登录
1. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点上，则△ABC的重心是 （
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
1.A
解析
【分析】
要确定△ABC的重心，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需找到△ABC任意两条中线的交点，再和已知点对应即可。首先我们可以利用网格特点，先找到BC边的中点，画出BC边上的中线；再找到AB边的中点，画出AB边上的中线，两条中线的交点就是所求的重心。
【解析】
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 观察网格中BC边的位置，BC在水平格线上，先找到BC边的中点，连接点A与BC的中点，得到BC边上的中线；
2. 再找到AB边的中点，连接点C与AB的中点，得到AB边上的中线；
3. 观察两条中线的交点，恰好与点D重合，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义，三角形中线的概念
【点评】
本题主要考查三角形重心的相关知识，解题核心是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格的格点特征可以快速确定中线的位置，进而找到重心，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC的重心，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此只需找到△ABC任意两条中线的交点，再和已知点对应即可。首先我们可以利用网格特点，先找到BC边的中点，画出BC边上的中线；再找到AB边的中点，画出AB边上的中线，两条中线的交点就是所求的重心。
【解析】
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 观察网格中BC边的位置，BC在水平格线上，先找到BC边的中点，连接点A与BC的中点，得到BC边上的中线；
2. 再找到AB边的中点，连接点C与AB的中点，得到AB边上的中线；
3. 观察两条中线的交点，恰好与点D重合，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心定义，三角形中线的概念
【点评】
本题主要考查三角形重心的相关知识，解题核心是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格的格点特征可以快速确定中线的位置，进而找到重心，解题难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如图，点O是正方形ABCD的重心，则OA，OB，OC，OD之间的数量关系是
OA=OB=OC=OD
.答案
2.OA=OB=OC=OD
解析
【分析】
解题时首先明确：匀质正方形的重心是其两条对角线的交点，即图中的点O；接下来回忆正方形对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，根据该性质可推出对角线被交点分成的四条线段长度相等，即可得到OA、OB、OC、OD的数量关系。
【解析】
∵ 点O是匀质正方形ABCD的重心，
∴ 点O是正方形ABCD对角线AC与BD的交点，
又
∵ 正方形的对角线互相平分且相等，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$。
【答案】
$OA=OB=OC=OD$
【知识点】
1.正方形的性质 2.重心的确定
【点评】
本题属于基础题，结合重心的定义考查正方形的性质，熟练掌握正方形对角线相等且互相平分的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：匀质正方形的重心是其两条对角线的交点，即图中的点O；接下来回忆正方形对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，根据该性质可推出对角线被交点分成的四条线段长度相等，即可得到OA、OB、OC、OD的数量关系。
【解析】
∵ 点O是匀质正方形ABCD的重心，
∴ 点O是正方形ABCD对角线AC与BD的交点，
又
∵ 正方形的对角线互相平分且相等，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$。
【答案】
$OA=OB=OC=OD$
【知识点】
1.正方形的性质 2.重心的确定
【点评】
本题属于基础题，结合重心的定义考查正方形的性质，熟练掌握正方形对角线相等且互相平分的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究.
【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心.取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细线从重心O处将三角形提起来,那么纸板就会处于水平状态.
【提出问题】探究图1中,$\frac{AO}{DO}$的值是多少?
吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题,设置了以下2个任务,请同学们通过完成以下任务解决提出的问题.
【解决问题】任务1:若$△ BOC$的面积为$m$,求$△ AOB$的面积.
任务2:在任务1的条件下,求$\frac{AO}{DO}$的值.
【拓展应用】如图2,在$△ ABC$中,点O是$△ ABC$的重心.连接BO,CO并延长分别交AC,AB于点D,E.若$BO⊥ CO$,$BD=6$,$CE=9$,直接利用上面的结论,求四边形AEOD的面积.
【探究课题】三角形重心性质的探究.
【课本重现】三角形三边中线的交点叫作这个三角形的重心.取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细线从重心O处将三角形提起来,那么纸板就会处于水平状态.
【提出问题】探究图1中,$\frac{AO}{DO}$的值是多少?
吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题,设置了以下2个任务,请同学们通过完成以下任务解决提出的问题.
【解决问题】任务1:若$△ BOC$的面积为$m$,求$△ AOB$的面积.
任务2:在任务1的条件下,求$\frac{AO}{DO}$的值.
【拓展应用】如图2,在$△ ABC$中,点O是$△ ABC$的重心.连接BO,CO并延长分别交AC,AB于点D,E.若$BO⊥ CO$,$BD=6$,$CE=9$,直接利用上面的结论,求四边形AEOD的面积.
答案
3.解:【解决问题】任务1:
∵点 O 为△ABC 的重心，
∴D,E,F 分别是 BC,AB,AC 边上的中点.
∴$S_{△ ABF}=S_{△ CBF},S_{△ OAF}=S_{△ OCF}.$
∴$S_{△ AOB}+S_{△ OAF}=S_{△ BOC}+S_{△ OCF}.$
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=m.$
任务 2:由题意可知 $S_{△ OCD}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}=\frac{1}{2}m,$
∵$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=m,\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ OBD}}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2.$
∵△AOB 与△OBD 同高，
∴$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ OBD}}=\frac{AO}{DO}=2,即\frac{AO}{DO}=2.$
【拓展应用】
∵点 O 是△ABC 的重心，
∴类比任务 1、任务 2
可知 $S_{△ BCE}=S_{△ ACE},\frac{OB}{OD}=\frac{OC}{OE}=2.$
∵$BD=6,CE=9,$
∴$OD=2,OB=4,OE=3,OC=6.$
∵$BO⊥ CO,$
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}CE· OB=\frac{1}{2}×9×4=18,$
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×6×2=6.$
则 $S_{△ ACE}=S_{△ BCE}=18,$
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ ACE}-S_{△ COD}=18-6=12.$
∵点 O 为△ABC 的重心，
∴D,E,F 分别是 BC,AB,AC 边上的中点.
∴$S_{△ ABF}=S_{△ CBF},S_{△ OAF}=S_{△ OCF}.$
∴$S_{△ AOB}+S_{△ OAF}=S_{△ BOC}+S_{△ OCF}.$
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=m.$
任务 2:由题意可知 $S_{△ OCD}=S_{△ OBD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}=\frac{1}{2}m,$
∵$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=m,\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ OBD}}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2.$
∵△AOB 与△OBD 同高，
∴$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ OBD}}=\frac{AO}{DO}=2,即\frac{AO}{DO}=2.$
【拓展应用】
∵点 O 是△ABC 的重心，
∴类比任务 1、任务 2
可知 $S_{△ BCE}=S_{△ ACE},\frac{OB}{OD}=\frac{OC}{OE}=2.$
∵$BD=6,CE=9,$
∴$OD=2,OB=4,OE=3,OC=6.$
∵$BO⊥ CO,$
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}CE· OB=\frac{1}{2}×9×4=18,$
$S_{△ COD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×6×2=6.$
则 $S_{△ ACE}=S_{△ BCE}=18,$
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ ACE}-S_{△ COD}=18-6=12.$
解析
【分析】
解题时先明确重心是三角形三边中线的交点，中线可将三角形分为面积相等的两部分。任务1中，利用中线BF分别平分△ABC和△AOC的面积，通过等式作差即可得到△AOB与△BOC面积相等；任务2中，先由D是BC中点得到△OBD和△OCD面积相等，再结合△AOB与△OBD同高，面积比等于对应底的比，即可求出AO与DO的比值；拓展应用中，先根据重心性质得到BO、OD、CO、OE的长度，再利用垂直条件计算相关三角形面积，通过面积作差求出四边形面积。
【解析】
【解决问题】
任务1：
∵点O为△ABC的重心，
∴D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点。
∴BF是△ABC的中线，可得$S_{△ABF}=S_{△CBF}$；
同时OF是△AOC的中线，可得$S_{△OAF}=S_{△OCF}$。
∴$S_{△ABF}-S_{△OAF}=S_{△CBF}-S_{△OCF}$，
即$S_{△AOB}=S_{△BOC}=m$。
任务2：
∵D是BC的中点，OD是△BOC的中线，
∴$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}=\frac{1}{2}m$。
∵$S_{△AOB}=m$，
∴$\frac{S_{△AOB}}{S_{△OBD}}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2$。
又
∵△AOB与△OBD以AO、OD为底时，高相同，
∴面积比等于底的比，即$\frac{AO}{DO}=\frac{S_{△AOB}}{S_{△OBD}}=2$。
【拓展应用】
∵点O是△ABC的重心，
∴结合上述结论可得$\frac{OB}{OD}=\frac{OC}{OE}=2$，且CE是△ABC的中线，故$S_{△BCE}=S_{△ACE}$。
∵BD=6，CE=9，
∴$OD=\frac{1}{3}BD=2$，$OB=\frac{2}{3}BD=4$，$OE=\frac{1}{3}CE=3$，$OC=\frac{2}{3}CE=6$。
∵$BO⊥CO$，
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×CE×OB=\frac{1}{2}×9×4=18$，
$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×6×2=6$。
∵$S_{△ACE}=S_{△BCE}=18$，
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ACE}-S_{△COD}=18-6=12$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{S_{△AOB}=m}$；任务2：$\boldsymbol{\frac{AO}{DO}=2}$；拓展应用：四边形AEOD的面积为$\boldsymbol{12}$。
【知识点】
三角形重心性质、三角形面积计算、中线的性质
【点评】
本题从探究三角形重心的性质出发，层层递进设置问题，既考查了学生对三角形中线分面积相等、同高三角形面积与底的关系等基础知识的掌握，也锻炼了学生利用探究结论解决拓展问题的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先明确重心是三角形三边中线的交点，中线可将三角形分为面积相等的两部分。任务1中，利用中线BF分别平分△ABC和△AOC的面积，通过等式作差即可得到△AOB与△BOC面积相等；任务2中，先由D是BC中点得到△OBD和△OCD面积相等，再结合△AOB与△OBD同高，面积比等于对应底的比，即可求出AO与DO的比值；拓展应用中，先根据重心性质得到BO、OD、CO、OE的长度，再利用垂直条件计算相关三角形面积，通过面积作差求出四边形面积。
【解析】
【解决问题】
任务1：
∵点O为△ABC的重心，
∴D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点。
∴BF是△ABC的中线，可得$S_{△ABF}=S_{△CBF}$；
同时OF是△AOC的中线，可得$S_{△OAF}=S_{△OCF}$。
∴$S_{△ABF}-S_{△OAF}=S_{△CBF}-S_{△OCF}$，
即$S_{△AOB}=S_{△BOC}=m$。
任务2：
∵D是BC的中点，OD是△BOC的中线，
∴$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}=\frac{1}{2}m$。
∵$S_{△AOB}=m$，
∴$\frac{S_{△AOB}}{S_{△OBD}}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2$。
又
∵△AOB与△OBD以AO、OD为底时，高相同，
∴面积比等于底的比，即$\frac{AO}{DO}=\frac{S_{△AOB}}{S_{△OBD}}=2$。
【拓展应用】
∵点O是△ABC的重心，
∴结合上述结论可得$\frac{OB}{OD}=\frac{OC}{OE}=2$，且CE是△ABC的中线，故$S_{△BCE}=S_{△ACE}$。
∵BD=6，CE=9，
∴$OD=\frac{1}{3}BD=2$，$OB=\frac{2}{3}BD=4$，$OE=\frac{1}{3}CE=3$，$OC=\frac{2}{3}CE=6$。
∵$BO⊥CO$，
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×CE×OB=\frac{1}{2}×9×4=18$，
$S_{△COD}=\frac{1}{2}×OC×OD=\frac{1}{2}×6×2=6$。
∵$S_{△ACE}=S_{△BCE}=18$，
∴$S_{四边形AEOD}=S_{△ACE}-S_{△COD}=18-6=12$。
【答案】
任务1：$\boldsymbol{S_{△AOB}=m}$；任务2：$\boldsymbol{\frac{AO}{DO}=2}$；拓展应用：四边形AEOD的面积为$\boldsymbol{12}$。
【知识点】
三角形重心性质、三角形面积计算、中线的性质
【点评】
本题从探究三角形重心的性质出发，层层递进设置问题，既考查了学生对三角形中线分面积相等、同高三角形面积与底的关系等基础知识的掌握，也锻炼了学生利用探究结论解决拓展问题的迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 请你用无刻度的直尺画出下面两幅图形(均匀薄板)的重心G. 
答案
4.解:如图所示.
解析
【分析】
要确定匀质薄板的重心，我们可以利用规则图形的重心特点来推导：首先匀质矩形是中心对称图形，它的重心就是自身两条对角线的交点。对于L形组合图形，我们可通过两次分割法求解：①先将图形分割为两个矩形，分别找到两个矩形的重心，整体图形的重心一定在这两个重心的连线上；②更换分割方式，再次将图形分为另外两个矩形，得到另一条过两个分割矩形重心的直线；③两条直线的交点就是整个图形的重心，且该方法仅用无刻度直尺即可完成，符合题目要求。
【解析】
1. 左侧网格L形图形：
第一步：将图形分割为下方2行8格的矩形、上方2行4格的矩形，分别连接两个矩形的两条对角线，得到两个矩形的重心，过这两个重心画第一条直线；
第二步：将图形重新分割为左侧2行6格的矩形、右侧4行4格的矩形，分别连接两个矩形的对角线得到对应重心，过这两个重心画第二条直线；
两条直线的交点就是该图形的重心G。
2. 右侧空心L形图形：
第一步：将图形分割为竖直长矩形和下方水平短矩形，分别作两个矩形的对角线得到各自重心，过两点画第一条直线；
第二步：更换分割方式，得到另外两个矩形，同样找到对应重心后画出第二条直线；
两条直线的交点就是该图形的重心G。
【答案】
【知识点】
矩形重心特征；组合图形重心画法；中心对称图形性质
【点评】
本题考查匀质薄板重心的确定方法，核心是利用规则图形的重心特点，通过两次分割连线找交点得到整体重心，注重动手操作能力的考查，能加深对重心几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
要确定匀质薄板的重心，我们可以利用规则图形的重心特点来推导：首先匀质矩形是中心对称图形，它的重心就是自身两条对角线的交点。对于L形组合图形，我们可通过两次分割法求解：①先将图形分割为两个矩形，分别找到两个矩形的重心，整体图形的重心一定在这两个重心的连线上；②更换分割方式，再次将图形分为另外两个矩形，得到另一条过两个分割矩形重心的直线；③两条直线的交点就是整个图形的重心，且该方法仅用无刻度直尺即可完成，符合题目要求。
【解析】
1. 左侧网格L形图形：
第一步：将图形分割为下方2行8格的矩形、上方2行4格的矩形，分别连接两个矩形的两条对角线，得到两个矩形的重心，过这两个重心画第一条直线；
第二步：将图形重新分割为左侧2行6格的矩形、右侧4行4格的矩形，分别连接两个矩形的对角线得到对应重心，过这两个重心画第二条直线；
两条直线的交点就是该图形的重心G。
2. 右侧空心L形图形：
第一步：将图形分割为竖直长矩形和下方水平短矩形，分别作两个矩形的对角线得到各自重心，过两点画第一条直线；
第二步：更换分割方式，得到另外两个矩形，同样找到对应重心后画出第二条直线；
两条直线的交点就是该图形的重心G。
【答案】
【知识点】
矩形重心特征；组合图形重心画法；中心对称图形性质
【点评】
本题考查匀质薄板重心的确定方法，核心是利用规则图形的重心特点，通过两次分割连线找交点得到整体重心，注重动手操作能力的考查，能加深对重心几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
