1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=4$，$BC=5$，$BD$是边$AC$的中线，求$BD$的取值范围。

1. 解:延长 BD 至点 E,使得 DE=BD,连接 CE.
∵BD 是边 AC 的中线,
∴CD=AD.
在△CDE 和△ADB 中,$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠CDE=∠ADB, \\ DE=DB, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADB(SAS).
∴CE=AB=4.
∵BC−CE＜BE＜BC+CE,
∴5−4＜BE＜5+4.
∴1＜2BD＜9,
即 0.5＜BD＜4.5.

【分析】
本题要求中线BD的取值范围，已知AB、BC的长度，但三条线段不在同一三角形中，无法直接应用三角形三边关系求解。此时可采用中线倍长的辅助线思路：延长BD至点E使DE=BD，结合BD是AC中线的条件，构造全等三角形，将AB转化为CE，使BC、CE、BE都在△BCE中，再利用三角形三边关系列不等式，即可求出BD的取值范围。
【解析】
延长BD至点E，使得DE=BD，连接CE。
∵BD是边AC的中线，
∴CD=AD。
在△CDE和△ADB中，
$\begin{cases} CD=AD, \\ ∠CDE=∠ADB, \\ DE=DB, \end{cases}$
∴△CDE≌△ADB（SAS）。
∴CE=AB=4。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得$BC-CE＜ BE＜ BC+CE$，
代入数值得$5-4＜ BE＜ 5+4$，即$1＜ BE＜ 9$。
又
∵$BE=BD+DE=2BD$，
∴$1＜ 2BD＜ 9$，
解得$0.5＜ BD＜ 4.5$。
【答案】
$0.5＜ BD＜ 4.5$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；中线的性质
【点评】
本题是中线倍长构造全等三角形的典型题型，核心是通过构造全等将分散的边长条件集中到同一个三角形中，再利用三边关系求解，中线倍长是解决含中线的几何问题的常用辅助线技巧，要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

2.如图，$AB=AE$，$AB⊥ AE$，$AD=AC$，$AD⊥ AC$，点$M$为$BC$的中点，求证：$DE=2AM$.

2. 证明:延长 AM 至点 F,
使得 MF=AM,连接 BF.
∴AF=2AM.
∵点 M 为 BC 的中点,
∴BM=CM.
在△BMF 和△CMA 中,$\begin{cases} BM=CM, \\ ∠BMF=∠CMA, \\ MF=MA, \end{cases}$
∴△BMF≌△CMA(SAS).
∴BF=AC,∠MBF=∠C.
∴BF//AC.
∴∠ABF+∠BAC=180°.
∵AD=AC,
∴AD=BF.
∵AD⊥AC,AB⊥AE,
∴∠BAC+∠EAD=180°.
∴∠ABF=∠EAD.
在△ABF 和△EAD 中,$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABF=∠EAD, \\ BF=AD, \end{cases}$
∴△ABF≌△EAD(SAS).
∴AF=ED.
∴DE=2AM.

【分析】
要证明DE=2AM这类线段倍半关系，可采用“倍长中线法”转化问题：①已知M是BC中点，AM是△ABC的中线，因此延长AM到F使MF=AM，即可得到AF=2AM，后续只需证明AF=DE即可；②先通过SAS证明△BMF和△CMA全等，得到BF=AC及角的关系，推出BF//AC，可得∠ABF与∠BAC互补；③结合已知AD=AC，可推得BF=AD，再由AB⊥AE、AD⊥AC，可推出∠EAD与∠BAC也互补，由此得到∠ABF=∠EAD；④最后结合AB=AE的条件，用SAS证明△ABF和△EAD全等，即可得到AF=DE，从而推导出待证结论。
【解析】
证明：延长AM至点F，使得MF=AM，连接BF。
∴AF=2AM。
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM。
在△BMF和△CMA中，
$\begin{cases} BM=CM, \\ ∠BMF=∠CMA, \\ MF=MA, \end{cases}$
∴△BMF≌△CMA（SAS）。
∴BF=AC，∠MBF=∠C。
∴BF//AC。
∴∠ABF+∠BAC=180°。
∵AD=AC，
∴AD=BF。
∵AD⊥AC，AB⊥AE，
∴∠BAC+∠EAD=180°。
∴∠ABF=∠EAD。
在△ABF和△EAD中，
$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABF=∠EAD, \\ BF=AD, \end{cases}$
∴△ABF≌△EAD（SAS）。
∴AF=ED。
∴DE=2AM。
【答案】
DE=2AM
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，重点考察倍长中线辅助线的使用方法，当题干中出现中点、中线以及线段倍分关系时，可优先考虑用倍长中线法转化线段和角的关系，再结合已知条件证明三角形全等，即可推导得到待证结论。
【难度系数】
0.6

3.如图,在四边形ABDE中,AB//DE,C是BD边的中点.若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,猜想线段AE,AB,DE的长度满足的数量关系,并证明.
思路一(截长法):在AE上截取AF=AB,连接CF.

思路二(补短法):延长ED到点M,使得DM=AB,连接CM.

3. 解:AE=AB+DE. 证明如下:
∵AC 平分∠BAE,
∴∠BAC=∠FAC.
在△ACB 和△ACF 中,$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠BAC=∠FAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACB≌△ACF(SAS).
∴BC=FC,∠ACB=∠ACF.
∵C 是 BD 边的中点,
∴BC=CD,
∴CF=CD.
∵∠ACE=90°,
∴∠ACB+∠DCE=90°,∠ACF+∠ECF=90°,
∴∠ECF=∠ECD.
在△CEF 和△CED 中,$\begin{cases} CF=CD, \\ ∠ECF=∠ECD, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△CEF≌△CED(SAS).
∴EF=ED.
∵AE=AF+EF,
∴AE=AB+DE.
思路二:解:AE=AB+DE. 证明如下:
∵ED//AB,
∴∠B=∠CDM.
又
∵点 C 是 BD 的中点,
∴BC=DC.
在△ABC 和△MDC 中,$\begin{cases} AB=MD, \\ ∠B=∠CDM, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△ABC≌△MDC(SAS).
∴AC=MC,∠ACB=∠MCD.
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠MCD+∠ACD=180°,
∴点 A,C,M 在同一直线上.
∵∠ACE=90°,
∴∠MCE=90°.
在△AEC 和△MEC 中,$\begin{cases} AC=MC, \\ ∠ACE=∠MCE, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴△AEC≌△MEC(SAS).
∴AE=ME.
又
∵EM=DE+DM=DE+AB,
∴AE=DE+AB.

【分析】
要探究AE、AB、DE三条线段的数量关系，这类线段和差问题通常采用截长补短法构造全等三角形解决。题目已给出两种思路：①截长法：在较长线段AE上截取AF=AB，先利用角平分线定义、公共边AC证明△ACB≌△ACF，得到BC=CF，结合C是BD中点的条件可得CF=CD；再利用∠ACE=90°推导角相等，证明△CEF≌△CED，得到EF=DE，即可推导出三条线段的关系。②补短法：延长ED到M使DM=AB，先利用AB//DE得到内错角相等，结合中点条件证明△ABC≌△MDC，得到AC=MC且A、C、M共线，再利用∠ACE=90°证明△AEC≌△MEC，得到AE=ME，即可推出结论。
【解析】
猜想：$AE=AB+DE$，证明如下：
方法一：截长法
在AE上截取$AF=AB$，连接CF。
∵AC平分$∠BAE$，
∴$∠BAC=∠FAC$。
在$△ ACB$和$△ ACF$中：
$\begin{cases} AB=AF \\ ∠BAC=∠FAC \\ AC=AC \end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
∴$BC=FC$，$∠ACB=∠ACF$。
∵C是BD边的中点，
∴$BC=CD$，
∴$CF=CD$。
∵$∠ACE=90°$，
∴$∠ACB+∠DCE=180°-∠ACE=90°$，$∠ACF+∠ECF=∠ACE=90°$，
∴$∠ECF=∠ECD$。
在$△ CEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases} CF=CD \\ ∠ECF=∠ECD \\ CE=CE \end{cases}$
∴$△ CEF≌△ CED(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=ED$。
∵$AE=AF+EF$，
∴$AE=AB+DE$。
方法二：补短法
延长ED到点M，使得$DM=AB$，连接CM。
∵$AB// DE$，
∴$∠B=∠CDM$。
∵点C是BD的中点，
∴$BC=DC$。
在$△ ABC$和$△ MDC$中：
$\begin{cases} AB=MD \\ ∠B=∠CDM \\ BC=DC \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ MDC(\mathrm{SAS})$，
∴$AC=MC$，$∠ACB=∠MCD$。
∵$∠ACB+∠ACD=180°$，
∴$∠MCD+∠ACD=180°$，即A、C、M三点共线。
∵$∠ACE=90°$，
∴$∠MCE=∠ACE=90°$。
在$△ AEC$和$△ MEC$中：
$\begin{cases} AC=MC \\ ∠ACE=∠MCE \\ CE=CE \end{cases}$
∴$△ AEC≌△ MEC(\mathrm{SAS})$，
∴$AE=ME$。
∵$ME=DE+DM=DE+AB$，
∴$AE=AB+DE$。
【答案】
$AE=AB+DE$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段和差问题的典型习题，核心思路是通过截长或补短的辅助线，将分散的三条线段转化到同一条线段上，结合角平分线、中点、垂直等已知条件推导边、角的等量关系，进而证明全等得到线段关系，对辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7