BC的距离，根据角平分线的性质，这两个高相等，因此面积比就等于底AB与BC的比值，代入已知的比例即可求解。
【解析】
解：由作图步骤可知，BG是∠ABC的角平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点G到AB、BC的距离相等，设该距离为$ h $。
则$ S_{△ ABG} = \frac{1}{2} · AB · h $，$ S_{△ BGC} = \frac{1}{2} · BC · h $。
因此$ \frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}} = \frac{\frac{1}{2} · AB · h}{\frac{1}{2} · BC · h} = \frac{AB}{BC} $。
已知$ \frac{AB}{BC} = \frac{2}{3} $，所以$ \frac{S_{△ ABG}}{S_{△ BGC}} = \frac{2}{3} $。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是先根据作图特征识别出角平分线，再结合角平分线的性质得到两个三角形的高相等，利用同高三角形的面积比等于对应底的比即可快速求解，是角平分线性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
11.如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，点D在OB上，DH⊥OP于点H。若OD=4，OP=8，PM=3，则DH的长为
$\frac{3}{2}$
。答案
11.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据角平分线的性质，得到点P到OB边的距离等于PM的长度3；再利用“同一三角形面积相等”的等积法，分别以OD、OP为底表示出△ODP的面积，建立关于DH的等式，即可求解DH的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，
∴根据角平分线的性质，PE = PM = 3。
△ODP的面积可通过两种方式计算：
① 以OD为底，PE为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$；
② 以OP为底，DH为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OP × DH$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2} × 8 × DH = 6$，
解得$DH = \frac{6 × 2}{8} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线的性质和等积法结合考查，通过对同一三角形面积的两种不同表达建立等量关系求线段长，是几何中求垂线段长度的常用方法，解题时要注意灵活运用面积法简化计算。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据角平分线的性质，得到点P到OB边的距离等于PM的长度3；再利用“同一三角形面积相等”的等积法，分别以OD、OP为底表示出△ODP的面积，建立关于DH的等式，即可求解DH的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PE⊥OB，
∴根据角平分线的性质，PE = PM = 3。
△ODP的面积可通过两种方式计算：
① 以OD为底，PE为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OD × PE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$；
② 以OP为底，DH为高：$S_{△ ODP}=\frac{1}{2} × OP × DH$。
联立两个面积表达式得：$\frac{1}{2} × 8 × DH = 6$，
解得$DH = \frac{6 × 2}{8} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线的性质和等积法结合考查，通过对同一三角形面积的两种不同表达建立等量关系求线段长，是几何中求垂线段长度的常用方法，解题时要注意灵活运用面积法简化计算。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点E，点F在边AC上，$BD=DF$. 求证：
(1)$CF=EB$；
(2)$AB=AF+2EB$.
(1)$CF=EB$；
(2)$AB=AF+2EB$.
答案
12.证明:(1)$\because AD$是$∠BAC$的平分线,$DE⊥AB,DC⊥AC$,
$\therefore DE=DC$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$和$\mathrm{Rt}△EDB$中,$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CDF≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL}).$
$\therefore CF=EB.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}).$
$\therefore AC=AE.$
$\therefore AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.$
$\therefore DE=DC$.
在$\mathrm{Rt}△CDF$和$\mathrm{Rt}△EDB$中,$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CDF≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL}).$
$\therefore CF=EB.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}).$
$\therefore AC=AE.$
$\therefore AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.$
解析
【分析】
(1)要证明两条线段相等，优先考虑证明它们所在的三角形全等。本题中CF在Rt△CDF中，EB在Rt△EDB中，已知BD=DF，还差一组边相等；结合AD是角平分线，∠C是直角、DE⊥AB，根据角平分线的性质可得DC=DE，即可用HL证明两个直角三角形全等，从而得到CF=EB。
(2)要证明AB=AF+2EB，可先把AB拆成AE+EB，只需证明AE=AF+EB即可。首先用HL证明Rt△ADC和Rt△ADE全等，得到AC=AE；再把AC拆成AF+CF，结合第一问得到的CF=EB，代入后等量代换就能得到要证的结论。
【解析】
(1)
∵AD是∠BAC的平分线，$DE⊥AB$，$DC⊥AC$，
∴$DE=DC$。
在$\mathrm{Rt}△CDF$和$\mathrm{Rt}△EDB$中，
$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△CDF≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EB$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$AC=AE$。
∴$AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB$。
【答案】
(1)$CF=EB$得证；(2)$AB=AF+2EB$得证
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的基础题型，解题核心是熟练运用角平分线性质得到相等的垂线段，通过HL定理证明直角三角形全等得到线段等量关系，再结合线段拆分和等量代换完成证明，能够帮助学生巩固全等三角形的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
(1)要证明两条线段相等，优先考虑证明它们所在的三角形全等。本题中CF在Rt△CDF中，EB在Rt△EDB中，已知BD=DF，还差一组边相等；结合AD是角平分线，∠C是直角、DE⊥AB，根据角平分线的性质可得DC=DE，即可用HL证明两个直角三角形全等，从而得到CF=EB。
(2)要证明AB=AF+2EB，可先把AB拆成AE+EB，只需证明AE=AF+EB即可。首先用HL证明Rt△ADC和Rt△ADE全等，得到AC=AE；再把AC拆成AF+CF，结合第一问得到的CF=EB，代入后等量代换就能得到要证的结论。
【解析】
(1)
∵AD是∠BAC的平分线，$DE⊥AB$，$DC⊥AC$，
∴$DE=DC$。
在$\mathrm{Rt}△CDF$和$\mathrm{Rt}△EDB$中，
$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△CDF≌\mathrm{Rt}△EDB(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EB$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ADC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中，
$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ADC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$AC=AE$。
∴$AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB$。
【答案】
(1)$CF=EB$得证；(2)$AB=AF+2EB$得证
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的基础题型，解题核心是熟练运用角平分线性质得到相等的垂线段，通过HL定理证明直角三角形全等得到线段等量关系，再结合线段拆分和等量代换完成证明，能够帮助学生巩固全等三角形的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
13. 感知:如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知:DB=DC.
探究:如图2,AD平分∠BAC,∠B+∠ACD=180°,∠ABD＜90°,求证:DC=DB.
探究:如图2,AD平分∠BAC,∠B+∠ACD=180°,∠ABD＜90°,求证:DC=DB.
答案
13.证明:过点 D 作$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$交 AC 的延长线于点 F.
$\because AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
$\therefore DE=DF.$
$\because ∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°$,
$\therefore ∠B=∠FCD.$
在$△DFC$和$△DEB$中,$\begin{cases} ∠F=∠DEB=90°, \\ ∠FCD=∠B, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore △DFC≌△DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DC=DB.$
$\because AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
$\therefore DE=DF.$
$\because ∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°$,
$\therefore ∠B=∠FCD.$
在$△DFC$和$△DEB$中,$\begin{cases} ∠F=∠DEB=90°, \\ ∠FCD=∠B, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore △DFC≌△DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DC=DB.$
解析
【分析】
要证明DC=DB，可通过证明二者所在的三角形全等实现。已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过点D分别作AB、AC所在直线的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合已知条件∠B+∠ACD=180°，利用同角的补角相等得到一组对应角相等，即可通过AAS证明两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
过点 D 作$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$交 AC 的延长线于点 F.
$\because AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
$\therefore DE=DF.$
$\because ∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°$,
$\therefore ∠B=∠FCD.$
在$△DFC$和$△DEB$中,
$\begin{cases} ∠F=∠DEB=90°, \\ ∠FCD=∠B, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore △DFC≌△DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DC=DB.$
【答案】
$DC=DB$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是掌握角平分线相关的辅助线构造方法，通过作角两边的垂线得到相等线段，进而构造全等三角形，是几何证明中比较典型的题型。
【难度系数】
0.6
要证明DC=DB，可通过证明二者所在的三角形全等实现。已知AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可以过点D分别作AB、AC所在直线的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出两个直角三角形；再结合已知条件∠B+∠ACD=180°，利用同角的补角相等得到一组对应角相等，即可通过AAS证明两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
过点 D 作$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$交 AC 的延长线于点 F.
$\because AD$平分$∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$,
$\therefore DE=DF.$
$\because ∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°$,
$\therefore ∠B=∠FCD.$
在$△DFC$和$△DEB$中,
$\begin{cases} ∠F=∠DEB=90°, \\ ∠FCD=∠B, \\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore △DFC≌△DEB(\mathrm{AAS}).$
$\therefore DC=DB.$
【答案】
$DC=DB$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用，解题的关键是掌握角平分线相关的辅助线构造方法，通过作角两边的垂线得到相等线段，进而构造全等三角形，是几何证明中比较典型的题型。
【难度系数】
0.6
