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8. 如图，直线$a,b,c$表示交叉的三条公路，现要建一货物中转站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的站址最多有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
8.A
解析
【分析】
要找到到三条公路（即三条直线）距离相等的点，需结合角平分线的性质和判定思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。三条公路两两相交构成三角形，我们分两种情况找符合条件的点：一是三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，分别计数后求和即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离都相等，满足选址要求；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线也交于一点，这类交点共有3个，每个点到三条公路的距离也都相等，同样满足选址要求。
因此符合条件的站址总共有$1+3=4$个。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定
【点评】
本题易出现的错误是只考虑三角形内部内角平分线的1个交点，忽略外部外角平分线的3个交点，解题时要全面思考所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到到三条公路（即三条直线）距离相等的点，需结合角平分线的性质和判定思考：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上。三条公路两两相交构成三角形，我们分两种情况找符合条件的点：一是三角形内部的内角平分线交点，二是三角形外部的外角平分线交点，分别计数后求和即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条直线两两相交形成三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离都相等，满足选址要求；
2. 三角形任意两个相邻外角的角平分线也交于一点，这类交点共有3个，每个点到三条公路的距离也都相等，同样满足选址要求。
因此符合条件的站址总共有$1+3=4$个。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质、角平分线的判定
【点评】
本题易出现的错误是只考虑三角形内部内角平分线的1个交点，忽略外部外角平分线的3个交点，解题时要全面思考所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在△ABC中,AB=9,AC=3,BC=7,点D在边BC上,点D到边AB,AC的距离相等,且AE=AC,则△BDE的周长等于 (
A.10
B.13
C.16
D.19
B
)A.10
B.13
C.16
D.19
答案
9.B
解析
【分析】
首先根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推出AD是∠BAC的角平分线；再结合已知条件AE=AC、公共边AD，可证明△ACD和△AED全等，得到对应边CD=DE、AC=AE；最后将△BDE的周长中的DE替换为CD，即可把周长转化为BC与BE的长度和，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点D到边AB、AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC，即$∠ CAD=∠ EAD$。
在$△ ACD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAD=∠ EAD \\AD=AD\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ AED$（SAS），
∴$CD=DE$，$AE=AC=3$。
∵$AB=9$，
∴$BE=AB-AE=9-3=6$。
$△ BDE$的周长为：
$C_{△ BDE}=DE+BD+BE$
将$DE=CD$代入，得：
$C_{△ BDE}=CD+BD+BE=BC+BE$
代入$BC=7$，$BE=6$，得：
$C_{△ BDE}=7+6=13$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线判定得到等角，进而证明三角形全等，将未知边转化为已知边长，体现了几何题中常用的转化思想，能较好地考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推出AD是∠BAC的角平分线；再结合已知条件AE=AC、公共边AD，可证明△ACD和△AED全等，得到对应边CD=DE、AC=AE；最后将△BDE的周长中的DE替换为CD，即可把周长转化为BC与BE的长度和，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点D到边AB、AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC，即$∠ CAD=∠ EAD$。
在$△ ACD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAD=∠ EAD \\AD=AD\end{cases}$
∴$△ ACD≌△ AED$（SAS），
∴$CD=DE$，$AE=AC=3$。
∵$AB=9$，
∴$BE=AB-AE=9-3=6$。
$△ BDE$的周长为：
$C_{△ BDE}=DE+BD+BE$
将$DE=CD$代入，得：
$C_{△ BDE}=CD+BD+BE=BC+BE$
代入$BC=7$，$BE=6$，得：
$C_{△ BDE}=7+6=13$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题解题核心是利用角平分线判定得到等角，进而证明三角形全等，将未知边转化为已知边长，体现了几何题中常用的转化思想，能较好地考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=50°$，点$D$在$△ ABC$的外部，且$AD$平分$∠ BAC$，过点$D$作$DE ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$E$，$DF ⊥ BC$于点$F$，连接$BD$。若$∠ BCE=104°$，$DE=DF$，则$∠ DBC$的度数为
63°
。答案
10.63°
解析
【分析】
解题思路可分三步推进：①先利用平角定义和三角形内角和定理，算出△ABC中∠ABC的度数，得到它的邻补角（即∠ABC的外角）的度数；②结合已知条件DE⊥AC、DF⊥BC且DE=DF，根据角平分线的判定可得D在∠BCE的平分线上；再结合AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，可知D到AB、AC的距离等于DE，进而推出D到AB、BC的距离相等，因此BD平分∠ABC的外角；③最后根据角平分线的定义，将∠ABC的外角平分即可得到∠DBC的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∵∠BCE与∠ACB组成平角，∠BCE=104°，
∴∠ACB=180°-∠BCE=180°-104°=76°。
2. 计算∠ABC的度数：
在△ABC中，∠CAB=50°，∠ACB=76°，根据三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-50°-76°=54°，
则∠ABC的邻补角（即AB延长线与BC形成的外角）为：180°-54°=126°。
3. 证明BD平分∠ABC的外角：
过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DG⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴DE=DG。
又
∵已知DE=DF，DF⊥BC，
∴DG=DF，且DG⊥AB，DF⊥BC，根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴点D在∠ABC外角的角平分线上，即BD平分该外角。
4. 计算∠DBC的度数：
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$×126°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与性质的典型综合应用题，解题的突破口是通过作辅助线DG⊥AB，结合已知的距离相等的条件，推出BD为∠ABC外角的角平分线，解题过程中需要熟练结合平角、三角形内角和的性质计算角度。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步推进：①先利用平角定义和三角形内角和定理，算出△ABC中∠ABC的度数，得到它的邻补角（即∠ABC的外角）的度数；②结合已知条件DE⊥AC、DF⊥BC且DE=DF，根据角平分线的判定可得D在∠BCE的平分线上；再结合AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，可知D到AB、AC的距离等于DE，进而推出D到AB、BC的距离相等，因此BD平分∠ABC的外角；③最后根据角平分线的定义，将∠ABC的外角平分即可得到∠DBC的度数。
【解析】
1. 计算∠ACB的度数：
∵∠BCE与∠ACB组成平角，∠BCE=104°，
∴∠ACB=180°-∠BCE=180°-104°=76°。
2. 计算∠ABC的度数：
在△ABC中，∠CAB=50°，∠ACB=76°，根据三角形内角和为180°，
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-50°-76°=54°，
则∠ABC的邻补角（即AB延长线与BC形成的外角）为：180°-54°=126°。
3. 证明BD平分∠ABC的外角：
过点D作DG⊥AB，交AB的延长线于点G。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DG⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴DE=DG。
又
∵已知DE=DF，DF⊥BC，
∴DG=DF，且DG⊥AB，DF⊥BC，根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴点D在∠ABC外角的角平分线上，即BD平分该外角。
4. 计算∠DBC的度数：
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$×126°=63°。
【答案】
63°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线判定与性质的典型综合应用题，解题的突破口是通过作辅助线DG⊥AB，结合已知的距离相等的条件，推出BD为∠ABC外角的角平分线，解题过程中需要熟练结合平角、三角形内角和的性质计算角度。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$BE$,$CF$是$△ ABC$的角平分线,它们相交于点$I$.
(1)如图1,连接$AI$,求证:点$I$在$∠ BAC$的平分线上;
(2)如图2,延长$AI$交$BC$于点$D$,过点$F$作$FT ⊥ BC$于点$T$,$FL ⊥ AD$于点$L$.求证:$FT=FL$.
(1)如图1,连接$AI$,求证:点$I$在$∠ BAC$的平分线上;
(2)如图2,延长$AI$交$BC$于点$D$,过点$F$作$FT ⊥ BC$于点$T$,$FL ⊥ AD$于点$L$.求证:$FT=FL$.
答案
11.证明:(1)如图1,过点 $I$ 作 $AB,AC,BC$ 的垂线段,垂足分别为 $M,N,K$
.$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore IK=IM,IK=IN. \therefore IN=IM.$
$\therefore$ 点 $I$ 在$∠ BAC$ 的角平分线上.
(2)如图2,过点 $F$ 作 $AC$ 的垂线段,交 $CA$ 的延长线于点 $G$
.$\because CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$FT⊥ BC,FG⊥ CA$,
$\therefore FT=FG.$
$\because∠ BAC=120°,\therefore∠ GAF=60°.$
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°.$
$\therefore∠ BAD=∠ GAF. \therefore FL=FG.$
$\therefore FT=FL.$
解析
【分析】
（1）要证明点I在∠BAC的平分线上，需用到角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此我们过点I作AB、AC、BC三边的垂线，结合BE、CF是角平分线，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推出点I到AB、AC的距离相等，即可得证。
（2）要证明FT=FL，可通过中间量等量代换证明：首先CF是角平分线，因此点F到BC和AC的距离相等，故过F作CA延长线的垂线FG，可得FT=FG；接下来只需证明FL=FG，即证明AF是∠GAD的角平分线，结合∠BAC=120°先算出邻补角∠GAF=60°，再由AD平分∠BAC得∠BAD=60°，可证AF平分∠GAD，利用角平分线的性质得FL=FG，最终代换得到结论。
【解析】
(1) 如图1，过点$I$作$AB,AC,BC$的垂线段，垂足分别为$M,N,K$。
$\because BE,CF$是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore IK=IM$，$IK=IN$，
$\therefore IM=IN$。
根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
$\therefore$ 点$I$在$∠ BAC$的角平分线上。
(2) 如图2，过点$F$作$AC$的垂线段，交$CA$的延长线于点$G$。
$\because CF$是$△ ABC$的角平分线，$FT⊥ BC$，$FG⊥ CA$，
根据角平分线的性质，$\therefore FT=FG$。
$\because∠ BAC=120°$，$∠ GAF$是$∠ BAC$的邻补角，
$\therefore∠ GAF=180°-120°=60°$。
由(1)知$AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\therefore∠ BAD=∠ GAF$，即$AF$平分$∠ GAD$。
又$\because FL⊥ AD$，$FG⊥ AG$，根据角平分线的性质，
$\therefore FL=FG$。
结合$FT=FG$，通过等量代换可得：
$\therefore FT=FL$。
【答案】
11.证明:(1)如图1,过点 $I$ 作 $AB,AC,BC$ 的垂线段,垂足分别为 $M,N,K$.
$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore IK=IM,IK=IN. \therefore IN=IM.$
$\therefore$ 点 $I$ 在$∠ BAC$ 的角平分线上.
(2)如图2,过点 $F$ 作 $AC$ 的垂线段,交 $CA$ 的延长线于点 $G$.
$\because CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$FT⊥ BC,FG⊥ CA$,
$\therefore FT=FG.$
$\because∠ BAC=120°,\therefore∠ GAF=60°.$
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°.$
$\therefore∠ BAD=∠ GAF. \therefore FL=FG.$
$\therefore FT=FL.$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
3. 邻补角的定义
【点评】
本题是角平分线相关定理的基础综合应用题，解题核心是根据待证结论合理构造辅助线（点到角两边的垂线段），结合角平分线的性质和判定完成线段等量关系的推导，能有效训练学生的几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明点I在∠BAC的平分线上，需用到角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。因此我们过点I作AB、AC、BC三边的垂线，结合BE、CF是角平分线，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推出点I到AB、AC的距离相等，即可得证。
（2）要证明FT=FL，可通过中间量等量代换证明：首先CF是角平分线，因此点F到BC和AC的距离相等，故过F作CA延长线的垂线FG，可得FT=FG；接下来只需证明FL=FG，即证明AF是∠GAD的角平分线，结合∠BAC=120°先算出邻补角∠GAF=60°，再由AD平分∠BAC得∠BAD=60°，可证AF平分∠GAD，利用角平分线的性质得FL=FG，最终代换得到结论。
【解析】
(1) 如图1，过点$I$作$AB,AC,BC$的垂线段，垂足分别为$M,N,K$
。$\because BE,CF$是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore IK=IM$，$IK=IN$，
$\therefore IM=IN$。
根据角平分线的判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
$\therefore$ 点$I$在$∠ BAC$的角平分线上。
(2) 如图2，过点$F$作$AC$的垂线段，交$CA$的延长线于点$G$
。$\because CF$是$△ ABC$的角平分线，$FT⊥ BC$，$FG⊥ CA$，
根据角平分线的性质，$\therefore FT=FG$。
$\because∠ BAC=120°$，$∠ GAF$是$∠ BAC$的邻补角，
$\therefore∠ GAF=180°-120°=60°$。
由(1)知$AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\therefore∠ BAD=∠ GAF$，即$AF$平分$∠ GAD$。
又$\because FL⊥ AD$，$FG⊥ AG$，根据角平分线的性质，
$\therefore FL=FG$。
结合$FT=FG$，通过等量代换可得：
$\therefore FT=FL$。
【答案】
11.证明:(1)如图1,过点 $I$ 作 $AB,AC,BC$ 的垂线段,垂足分别为 $M,N,K$
.$\because BE,CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore IK=IM,IK=IN. \therefore IN=IM.$
$\therefore$ 点 $I$ 在$∠ BAC$ 的角平分线上.
(2)如图2,过点 $F$ 作 $AC$ 的垂线段,交 $CA$ 的延长线于点 $G$
.$\because CF$ 是$△ ABC$ 的角平分线,$FT⊥ BC,FG⊥ CA$,
$\therefore FT=FG.$
$\because∠ BAC=120°,\therefore∠ GAF=60°.$
$\because AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线，
$\therefore∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°.$
$\therefore∠ BAD=∠ GAF. \therefore FL=FG.$
$\therefore FT=FL.$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 角平分线的判定
3. 邻补角的定义
【点评】
本题是角平分线相关定理的基础综合应用题，解题核心是根据待证结论合理构造辅助线（点到角两边的垂线段），结合角平分线的性质和判定完成线段等量关系的推导，能有效训练学生的几何逻辑思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:
(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
答案
12.证明:(1)过点 $O$ 作 $OE⊥ AC$ 于点 $E$.
$\because∠ B=90°,AO$ 平分$∠ BAC,\therefore OB=OE.$
$\because$ 点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=OD. \therefore OE=OD.$
又$∠ D=90°,\therefore CO$ 平分$∠ ACD.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中，$\begin{cases} AO=AO, \\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AOB=∠ AOE.$
同理可得$∠ COD=∠ COE.$
$\therefore∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$\therefore OA⊥ OC.$
(3)$\because\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO,\therefore AB=AE.$
同理可得 $CD=CE.$
$\therefore AB+CD=AE+CE=AC.$
$\because∠ B=90°,AO$ 平分$∠ BAC,\therefore OB=OE.$
$\because$ 点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=OD. \therefore OE=OD.$
又$∠ D=90°,\therefore CO$ 平分$∠ ACD.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中，$\begin{cases} AO=AO, \\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AOB=∠ AOE.$
同理可得$∠ COD=∠ COE.$
$\therefore∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$\therefore OA⊥ OC.$
(3)$\because\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO,\therefore AB=AE.$
同理可得 $CD=CE.$
$\therefore AB+CD=AE+CE=AC.$
解析
【分析】
1. 证CO平分∠ACD：根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AC和CD的距离相等。我们可以过O作OE⊥AC于E，先利用角平分线的性质得到OB=OE，再结合O是BD中点的条件推出OE=OD，即可证明CO平分∠ACD。
2. 证OA⊥OC：只需证明∠AOC=90°，通过证明Rt△ABO和Rt△AEO全等得到∠AOB=∠AOE，同理可得∠COD=∠COE，四个角的和为平角180°，因此∠AOC是180°的一半，即90°，可得垂直关系。
3. 证AB+CD=AC：利用全等三角形对应边相等的性质，可得AB=AE、CD=CE，而AE与CE的和就是AC，代入即可推出结论。
【解析】
(1) 过点 $O$ 作 $OE⊥ AC$ 于点 $E$.
$\because∠ B=90°,AO$ 平分$∠ BAC,\therefore OB=OE.$
$\because$ 点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=OD. \therefore OE=OD.$
又$\because ∠ D=90°,\therefore CO$ 平分$∠ ACD.$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中，$\begin{cases} AO=AO, \\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AOB=∠ AOE.$
同理可得$∠ COD=∠ COE.$
$\therefore∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$\therefore OA⊥ OC.$
(3) $\because\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO,\therefore AB=AE.$
同理可得 $CD=CE.$
$\therefore AB+CD=AE+CE=AC.$
【答案】
(1) CO平分∠ACD得证；(2) OA⊥OC得证；(3) AB+CD=AC得证。
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的综合应用题，作垂直于角两边的辅助线是解题的突破口，该类辅助线可以快速构造全等三角形，帮助我们完成角平分线、垂直关系、线段和差的证明，是几何证明中非常常用的技巧。
【难度系数】
0.7
1. 证CO平分∠ACD：根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AC和CD的距离相等。我们可以过O作OE⊥AC于E，先利用角平分线的性质得到OB=OE，再结合O是BD中点的条件推出OE=OD，即可证明CO平分∠ACD。
2. 证OA⊥OC：只需证明∠AOC=90°，通过证明Rt△ABO和Rt△AEO全等得到∠AOB=∠AOE，同理可得∠COD=∠COE，四个角的和为平角180°，因此∠AOC是180°的一半，即90°，可得垂直关系。
3. 证AB+CD=AC：利用全等三角形对应边相等的性质，可得AB=AE、CD=CE，而AE与CE的和就是AC，代入即可推出结论。
【解析】
(1) 过点 $O$ 作 $OE⊥ AC$ 于点 $E$.
$\because∠ B=90°,AO$ 平分$∠ BAC,\therefore OB=OE.$
$\because$ 点 $O$ 为 $BD$ 的中点,$\therefore OB=OD. \therefore OE=OD.$
又$\because ∠ D=90°,\therefore CO$ 平分$∠ ACD.$
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABO$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEO$ 中，$\begin{cases} AO=AO, \\ OB=OE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}).$
$\therefore∠ AOB=∠ AOE.$
同理可得$∠ COD=∠ COE.$
$\therefore∠ AOC=∠ AOE+∠ COE=\frac{1}{2}×180°=90°.$
$\therefore OA⊥ OC.$
(3) $\because\mathrm{Rt}△ ABO≌\mathrm{Rt}△ AEO,\therefore AB=AE.$
同理可得 $CD=CE.$
$\therefore AB+CD=AE+CE=AC.$
【答案】
(1) CO平分∠ACD得证；(2) OA⊥OC得证；(3) AB+CD=AC得证。
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线相关知识的综合应用题，作垂直于角两边的辅助线是解题的突破口，该类辅助线可以快速构造全等三角形，帮助我们完成角平分线、垂直关系、线段和差的证明，是几何证明中非常常用的技巧。
【难度系数】
0.7
