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4. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°,BC的延长线交DE于点F.
(1)求证:EF=DF;
(2)求证:S△ABC=S△DCE.
(1)求证:EF=DF;
(2)求证:S△ABC=S△DCE.
答案
4. 证明:(1)过点 E 作 EG⊥BF,交 BF 的延长线于点 G,则∠CGE=∠ABC=90°.
∵∠ACE=90°,
∴∠ACB+∠ECG=90°.
∵∠ACB+∠BAC=90°.
∴∠ECG=∠CAB.
在△ABC 和△CGE 中,$\begin{cases} ∠CAB=∠ECG, \\ ∠ABC=∠CGE, \\ AC=CE, \end{cases}$
∴△ABC≌△CGE(AAS).
∴BC=EG.
∵BC=CD,
∴EG=CD.
∵∠BCD=90°,
∴∠DCF=90°=∠EGF.
在△CFD 和△GFE 中,$\begin{cases} ∠DCF=∠EGF, \\ ∠CFD=∠GFE, \\ CD=GE, \end{cases}$
∴△CFD≌△GFE(AAS).
∴EF=DF.
(2)
∵△CFD≌△GFE,
∴$S_{△CFD}=S_{△GFE}$.
∴$S_{△CFD}+S_{△CFE}=S_{△GFE}+S_{△CFE}$,
即 $S_{△DCE}=S_{△CGE}$.
∵△ABC≌△CGE,
∴$S_{△ABC}=S_{△CGE}$.
∴$S_{△ABC}=S_{△DCE}$.
∵∠ACE=90°,
∴∠ACB+∠ECG=90°.
∵∠ACB+∠BAC=90°.
∴∠ECG=∠CAB.
在△ABC 和△CGE 中,$\begin{cases} ∠CAB=∠ECG, \\ ∠ABC=∠CGE, \\ AC=CE, \end{cases}$
∴△ABC≌△CGE(AAS).
∴BC=EG.
∵BC=CD,
∴EG=CD.
∵∠BCD=90°,
∴∠DCF=90°=∠EGF.
在△CFD 和△GFE 中,$\begin{cases} ∠DCF=∠EGF, \\ ∠CFD=∠GFE, \\ CD=GE, \end{cases}$
∴△CFD≌△GFE(AAS).
∴EF=DF.
(2)
∵△CFD≌△GFE,
∴$S_{△CFD}=S_{△GFE}$.
∴$S_{△CFD}+S_{△CFE}=S_{△GFE}+S_{△CFE}$,
即 $S_{△DCE}=S_{△CGE}$.
∵△ABC≌△CGE,
∴$S_{△ABC}=S_{△CGE}$.
∴$S_{△ABC}=S_{△DCE}$.
解析
【分析】
(1)要证明EF=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导，现有图形无直接全等的三角形，因此作辅助线：过点E作EG⊥BF交BF的延长线于G。首先利用同角的余角相等得到∠ECG=∠CAB，结合已知条件证明△ABC≌△CGE，得到BC=EG，再由BC=CD得EG=CD，最后证明△CFD≌△GFE，即可推出EF=DF。
(2)要证明两个三角形面积相等，可借助全等三角形面积相等的性质推导：由△CFD≌△GFE得二者面积相等，给两个面积同时加上公共部分△CFE的面积，可得S△DCE=S△CGE，再结合△ABC≌△CGE、二者面积相等，即可推出结论。
【解析】
(1)过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G，则∠CGE=∠ABC=90°。
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECG=90°。
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECG=∠CAB。
在△ABC和△CGE中，
$\begin{cases} ∠CAB=∠ECG, \\ ∠ABC=∠CGE, \\ AC=CE, \end{cases}$
∴△ABC≌△CGE(AAS)，
∴BC=EG。
∵BC=CD，
∴EG=CD。
∵∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°=∠EGF。
在△CFD和△GFE中，
$\begin{cases} ∠DCF=∠EGF, \\ ∠CFD=∠GFE, \\ CD=GE, \end{cases}$
∴△CFD≌△GFE(AAS)，
∴EF=DF。
(2)
∵△CFD≌△GFE，
∴$S_{△CFD}=S_{△GFE}$，
∴$S_{△CFD}+S_{△CFE}=S_{△GFE}+S_{△CFE}$，
即$S_{△DCE}=S_{△CGE}$。
∵△ABC≌△CGE，
∴$S_{△ABC}=S_{△CGE}$，
∴$S_{△ABC}=S_{△DCE}$。
【答案】
(1)EF=DF，证明成立；
(2)$S_{△ABC}=S_{△DCE}$，证明成立。
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，面积和差计算
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，解题核心是根据图形特征作垂线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质推导线段相等和面积关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
(1)要证明EF=DF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导，现有图形无直接全等的三角形，因此作辅助线：过点E作EG⊥BF交BF的延长线于G。首先利用同角的余角相等得到∠ECG=∠CAB，结合已知条件证明△ABC≌△CGE，得到BC=EG，再由BC=CD得EG=CD，最后证明△CFD≌△GFE，即可推出EF=DF。
(2)要证明两个三角形面积相等，可借助全等三角形面积相等的性质推导：由△CFD≌△GFE得二者面积相等，给两个面积同时加上公共部分△CFE的面积，可得S△DCE=S△CGE，再结合△ABC≌△CGE、二者面积相等，即可推出结论。
【解析】
(1)过点E作EG⊥BF，交BF的延长线于点G，则∠CGE=∠ABC=90°。
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECG=90°。
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECG=∠CAB。
在△ABC和△CGE中，
$\begin{cases} ∠CAB=∠ECG, \\ ∠ABC=∠CGE, \\ AC=CE, \end{cases}$
∴△ABC≌△CGE(AAS)，
∴BC=EG。
∵BC=CD，
∴EG=CD。
∵∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°=∠EGF。
在△CFD和△GFE中，
$\begin{cases} ∠DCF=∠EGF, \\ ∠CFD=∠GFE, \\ CD=GE, \end{cases}$
∴△CFD≌△GFE(AAS)，
∴EF=DF。
(2)
∵△CFD≌△GFE，
∴$S_{△CFD}=S_{△GFE}$，
∴$S_{△CFD}+S_{△CFE}=S_{△GFE}+S_{△CFE}$，
即$S_{△DCE}=S_{△CGE}$。
∵△ABC≌△CGE，
∴$S_{△ABC}=S_{△CGE}$，
∴$S_{△ABC}=S_{△DCE}$。
【答案】
(1)EF=DF，证明成立；
(2)$S_{△ABC}=S_{△DCE}$，证明成立。
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，面积和差计算
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，解题核心是根据图形特征作垂线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质推导线段相等和面积关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知$∠ AOB=90°$，$OM$是$∠ AOB$的平分线，三角尺的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动，两直角边分别与$OA$，$OB$交于点$C$，$D$。求证：$PC=PD$。
答案
5. 证明:过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F,
∴∠PEC=∠PFD=∠PEO=90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线,
∴∠POE=∠POF.
在△POE 和△POF 中,$\begin{cases} ∠PEO=∠PFO, \\ ∠POE=∠POF, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△POE≌△POF(AAS).
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,
∴∠PCE+∠PDO=360°−90°−90°=180°.
∵∠PDO+∠PDF=180°,
∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE 和△PDF 中,$\begin{cases} ∠PCE=∠PDF, \\ ∠PEC=∠PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(AAS).
∴PC=PD.
∴∠PEC=∠PFD=∠PEO=90°.
∵OM 是∠AOB 的平分线,
∴∠POE=∠POF.
在△POE 和△POF 中,$\begin{cases} ∠PEO=∠PFO, \\ ∠POE=∠POF, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△POE≌△POF(AAS).
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°,∠CPD=90°,
∴∠PCE+∠PDO=360°−90°−90°=180°.
∵∠PDO+∠PDF=180°,
∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE 和△PDF 中,$\begin{cases} ∠PCE=∠PDF, \\ ∠PEC=∠PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(AAS).
∴PC=PD.
解析
【分析】
要证明PC=PD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。本题中PC和PD没有直接对应的全等三角形，结合已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点P向OA、OB作垂线构造相等的垂线段，以此为基础构造包含PC、PD的全等三角形。首先证明点P到两边的垂线段相等，再结合已知的直角条件，利用四边形内角和与邻补角的性质得到一组对应角相等，即可证明PC、PD所在的三角形全等，进而得到PC=PD。
【解析】
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC=∠PFD=∠PEO=90°。
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠POE=∠POF。
在△POE和△POF中，
$\begin{cases} ∠PEO=∠PFO, \\ ∠POE=∠POF, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴PE=PF。
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°−90°−90°=180°。
∵∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF。
在△PCE和△PDF中，
$\begin{cases} ∠PCE=∠PDF, \\ ∠PEC=∠PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(AAS)，
∴PC=PD。
【答案】
PC=PD
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；邻补角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心是利用角平分线的性质作垂直辅助线得到相等线段，再通过角的等量代换找到全等条件，熟练掌握角平分线相关的辅助线做法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明PC=PD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。本题中PC和PD没有直接对应的全等三角形，结合已知OM是∠AOB的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点P向OA、OB作垂线构造相等的垂线段，以此为基础构造包含PC、PD的全等三角形。首先证明点P到两边的垂线段相等，再结合已知的直角条件，利用四边形内角和与邻补角的性质得到一组对应角相等，即可证明PC、PD所在的三角形全等，进而得到PC=PD。
【解析】
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC=∠PFD=∠PEO=90°。
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠POE=∠POF。
在△POE和△POF中，
$\begin{cases} ∠PEO=∠PFO, \\ ∠POE=∠POF, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△POE≌△POF(AAS)，
∴PE=PF。
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°−90°−90°=180°。
∵∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF。
在△PCE和△PDF中，
$\begin{cases} ∠PCE=∠PDF, \\ ∠PEC=∠PFD, \\ PE=PF, \end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(AAS)，
∴PC=PD。
【答案】
PC=PD
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；邻补角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心是利用角平分线的性质作垂直辅助线得到相等线段，再通过角的等量代换找到全等条件，熟练掌握角平分线相关的辅助线做法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
