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1.如图，已知$∠ AOB$，求作射线$OC$，使$OC$平分$∠ AOB$，那么作法的合理顺序是 （
①作射线$OC$；
②在射线$OA$和$OB$上分别截取$OD$，$OE$，使$OD=OE$；
③分别以点$D$，$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径在$∠ AOB$内作弧，两弧交于点$C$。
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③①②
C
）①作射线$OC$；
②在射线$OA$和$OB$上分别截取$OD$，$OE$，使$OD=OE$；
③分别以点$D$，$E$为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径在$∠ AOB$内作弧，两弧交于点$C$。
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③①②
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查角平分线的尺规作图步骤，解题时需回忆角平分线的标准尺规作图逻辑：首先要在已知角的两条边上截取等长线段，再通过画弧确定角平分线上的交点，最后连接顶点和交点得到角平分线，按照这个流程判断步骤顺序即可。
【解析】
作∠AOB的角平分线的正确步骤如下：
第一步：在射线OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE，对应步骤②；
第二步：分别以点D，E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C，对应步骤③；
第三步：作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法的合理顺序是②③①，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对尺规作角平分线步骤的记忆，熟练掌握标准作图流程即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
这道题考查角平分线的尺规作图步骤，解题时需回忆角平分线的标准尺规作图逻辑：首先要在已知角的两条边上截取等长线段，再通过画弧确定角平分线上的交点，最后连接顶点和交点得到角平分线，按照这个流程判断步骤顺序即可。
【解析】
作∠AOB的角平分线的正确步骤如下：
第一步：在射线OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE，对应步骤②；
第二步：分别以点D，E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C，对应步骤③；
第三步：作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法的合理顺序是②③①，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对尺规作角平分线步骤的记忆，熟练掌握标准作图流程即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,以点$C$为圆心,适当长为半径画弧,交$CB$于点$D$,交$CA$于点$E$,分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$长为半径画弧,两弧相交于点$F$,射线$CF$交$AB$于点$G$.若$∠ A=24°$,$∠ B=120°$,则$∠ BCG$为 (
A.$12°$
B.$18°$
C.$28°$
D.$36°$
B
)A.$12°$
B.$18°$
C.$28°$
D.$36°$
答案
2.B
解析
【分析】
首先识别题中的尺规作图是作∠ACB的角平分线，可知CG平分∠ACB，要求∠BCG需要先求出∠ACB的度数；根据三角形内角和为180°，已知△ABC中∠A和∠B的度数，可直接计算出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质，∠BCG等于∠ACB的一半，即可得出结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 24° - 120° = 36°$
由题中的尺规作图步骤可知，射线$CF$（即$CG$）是$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ BCG = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 36° = 18°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，角平分线的定义
【点评】
本题结合角平分线的尺规作图考查角度计算，解题关键是准确识别尺规作图的类型，熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质进行计算。
【难度系数】
0.75
首先识别题中的尺规作图是作∠ACB的角平分线，可知CG平分∠ACB，要求∠BCG需要先求出∠ACB的度数；根据三角形内角和为180°，已知△ABC中∠A和∠B的度数，可直接计算出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质，∠BCG等于∠ACB的一半，即可得出结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 24° - 120° = 36°$
由题中的尺规作图步骤可知，射线$CF$（即$CG$）是$∠ ACB$的角平分线，
$\therefore ∠ BCG = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 36° = 18°$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，角平分线的定义
【点评】
本题结合角平分线的尺规作图考查角度计算，解题关键是准确识别尺规作图的类型，熟练运用三角形内角和定理和角平分线的性质进行计算。
【难度系数】
0.75
3.如图,已知$△ ABC$,求作$△ ABC$的角平分线AD.(利用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
答案
3.解:如图,线段 AD 即为所求.
解析
【分析】
要作△ABC的角平分线AD，本质是作∠BAC的平分线，使其交BC边于点D。我们可以通过尺规构造全等三角形得到相等的角：首先以∠BAC的顶点A为圆心画弧，和角的两边AB、AC相交得到两个交点，再以这两个交点为圆心、大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部的交点与顶点A的连线就是∠BAC的平分线，该线与BC的交点即为D，所得线段AD就是要求的角平分线。
【解析】
作图逻辑如下（题目仅要求保留痕迹，此处为方法讲解）：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；
2. 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
3. 过点A和该交点作射线，交BC于点D，线段AD即为△ABC的角平分线。
【答案】
如图，线段 AD 即为所求.
【知识点】
1. 尺规作角平分线；2. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的尺规作图题型，考查角平分线的尺规作图操作，需要熟练掌握作图步骤，规范保留作图痕迹。
【难度系数】
0.9
要作△ABC的角平分线AD，本质是作∠BAC的平分线，使其交BC边于点D。我们可以通过尺规构造全等三角形得到相等的角：首先以∠BAC的顶点A为圆心画弧，和角的两边AB、AC相交得到两个交点，再以这两个交点为圆心、大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部的交点与顶点A的连线就是∠BAC的平分线，该线与BC的交点即为D，所得线段AD就是要求的角平分线。
【解析】
作图逻辑如下（题目仅要求保留痕迹，此处为方法讲解）：
1. 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；
2. 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于一点；
3. 过点A和该交点作射线，交BC于点D，线段AD即为△ABC的角平分线。
【答案】
如图，线段 AD 即为所求.
【知识点】
1. 尺规作角平分线；2. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础的尺规作图题型，考查角平分线的尺规作图操作，需要熟练掌握作图步骤，规范保留作图痕迹。
【难度系数】
0.9
4. 如图，已知BG是$∠ ABC$的平分线，D，H是BG上的点，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ BC$于点F，则下列说法错误的是 （
A.$DE=DF$
B.$EH=FH$
C.$BE=BF$
D.$ED=DH$
第4题图 第5题图
D
）A.$DE=DF$
B.$EH=FH$
C.$BE=BF$
D.$ED=DH$
第4题图 第5题图
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关定理：首先BG是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥BC，可先依据角平分线的性质判断A选项；再通过证明直角三角形全等判断C选项，接着进一步证明三角形全等判断B选项；最后验证D选项，发现无对应已知条件能证明其成立，即可选出错误的说法。
【解析】
解：
1. 判定A选项：
∵BG平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，故A选项正确，不符合题意；
2. 判定C选项：
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE=BF，故C选项正确，不符合题意；
3. 判定B选项：
在△BEH和△BFH中，
$\{\begin{array}{l}BE=BF\\ ∠ EBH=∠ FBH\\ BH=BH\end{array} $
∴△BEH≌△BFH（SAS），
∴EH=FH，故B选项正确，不符合题意；
4. 判定D选项：
题中未给出能够证明ED=DH的相关条件，无法推出ED=DH，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，逐一验证各选项即可得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件回忆相关定理：首先BG是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥BC，可先依据角平分线的性质判断A选项；再通过证明直角三角形全等判断C选项，接着进一步证明三角形全等判断B选项；最后验证D选项，发现无对应已知条件能证明其成立，即可选出错误的说法。
【解析】
解：
1. 判定A选项：
∵BG平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DF，故A选项正确，不符合题意；
2. 判定C选项：
在Rt△BDE和Rt△BDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），
∴BE=BF，故C选项正确，不符合题意；
3. 判定B选项：
在△BEH和△BFH中，
$\{\begin{array}{l}BE=BF\\ ∠ EBH=∠ FBH\\ BH=BH\end{array} $
∴△BEH≌△BFH（SAS），
∴EH=FH，故B选项正确，不符合题意；
4. 判定D选项：
题中未给出能够证明ED=DH的相关条件，无法推出ED=DH，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，逐一验证各选项即可得出结论。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$∠ MON=60°$，且$OP$平分$∠ MON$，$PA⊥ ON$于点$A$，点$Q$是射线$OM$上的一个动点，若$PA=4$，则$PQ$的最小值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.D
解析
【分析】
要找到PQ的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，OP是∠MON的角平分线，PA是点P到ON的距离，那么点P到OM的最短距离就等于PA的长度，即可求出PQ的最小值。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度取得最小值。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是先确定PQ取最小值的位置，再结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要找到PQ的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，OP是∠MON的角平分线，PA是点P到ON的距离，那么点P到OM的最短距离就等于PA的长度，即可求出PQ的最小值。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当PQ⊥OM时，PQ的长度取得最小值。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PQ=PA。
又
∵PA=4，
∴PQ的最小值为4。
【答案】
D
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题解题的关键是先确定PQ取最小值的位置，再结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
6.（长沙中考）如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD平分$∠ BAC$交BC于点D，$DE⊥ AB$，垂足为E，若$BC=4$，$DE=1.6$，则BD的长为
2.4
。答案
6.2.4
解析
【分析】
解题时首先梳理题干条件：已知AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可得DC=DE；再结合已知的BC长度，利用BD=BC-DC即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，得 DC = DE
∵DE=1.6
∴DC=1.6
又
∵BC=4
∴BD = BC - DC = 4 - 1.6 = 2.4
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，得到相等线段后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题干条件：已知AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可得DC=DE；再结合已知的BC长度，利用BD=BC-DC即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，得 DC = DE
∵DE=1.6
∴DC=1.6
又
∵BC=4
∴BD = BC - DC = 4 - 1.6 = 2.4
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，得到相等线段后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
7.如图，$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线交于点$E$，过点$E$作$EG⊥ BA$交$BA$的延长线于点$G$，$EF⊥ AC$交$AC$于点$F$.求证:$EG=EF$.
答案
7.证明:如图,过点 E 作$EH⊥BD$于点 H.
$\because BE$平分$∠ABC,EG⊥BA$,$EH⊥BD,\therefore EG=EH$,
$\because CE$平分$∠ACD,EF⊥AC$,$EH⊥CD$,
$\therefore EF=EH$,
$\therefore EG=EF.$
解析
【分析】
要证明EG=EF，可借助角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，找到与两条待证线段都相等的中间量。观察已知条件，E是∠ABC和∠ACD的角平分线交点，已知EG⊥BA、EF⊥AC，我们只需过E作BD的垂线EH，就能分别利用两次角平分线的性质，得到EG=EH、EF=EH，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：如图，过点E作$EH⊥BD$于点H。
∵BE平分$∠ABC$，$EG⊥BA$，$EH⊥BD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EH$，
∵CE平分$∠ACD$，$EF⊥AC$，$EH⊥CD$，同理可得$EF=EH$，
∴$EG=EF$（等量代换）。
【答案】
证明:如图,过点 E 作$EH⊥BD$于点 H.
$\because BE$平分$∠ABC,EG⊥BA$,$EH⊥BD,\therefore EG=EH$,
$\because CE$平分$∠ACD,EF⊥AC$,$EH⊥CD$,
$\therefore EF=EH$,
$\therefore EG=EF.$
【知识点】
角平分线的性质；等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是合理构造辅助线得到公共的中间线段EH，通过两次运用角平分线的性质完成线段的等量传递，熟练掌握角平分线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明EG=EF，可借助角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，找到与两条待证线段都相等的中间量。观察已知条件，E是∠ABC和∠ACD的角平分线交点，已知EG⊥BA、EF⊥AC，我们只需过E作BD的垂线EH，就能分别利用两次角平分线的性质，得到EG=EH、EF=EH，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：如图，过点E作$EH⊥BD$于点H。
∵BE平分$∠ABC$，$EG⊥BA$，$EH⊥BD$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$EG=EH$，
∵CE平分$∠ACD$，$EF⊥AC$，$EH⊥CD$，同理可得$EF=EH$，
∴$EG=EF$（等量代换）。
【答案】
证明:如图,过点 E 作$EH⊥BD$于点 H.
$\because BE$平分$∠ABC,EG⊥BA$,$EH⊥BD,\therefore EG=EH$,
$\because CE$平分$∠ACD,EF⊥AC$,$EH⊥CD$,
$\therefore EF=EH$,
$\therefore EG=EF.$
【知识点】
角平分线的性质；等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是合理构造辅助线得到公共的中间线段EH，通过两次运用角平分线的性质完成线段的等量传递，熟练掌握角平分线的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
