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10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=70°,∠ C=30°$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,$DE// AB$,交BC于点E,则$∠ BDE$的度数是 (
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
10.B
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠C的度数，先求出∠ABC的度数；第二步，根据角平分线的定义，计算出BD平分∠ABC后得到的∠ABD的度数；第三步，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°
∵DE//AB
∴∠BDE = ∠ABD（两直线平行，内错角相等）
即∠BDE = 40°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，逻辑链条清晰，只要熟练掌握基础性质，按步骤推导即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题可按三步推导：第一步，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠C的度数，先求出∠ABC的度数；第二步，根据角平分线的定义，计算出BD平分∠ABC后得到的∠ABD的度数；第三步，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 30° = 80°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°
∵DE//AB
∴∠BDE = ∠ABD（两直线平行，内错角相等）
即∠BDE = 40°
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将三角形内角和、角平分线、平行线的性质结合考查，逻辑链条清晰，只要熟练掌握基础性质，按步骤推导即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11.将一副直角三角尺按如图所示的位置放置，使含$30°$角的三角尺的一条直角边和含$45°$角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上，则$α$的度数是（
A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$85°$
C
）A.$45°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时首先回忆一副三角尺的固有角度：含45°角的三角尺的三个角分别为90°、45°、45°，含30°角的三角尺的三个角分别为90°、60°、30°。接着观察图形，可发现∠α是某三角形的外角，根据三角形外角的性质即可计算角度，也可通过三角形内角和、对顶角相等的性质推导，两种方法都能快速求出结果。
【解析】
根据三角尺的角度特征可知，含45°角的三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的锐角为30°。
由三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，观察图形可得∠α是对应三角形的外角，两个不相邻的内角分别为30°和45°，因此：
$∠ α = 30° + 45° = 75°$
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度，准确识别外角对应的不相邻内角，这类题是角度计算的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一副三角尺的固有角度：含45°角的三角尺的三个角分别为90°、45°、45°，含30°角的三角尺的三个角分别为90°、60°、30°。接着观察图形，可发现∠α是某三角形的外角，根据三角形外角的性质即可计算角度，也可通过三角形内角和、对顶角相等的性质推导，两种方法都能快速求出结果。
【解析】
根据三角尺的角度特征可知，含45°角的三角尺的锐角为45°，含30°角的三角尺的锐角为30°。
由三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，观察图形可得∠α是对应三角形的外角，两个不相邻的内角分别为30°和45°，因此：
$∠ α = 30° + 45° = 75°$
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是熟练掌握三角尺的固定角度，准确识别外角对应的不相邻内角，这类题是角度计算的常见考查形式。
【难度系数】
0.7
12.如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应
减少
(填“增加”或“减少”)10
度.答案
12.减少 10
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再结合对顶角相等得到∠DCE的度数；之后通过构造辅助线，利用三角形外角的性质，推导出∠EFD和∠D、∠E、∠DCE的数量关系，代入∠EFD=110°求出此时∠D的大小，和原图中∠D的度数对比即可得到结论。
【解析】
1. 在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-60°=70°$
2. ∠DCE与∠ACB是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ DCE=∠ ACB=70°$。
3. 延长EF交CD于点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在△ECG中，∠EGD是外角，因此$∠ EGD=∠ E+∠ DCE=30°+70°=100°$；
在△DGF中，∠EFD是外角，因此$∠ EFD=∠ D+∠ EGD$。
4. 要求$∠ EFD=110°$，代入得$110°=∠ D+100°$，解得$∠ D=10°$。
5. 原图中$∠ D=20°$，$20°-10°=10°$，因此∠D应减少10度。
【答案】
减少 10
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形角度的计算，解题核心是利用三角形内角和、外角性质以及对顶角的性质，把已知角和未知角建立关联，难度适中，侧重对基础几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再结合对顶角相等得到∠DCE的度数；之后通过构造辅助线，利用三角形外角的性质，推导出∠EFD和∠D、∠E、∠DCE的数量关系，代入∠EFD=110°求出此时∠D的大小，和原图中∠D的度数对比即可得到结论。
【解析】
1. 在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-60°=70°$
2. ∠DCE与∠ACB是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ DCE=∠ ACB=70°$。
3. 延长EF交CD于点G，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在△ECG中，∠EGD是外角，因此$∠ EGD=∠ E+∠ DCE=30°+70°=100°$；
在△DGF中，∠EFD是外角，因此$∠ EFD=∠ D+∠ EGD$。
4. 要求$∠ EFD=110°$，代入得$110°=∠ D+100°$，解得$∠ D=10°$。
5. 原图中$∠ D=20°$，$20°-10°=10°$，因此∠D应减少10度。
【答案】
减少 10
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形角度的计算，解题核心是利用三角形内角和、外角性质以及对顶角的性质，把已知角和未知角建立关联，难度适中，侧重对基础几何性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
13. 在$△ ABC$中，$∠ ADB = 100°$，$∠ C = 80°$，$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ DAC$，$BE$平分$∠ ABC$，求$∠ BED$的度数. 
答案
13.解:$∵∠ADB=100^{\circ },∠C=80^{\circ },$
$∴∠DAC=∠ADB-∠C=100^{\circ }-80^{\circ }=20^{\circ }.$
$∵∠BAD=\frac{1}{2}∠DAC,$
$∴∠BAD=\frac{1}{2}×20^{\circ }=10^{\circ }.$
在$△ ABD$中,$∠ABC=180^{\circ }-∠ADB-∠BAD=180^{\circ }-100^{\circ }-10^{\circ }=70^{\circ }.$
$∵BE$平分$∠ABC,$
$∴∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×70^{\circ }=35^{\circ }.$
$∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10^{\circ }+35^{\circ }=45^{\circ }.$
$∴∠DAC=∠ADB-∠C=100^{\circ }-80^{\circ }=20^{\circ }.$
$∵∠BAD=\frac{1}{2}∠DAC,$
$∴∠BAD=\frac{1}{2}×20^{\circ }=10^{\circ }.$
在$△ ABD$中,$∠ABC=180^{\circ }-∠ADB-∠BAD=180^{\circ }-100^{\circ }-10^{\circ }=70^{\circ }.$
$∵BE$平分$∠ABC,$
$∴∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×70^{\circ }=35^{\circ }.$
$∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10^{\circ }+35^{\circ }=45^{\circ }.$
解析
【分析】
解题时按照“由已知推未知”的思路逐步推导：1. 首先观察到∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可先求出∠DAC的度数；2. 结合∠BAD和∠DAC的数量关系，算出∠BAD的度数；3. 在△ABD中，利用三角形内角和为180°求出∠ABC的度数；4. 根据角平分线的定义求出∠ABE的度数；5. 最后利用三角形外角的性质，∠BED是△ABE的外角，等于不相邻的两个内角∠BAD与∠ABE的和，即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵∠ADB是△ADC的外角，∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°。
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$×20°=10°。
在△ABD中，根据三角形内角和为180°，
∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是灵活运用三角形的内角和、外角性质以及角平分线定义，逐步推导所求角度，只要理清角与角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时按照“由已知推未知”的思路逐步推导：1. 首先观察到∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角性质可先求出∠DAC的度数；2. 结合∠BAD和∠DAC的数量关系，算出∠BAD的度数；3. 在△ABD中，利用三角形内角和为180°求出∠ABC的度数；4. 根据角平分线的定义求出∠ABE的度数；5. 最后利用三角形外角的性质，∠BED是△ABE的外角，等于不相邻的两个内角∠BAD与∠ABE的和，即可算出最终结果。
【解析】
解：
∵∠ADB是△ADC的外角，∠ADB=100°，∠C=80°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°。
∵∠BAD=$\frac{1}{2}$∠DAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$×20°=10°。
在△ABD中，根据三角形内角和为180°，
∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×70°=35°。
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°。
【答案】
45°
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题的核心是灵活运用三角形的内角和、外角性质以及角平分线定义，逐步推导所求角度，只要理清角与角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14. 如图,点 C,D 分别在∠AOB 的边 OA,OB上运动(不与点 O 重合).射线 CE 与射线DF 分别在∠ACD 和∠CDO 内部,延长EC与DF交于点F.
(1)若∠AOB=90°,CE,DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,猜想∠F的度数是否随C,D的运动发生变化?请说明理由;
(2)若∠AOB=α(0°＜α＜180°),∠ECD= $\frac{1}{n}$∠ACD,∠CDF= $\frac{1}{n}$∠CDO,求∠F的度数.(用含α,n的式子表示)
(备用图)
(1)若∠AOB=90°,CE,DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线,猜想∠F的度数是否随C,D的运动发生变化?请说明理由;
(2)若∠AOB=α(0°＜α＜180°),∠ECD= $\frac{1}{n}$∠ACD,∠CDF= $\frac{1}{n}$∠CDO,求∠F的度数.(用含α,n的式子表示)
(备用图)
答案
14.解:(1)$∠F$的度数不变.理由如下:
$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角,
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB.$
$∵CE,DF$分别是$∠ACD$和$∠CDO$的平分线,
$∴∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{2}∠CDO.$
$∵∠ECD$是$△ CDF$的外角,$∠AOB=90^{\circ },$
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{2}∠ACD-\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{2}∠AOB=45^{\circ }.$
$∴∠F$的度数不变.
(2)$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角,
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB.$
$∵∠ECD=\frac{1}{n}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{n}∠CDO,$
且$∠ECD$是$△ CDF$的外角,
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{n}∠ACD-\frac{1}{n}∠CDO=\frac{1}{n}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{n}∠AOB=\frac{α}{n}.$
$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角,
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB.$
$∵CE,DF$分别是$∠ACD$和$∠CDO$的平分线,
$∴∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{2}∠CDO.$
$∵∠ECD$是$△ CDF$的外角,$∠AOB=90^{\circ },$
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{2}∠ACD-\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{2}∠AOB=45^{\circ }.$
$∴∠F$的度数不变.
(2)$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角,
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB.$
$∵∠ECD=\frac{1}{n}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{n}∠CDO,$
且$∠ECD$是$△ CDF$的外角,
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{n}∠ACD-\frac{1}{n}∠CDO=\frac{1}{n}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{n}∠AOB=\frac{α}{n}.$
解析
【分析】
本题可通过三角形外角性质建立已知角和待求角的关系求解：
(1)要判断∠F是否随C、D运动变化，首先利用三角形外角性质得到∠ACD与∠CDO的差为定值∠AOB；再结合角平分线定义，将∠ECD、∠CDF分别用∠ACD、∠CDO表示；最后再次利用三角形外角性质，得到∠F=∠ECD-∠CDF，代入即可得出∠F为定值。
(2)与(1)的推导思路完全一致，仅将角平分线对应的分率$\frac{1}{2}$替换为$\frac{1}{n}$，按相同步骤推导即可得到∠F与α、n的关系。
【解析】
(1)$∠F$的度数不变，理由如下：
$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角，
$∴∠ACD=∠AOB+∠CDO$，即$∠ACD-∠CDO=∠AOB$。
$∵CE,DF$分别是$∠ACD$和$∠CDO$的平分线，
$∴∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{2}∠CDO$。
$∵∠ECD$是$△ CDF$的外角,$∠AOB=90^{\circ },$
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{2}∠ACD-\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{2}∠AOB=45^{\circ }$。
$∴∠F$的度数不变。
(2)$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角，
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB=α$。
$∵∠ECD=\frac{1}{n}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{n}∠CDO,$
且$∠ECD$是$△ CDF$的外角，
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{n}∠ACD-\frac{1}{n}∠CDO=\frac{1}{n}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{n}∠AOB=\frac{α}{n}$。
【答案】
(1)$∠F$的度数不变，为$45°$；
(2)$∠F=\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于动点背景下的角度规律探究题，解题核心是抓住运动过程中不变的三角形外角度数关系，运用从特殊到一般的推导思路即可快速求解，是几何角度类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题可通过三角形外角性质建立已知角和待求角的关系求解：
(1)要判断∠F是否随C、D运动变化，首先利用三角形外角性质得到∠ACD与∠CDO的差为定值∠AOB；再结合角平分线定义，将∠ECD、∠CDF分别用∠ACD、∠CDO表示；最后再次利用三角形外角性质，得到∠F=∠ECD-∠CDF，代入即可得出∠F为定值。
(2)与(1)的推导思路完全一致，仅将角平分线对应的分率$\frac{1}{2}$替换为$\frac{1}{n}$，按相同步骤推导即可得到∠F与α、n的关系。
【解析】
(1)$∠F$的度数不变，理由如下：
$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角，
$∴∠ACD=∠AOB+∠CDO$，即$∠ACD-∠CDO=∠AOB$。
$∵CE,DF$分别是$∠ACD$和$∠CDO$的平分线，
$∴∠ECD=\frac{1}{2}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{2}∠CDO$。
$∵∠ECD$是$△ CDF$的外角,$∠AOB=90^{\circ },$
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{2}∠ACD-\frac{1}{2}∠CDO=\frac{1}{2}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{2}∠AOB=45^{\circ }$。
$∴∠F$的度数不变。
(2)$∵∠ACD$是$△ OCD$的外角，
$∴∠ACD-∠CDO=∠AOB=α$。
$∵∠ECD=\frac{1}{n}∠ACD,∠CDF=\frac{1}{n}∠CDO,$
且$∠ECD$是$△ CDF$的外角，
$∴∠F=∠ECD-∠CDF=\frac{1}{n}∠ACD-\frac{1}{n}∠CDO=\frac{1}{n}(∠ACD-∠CDO)=\frac{1}{n}∠AOB=\frac{α}{n}$。
【答案】
(1)$∠F$的度数不变，为$45°$；
(2)$∠F=\frac{α}{n}$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于动点背景下的角度规律探究题，解题核心是抓住运动过程中不变的三角形外角度数关系，运用从特殊到一般的推导思路即可快速求解，是几何角度类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
