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1.某校八年级2班学生计划用三根竹子制作一个三角形形状的班旗，已知三根竹子长度分别为$a$ cm,30 cm,40 cm,则$a$的值可以是（
A.100
B.80
C.70
D.60
D
）A.100
B.80
C.70
D.60
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确三角形三边关系的核心规则：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；接着代入已知的两条边长30cm、40cm，求出第三边a的取值范围；最后逐一核对选项，选出落在取值范围内的选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边a的取值范围为：
$40 - 30 ＜ a ＜ 40 + 30$
即 $10 ＜ a ＜ 70$
逐一分析选项：
A. $100＞70$，不符合三边关系，排除；
B. $80＞70$，不符合三边关系，排除；
C. $70=70$，此时三条线段共线，无法构成三角形，排除；
D. $10＜60＜70$，符合三边关系要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握三角形三边关系，通过计算得出第三边的取值范围后，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确三角形三边关系的核心规则：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；接着代入已知的两条边长30cm、40cm，求出第三边a的取值范围；最后逐一核对选项，选出落在取值范围内的选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得第三边a的取值范围为：
$40 - 30 ＜ a ＜ 40 + 30$
即 $10 ＜ a ＜ 70$
逐一分析选项：
A. $100＞70$，不符合三边关系，排除；
B. $80＞70$，不符合三边关系，排除；
C. $70=70$，此时三条线段共线，无法构成三角形，排除；
D. $10＜60＜70$，符合三边关系要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握三角形三边关系，通过计算得出第三边的取值范围后，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.9
2. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（
A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边之差小于第三边
D.直角三角形的性质
B
）A.三角形两边之和大于第三边
B.三角形具有稳定性
C.三角形两边之差小于第三边
D.直角三角形的性质
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察固定空调的支架结构，可知支架构成了三角形；接下来回忆三角形的相关性质，明确各选项对应的知识点：A、C选项是三角形三边的数量关系，用于判断三条线段能否构成三角形等相关问题；D选项是直角三角形的特有性质，和结构稳固性无关；而固定空调需要支架不易变形，对应三角形“稳定性”的特有属性，由此确定正确选项。
【解析】
观察题图可知，空调的固定支架构成了三角形结构。三角形具有稳定性，即当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不易发生形变，因此用三角形支架固定空调可以保证空调安装的稳固性。
对各选项分析如下：
A. 三角形两边之和大于第三边属于三角形三边的数量关系，主要用于判断三条线段能否构成三角形等问题，与结构稳固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，是本固定方法应用的几何原理，符合题意；
C. 三角形两边之差小于第三边同样属于三角形三边的数量关系，与本题应用无关，不符合题意；
D. 本题未用到直角三角形的特有性质，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查三角形的基本特性，贴近生活，旨在引导学生关注数学知识在实际生活中的应用，只要掌握相关基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察固定空调的支架结构，可知支架构成了三角形；接下来回忆三角形的相关性质，明确各选项对应的知识点：A、C选项是三角形三边的数量关系，用于判断三条线段能否构成三角形等相关问题；D选项是直角三角形的特有性质，和结构稳固性无关；而固定空调需要支架不易变形，对应三角形“稳定性”的特有属性，由此确定正确选项。
【解析】
观察题图可知，空调的固定支架构成了三角形结构。三角形具有稳定性，即当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不易发生形变，因此用三角形支架固定空调可以保证空调安装的稳固性。
对各选项分析如下：
A. 三角形两边之和大于第三边属于三角形三边的数量关系，主要用于判断三条线段能否构成三角形等问题，与结构稳固无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，是本固定方法应用的几何原理，符合题意；
C. 三角形两边之差小于第三边同样属于三角形三边的数量关系，与本题应用无关，不符合题意；
D. 本题未用到直角三角形的特有性质，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见场景考查三角形的基本特性，贴近生活，旨在引导学生关注数学知识在实际生活中的应用，只要掌握相关基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.9
3.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为(
A.4
B.5
C.6
D.7
B
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.B
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将四根木棒拼接为三条边（必有一条边由两根木棒拼接而成，其余两条为单独的木棒），我们先枚举所有可能的拼接组合，再逐一验证是否满足三边关系，最终找出符合条件的最长边长即可。
【解析】
四根木棒长度为2、3、3、4，所有可能的拼接组合及验证如下：
1. 拼接2和3，三条边长为5、3、4：
验证：$3+4＞5$，$3+5＞4$，$4+5＞3$，满足三角形三边关系，此时最长边为5；
2. 拼接2和4，三条边长为6、3、3：
验证：$3+3=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
3. 拼接两个3，三条边长为6、2、4：
验证：$2+4=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
4. 拼接3和4，三条边长为7、2、3：
验证：$2+3=5＜7$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除。
综上，符合条件的三角形最长边长为5。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题需要结合列举法分析所有拼接可能，易错点是忽略“两边之和等于第三边时无法构成三角形”的规则，或者漏算部分拼接组合，解题时要做到有序枚举，仔细验证。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将四根木棒拼接为三条边（必有一条边由两根木棒拼接而成，其余两条为单独的木棒），我们先枚举所有可能的拼接组合，再逐一验证是否满足三边关系，最终找出符合条件的最长边长即可。
【解析】
四根木棒长度为2、3、3、4，所有可能的拼接组合及验证如下：
1. 拼接2和3，三条边长为5、3、4：
验证：$3+4＞5$，$3+5＞4$，$4+5＞3$，满足三角形三边关系，此时最长边为5；
2. 拼接2和4，三条边长为6、3、3：
验证：$3+3=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
3. 拼接两个3，三条边长为6、2、4：
验证：$2+4=6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
4. 拼接3和4，三条边长为7、2、3：
验证：$2+3=5＜7$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除。
综上，符合条件的三角形最长边长为5。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题需要结合列举法分析所有拼接可能，易错点是忽略“两边之和等于第三边时无法构成三角形”的规则，或者漏算部分拼接组合，解题时要做到有序枚举，仔细验证。
【难度系数】
0.7
4. 已知$△ ABC$的三条边长为$a,b,c$，化简$|a+b-c|+|b-a-c|$的结果为
2a
。答案
4.2a
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值，最后合并同类项得到结果。判断正负性的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先判断$a+b-c$的正负：$a$、$b$是三角形两条边，所以$a+b＞c$，因此$a+b-c＞0$；再判断$b-a-c$的正负，变形为$b-(a+c)$，$a$、$c$是三角形两条边，所以$a+c＞b$，因此$b-(a+c)＜0$。接下来根据绝对值的性质去绝对值，合并同类项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
1. 因为$a+b＞c$，所以$a+b-c＞0$，因此$|a+b-c|=a+b-c$；
2. 因为$a+c＞b$，所以$b-a-c=b-(a+c)＜0$，因此$|b-a-c|=-(b-a-c)=-b+a+c$。
将两个式子相加化简：
$\begin{aligned}|a+b-c|+|b-a-c|&=(a+b-c)+(-b+a+c)\\&=a+b-c-b+a+c\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查三角形三边关系与绝对值性质的结合应用，解题关键是先利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的式子，首先需要判断每个绝对值内部代数式的正负性，再根据绝对值的性质去绝对值，最后合并同类项得到结果。判断正负性的依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。首先判断$a+b-c$的正负：$a$、$b$是三角形两条边，所以$a+b＞c$，因此$a+b-c＞0$；再判断$b-a-c$的正负，变形为$b-(a+c)$，$a$、$c$是三角形两条边，所以$a+c＞b$，因此$b-(a+c)＜0$。接下来根据绝对值的性质去绝对值，合并同类项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
1. 因为$a+b＞c$，所以$a+b-c＞0$，因此$|a+b-c|=a+b-c$；
2. 因为$a+c＞b$，所以$b-a-c=b-(a+c)＜0$，因此$|b-a-c|=-(b-a-c)=-b+a+c$。
将两个式子相加化简：
$\begin{aligned}|a+b-c|+|b-a-c|&=(a+b-c)+(-b+a+c)\\&=a+b-c-b+a+c\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
$2a$
【知识点】
三角形三边关系、绝对值的化简、整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查三角形三边关系与绝对值性质的结合应用，解题关键是先利用三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.已知等腰三角形两边的长分别为a,b,且满足$|a-3|+(b-7)^2=0$,则这个等腰三角形的周长为
17
.答案
5.17
解析
【分析】
首先，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可先求出a、b的具体值。其次，等腰三角形的两腰长度相等，已知两边长需分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的周长即可。
【解析】
1. 求解a、b的值：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|a-3|≥0$，$(b-7)^2≥0$，且$|a-3|+(b-7)^2=0$
∴ $a-3=0$，$b-7=0$，解得$a=3$，$b=7$
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为3，底边长为7，此时三边长为3、3、7
∵ $3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，因此该情况无法构成三角形，舍去
情况2：若腰长为7，底边长为3，此时三边长为7、7、3
∵ $3+7=10＞7$，$7+7=14＞3$，满足三角形三边关系，该情况成立
3. 计算周长：$7+7+3=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时要注意在分类讨论等腰三角形边长后，必须验证三边是否符合构成三角形的条件，避免忽略验证直接计算导致错解。
【难度系数】
0.7
首先，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可先求出a、b的具体值。其次，等腰三角形的两腰长度相等，已知两边长需分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，最后必须用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况后，计算符合条件的周长即可。
【解析】
1. 求解a、b的值：
∵ 绝对值和平方数都具有非负性，即$|a-3|≥0$，$(b-7)^2≥0$，且$|a-3|+(b-7)^2=0$
∴ $a-3=0$，$b-7=0$，解得$a=3$，$b=7$
2. 分情况讨论等腰三角形的边长：
情况1：若腰长为3，底边长为7，此时三边长为3、3、7
∵ $3+3=6＜7$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，因此该情况无法构成三角形，舍去
情况2：若腰长为7，底边长为3，此时三边长为7、7、3
∵ $3+7=10＞7$，$7+7=14＞3$，满足三角形三边关系，该情况成立
3. 计算周长：$7+7+3=17$
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时要注意在分类讨论等腰三角形边长后，必须验证三边是否符合构成三角形的条件，避免忽略验证直接计算导致错解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$AC⊥ BC$，$CD⊥ AB$，$DE⊥ BC$，垂足分别为C，D，E，则下列说法中不正确的是(
A.AC是$△ ABC$和$△ ABE$的高
B.DE，DC都是$△ BCD$的高
C.DE是$△ DBE$和$△ ABE$的高
D.AD，CD都是$△ ACD$的高
C
)A.AC是$△ ABC$和$△ ABE$的高
B.DE，DC都是$△ BCD$的高
C.DE是$△ DBE$和$△ ABE$的高
D.AD，CD都是$△ ACD$的高
答案
6.C
解析
【分析】
解题的核心是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该三角形的高。我们只需结合图形，逐一验证每个选项中的线段是否符合对应三角形高的定义即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$AC⊥ BC$，$AC$的端点$A$是$△ ABC$和$△ ABE$的公共顶点，且$AC$垂直于两个三角形的边$BC$、$BE$（$BE$在$BC$上），因此$AC$是$△ ABC$和$△ ABE$的高，该说法正确。
B选项：在$△ BCD$中，$CD⊥ AB$（即$CD$垂直于$△ BCD$的边$BD$），$DE⊥ BC$（即$DE$垂直于$△ BCD$的边$BC$），两条线段的端点均为$△ BCD$的顶点，因此$DE$、$DC$都是$△ BCD$的高，该说法正确。
C选项：$DE⊥ BC$，因此$DE$是$△ DBE$的高；但$△ ABE$的顶点为$A$、$B$、$E$，$DE$的端点$D$不是$△ ABE$的顶点，因此$DE$不是$△ ABE$的高，该说法错误。
D选项：在$△ ACD$中，$CD⊥ AB$，$∠ ADC=90°$，$AD$、$CD$互相垂直，且都是$△ ACD$的边，因此$AD$、$CD$都是$△ ACD$的高，该说法正确。
综上，本题要求选不正确的，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略三角形的高必须以三角形的顶点为一个端点，判断时要结合图形确认线段的端点和垂直关系，避免因概念理解不清晰出错。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段即为该三角形的高。我们只需结合图形，逐一验证每个选项中的线段是否符合对应三角形高的定义即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$AC⊥ BC$，$AC$的端点$A$是$△ ABC$和$△ ABE$的公共顶点，且$AC$垂直于两个三角形的边$BC$、$BE$（$BE$在$BC$上），因此$AC$是$△ ABC$和$△ ABE$的高，该说法正确。
B选项：在$△ BCD$中，$CD⊥ AB$（即$CD$垂直于$△ BCD$的边$BD$），$DE⊥ BC$（即$DE$垂直于$△ BCD$的边$BC$），两条线段的端点均为$△ BCD$的顶点，因此$DE$、$DC$都是$△ BCD$的高，该说法正确。
C选项：$DE⊥ BC$，因此$DE$是$△ DBE$的高；但$△ ABE$的顶点为$A$、$B$、$E$，$DE$的端点$D$不是$△ ABE$的顶点，因此$DE$不是$△ ABE$的高，该说法错误。
D选项：在$△ ACD$中，$CD⊥ AB$，$∠ ADC=90°$，$AD$、$CD$互相垂直，且都是$△ ACD$的边，因此$AD$、$CD$都是$△ ACD$的高，该说法正确。
综上，本题要求选不正确的，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是忽略三角形的高必须以三角形的顶点为一个端点，判断时要结合图形确认线段的端点和垂直关系，避免因概念理解不清晰出错。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F.若$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，则$\frac{DE}{DF}=$
$\frac{2}{3}$
.答案
7.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此△ABD和△ACD的面积相等。接下来两个三角形的面积可以分别以AB为底、DE为高，以AC为底、DF为高来表示，联立两个面积相等的关系式，代入已知的AB、AC长度，即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$。
联立得：$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$，
约去$\frac{1}{2}$得：$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$代入得：$6DE=4DF$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
3.比例的化简
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是利用中线平分三角形面积的特点，结合三角形面积公式建立两条高的等量关系，进而求出线段比值，掌握中线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此△ABD和△ACD的面积相等。接下来两个三角形的面积可以分别以AB为底、DE为高，以AC为底、DF为高来表示，联立两个面积相等的关系式，代入已知的AB、AC长度，即可求出DE与DF的比值。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，即$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又
∵$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$。
联立得：$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$，
约去$\frac{1}{2}$得：$AB· DE=AC· DF$。
将$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$代入得：$6DE=4DF$，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1.三角形中线的性质
2.三角形面积计算
3.比例的化简
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是利用中线平分三角形面积的特点，结合三角形面积公式建立两条高的等量关系，进而求出线段比值，掌握中线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中,AD是高,BE是角平分线,AD,BE相交于点O,$∠ ABC=50°$,则$∠ AOB=$
$115°$
.答案
8.$115°$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先AD是△ABC的高，可推出∠ADB为直角；BE是角平分线，已知∠ABC的度数，可求出BE平分后得到的∠OBD的度数。再观察∠AOB的位置，它是△BOD的外角，根据三角形外角的性质，即可求出∠AOB的度数，也可先在△BOD中求出∠BOD的度数，再利用邻补角的关系计算∠AOB。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°。
∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵∠AOB是△BOD的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AOB=∠ADB + ∠OBD = 90° + 25° = 115°。
【答案】
115°
【知识点】
角平分线的定义；三角形高的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，将三角形的高、角平分线的性质与角度计算结合，只要准确识别角的位置关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：首先AD是△ABC的高，可推出∠ADB为直角；BE是角平分线，已知∠ABC的度数，可求出BE平分后得到的∠OBD的度数。再观察∠AOB的位置，它是△BOD的外角，根据三角形外角的性质，即可求出∠AOB的度数，也可先在△BOD中求出∠BOD的度数，再利用邻补角的关系计算∠AOB。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°。
∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC=50°，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×50°=25°。
∵∠AOB是△BOD的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AOB=∠ADB + ∠OBD = 90° + 25° = 115°。
【答案】
115°
【知识点】
角平分线的定义；三角形高的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，将三角形的高、角平分线的性质与角度计算结合，只要准确识别角的位置关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图1，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$△ ABD$和$△ ADC$的周长之差为2，且AB与AC的和为14。
(1)求AB，AC的长；
(2)若$∠ BAC=90°$，E是AD的中点，如图2，求$△ CDE$的面积。
(1)求AB，AC的长；
(2)若$∠ BAC=90°$，E是AD的中点，如图2，求$△ CDE$的面积。
答案
9.解:(1)$∵$AD是边BC上的中线，
$∴BD=CD.$
$(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,①
又$AB+AC=14$,②
①$+$②,得$2AB=16$,即$AB=8.$
$∴AC=14-AB=6.$
(2)$∵∠BAC=90^{\circ },AB=8,AC=6,$
$∴S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×8×6=24.$
$∵AD$是边BC上的中线,E为AD的中点,
$∴S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC},S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}.$
$∴S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×24=6.$
$∴BD=CD.$
$(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,①
又$AB+AC=14$,②
①$+$②,得$2AB=16$,即$AB=8.$
$∴AC=14-AB=6.$
(2)$∵∠BAC=90^{\circ },AB=8,AC=6,$
$∴S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×8×6=24.$
$∵AD$是边BC上的中线,E为AD的中点,
$∴S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC},S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}.$
$∴S_{△ CDE}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×24=6.$
解析
【分析】
(1)要求AB、AC的长度，已知AB与AC的和为14，只需推出AB与AC的差即可。根据AD是BC中线可得BD=CD，将△ABD和△ADC的周长作差，公共边AD、等长的BD和CD会抵消，即可得到AB与AC的差值，联立和为14的条件解方程组即可求出两线段长。
(2)要求△CDE的面积，先利用直角三角形面积公式求出△ABC的面积。再根据三角形中线的性质：中线将三角形分成面积相等的两部分，先得AD把△ABC面积等分，再得CE把△ACD面积等分，即可推出△CDE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，代入计算即可。
【解析】
(1)
∵AD是边BC上的中线，
∴$BD=CD$。
△ABD的周长为$AB+AD+BD$，△ADC的周长为$AC+AD+CD$，
则周长差为：$(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$①，
又已知$AB+AC=14$②，
①+②得：$2AB=16$，解得$AB=8$，
将$AB=8$代入②得：$AC=14-8=6$。
(2)
∵$∠BAC=90^{\circ },AB=8,AC=6$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×8×6=24$。
∵AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
又
∵E是AD的中点，CE是△ACD的中线，△CDE和△CAE等底同高，
∴$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$。
∴$S_{△CDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{4}×24=6$。
【答案】
(1)$AB=8$，$AC=6$；(2)$△CDE$的面积为$6$
【知识点】
三角形中线的性质；二元一次方程组的应用；等积法求面积
【点评】
本题是三角形部分的基础典型题，重点考查三角形中线“等分线段、等分三角形面积”的性质，解题时注意利用公共边、等长线段简化周长差的计算，面积计算时熟练运用等积变换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1)要求AB、AC的长度，已知AB与AC的和为14，只需推出AB与AC的差即可。根据AD是BC中线可得BD=CD，将△ABD和△ADC的周长作差，公共边AD、等长的BD和CD会抵消，即可得到AB与AC的差值，联立和为14的条件解方程组即可求出两线段长。
(2)要求△CDE的面积，先利用直角三角形面积公式求出△ABC的面积。再根据三角形中线的性质：中线将三角形分成面积相等的两部分，先得AD把△ABC面积等分，再得CE把△ACD面积等分，即可推出△CDE的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，代入计算即可。
【解析】
(1)
∵AD是边BC上的中线，
∴$BD=CD$。
△ABD的周长为$AB+AD+BD$，△ADC的周长为$AC+AD+CD$，
则周长差为：$(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$①，
又已知$AB+AC=14$②，
①+②得：$2AB=16$，解得$AB=8$，
将$AB=8$代入②得：$AC=14-8=6$。
(2)
∵$∠BAC=90^{\circ },AB=8,AC=6$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×8×6=24$。
∵AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
又
∵E是AD的中点，CE是△ACD的中线，△CDE和△CAE等底同高，
∴$S_{△CDE}=\frac{1}{2}S_{△ACD}$。
∴$S_{△CDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{4}×24=6$。
【答案】
(1)$AB=8$，$AC=6$；(2)$△CDE$的面积为$6$
【知识点】
三角形中线的性质；二元一次方程组的应用；等积法求面积
【点评】
本题是三角形部分的基础典型题，重点考查三角形中线“等分线段、等分三角形面积”的性质，解题时注意利用公共边、等长线段简化周长差的计算，面积计算时熟练运用等积变换即可快速求解。
【难度系数】
0.7
