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活动1 搭等边三角形
1.
|活动主题|搭等边三角形|
|素材准备|等长的磁力棒9根.|
|活动内容|我们知道,三角形有三条边,因此用3根等长的磁力棒可搭成1个等边三角形,那么如何用最少的磁力棒,搭出最多的等边三角形呢?|
|探究一|用6根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形?
(1)小明在桌面上进行尝试,他搭成了两个等边三角形(如图1).
他发现两个三角形共用1条边,就能省出1根磁力棒(如图2).如果能像图3那样,把最远的两个顶点连起来就太好了!但那根长度不一样,怎么解决呢?搭成立体结构,就能实现,试一试吧!|
|探究二|用9根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形?
(2)小明先搭出如图4所示的平面结构,发现只有5个等边三角形.若搭成立体结构,能否增加等边三角形的个数?试一试吧!
|
|探究三|忽略磁力棒的粗细(即把磁力棒看作线段),能否搭出更多的等边三角形?
(3)小萌尝试把图1中的两个三角形摞起来,果然6根磁力棒能产生更多的等边三角形,试一试吧!
(4)借助(1)和(3)的经验,你能用9根磁力棒搭出更多的等边三角形吗?试一试吧!|
请根据上述材料,画出相应的示意图,并完成下表.
|序号|(1)|(2)|(3)|(4)|
|----|----|----|----|----|
|示意图| |
| | |
|等边三角形个数| | | | |
1.
|活动主题|搭等边三角形|
|素材准备|等长的磁力棒9根.|
|活动内容|我们知道,三角形有三条边,因此用3根等长的磁力棒可搭成1个等边三角形,那么如何用最少的磁力棒,搭出最多的等边三角形呢?|
|探究一|用6根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形?
(1)小明在桌面上进行尝试,他搭成了两个等边三角形(如图1).
他发现两个三角形共用1条边,就能省出1根磁力棒(如图2).如果能像图3那样,把最远的两个顶点连起来就太好了!但那根长度不一样,怎么解决呢?搭成立体结构,就能实现,试一试吧!|
|探究二|用9根磁力棒最多可搭出多少个等边三角形?
(2)小明先搭出如图4所示的平面结构,发现只有5个等边三角形.若搭成立体结构,能否增加等边三角形的个数?试一试吧!
||探究三|忽略磁力棒的粗细(即把磁力棒看作线段),能否搭出更多的等边三角形?
(3)小萌尝试把图1中的两个三角形摞起来,果然6根磁力棒能产生更多的等边三角形,试一试吧!
(4)借助(1)和(3)的经验,你能用9根磁力棒搭出更多的等边三角形吗?试一试吧!|
请根据上述材料,画出相应的示意图,并完成下表.
|序号|(1)|(2)|(3)|(4)|
|----|----|----|----|----|
|示意图| |
| | ||等边三角形个数| | | | |
答案
1.(1)示意图：
左起第1个图，等边三角形个数为4(2)示意图：
左起第2个图，等边三角形个数为7(3)示意图：
左起第3个图，等边三角形个数为8(4)示意图：
左起第4个图，等边三角形个数为11解析
【分析】
解题时我们可以从两个思路出发增加等边三角形的数量：一是搭建立体结构，让同一根磁力棒作为多个等边三角形的公共边，提升磁力棒的利用率；二是在平面上将等边三角形交叉重叠摆放，利用重叠部分形成新的小等边三角形。
对应四个探究问题的思考路径：
(1) 用6根磁力棒搭立体结构时，选择正四面体（正三棱锥）结构，它共有6条棱，刚好使用6根磁力棒，所有面都是等边三角形，数面的数量即可得到结果；
(2) 用9根磁力棒搭立体结构时，在正四面体基础上延伸搭建，让尽可能多的棱作为公共边，再逐一计数所有等边三角形；
(3) 用6根磁力棒平面重叠摆放时，将两个等边三角形一正一反交叉摆放成六角星形状，分别数出小、大两类等边三角形的数量求和即可；
(4) 结合前几问的经验，用9根磁力棒采用交叉+公共边的方式摆放，再逐一计数所有等边三角形。
【解析】
(1) 6根磁力棒搭成正四面体（对应），正四面体的4个面均为等边三角形，因此等边三角形个数为4；
(2) 9根磁力棒搭成对应立体结构（对应），逐一计数所有等边三角形，可得总个数为7；
(3) 6根磁力棒搭成反向交叉的六角星结构（对应），其中边长为小格长度的等边三角形有6个，边长为2倍小格长度的等边三角形有2个，总个数为6+2=8；
(4) 9根磁力棒搭成对应交叉结构（对应），逐一计数所有等边三角形，可得总个数为11。
【答案】
(1) 示意图：，等边三角形个数：4
(2) 示意图：，等边三角形个数：7
(3) 示意图：，等边三角形个数：8
(4) 示意图：，等边三角形个数：11
【知识点】
等边三角形性质，图形拼搭，立体图形特征
【点评】
本题通过动手探究的形式，引导大家打破平面思维的局限，从立体搭建、平面交叉两个角度探索材料利用率最大化的拼搭方式，很好地锻炼了空间想象能力和归纳探究能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以从两个思路出发增加等边三角形的数量：一是搭建立体结构，让同一根磁力棒作为多个等边三角形的公共边，提升磁力棒的利用率；二是在平面上将等边三角形交叉重叠摆放，利用重叠部分形成新的小等边三角形。
对应四个探究问题的思考路径：
(1) 用6根磁力棒搭立体结构时，选择正四面体（正三棱锥）结构，它共有6条棱，刚好使用6根磁力棒，所有面都是等边三角形，数面的数量即可得到结果；
(2) 用9根磁力棒搭立体结构时，在正四面体基础上延伸搭建，让尽可能多的棱作为公共边，再逐一计数所有等边三角形；
(3) 用6根磁力棒平面重叠摆放时，将两个等边三角形一正一反交叉摆放成六角星形状，分别数出小、大两类等边三角形的数量求和即可；
(4) 结合前几问的经验，用9根磁力棒采用交叉+公共边的方式摆放，再逐一计数所有等边三角形。
【解析】
(1) 6根磁力棒搭成正四面体（对应
），正四面体的4个面均为等边三角形，因此等边三角形个数为4；(2) 9根磁力棒搭成对应立体结构（对应
），逐一计数所有等边三角形，可得总个数为7；(3) 6根磁力棒搭成反向交叉的六角星结构（对应
），其中边长为小格长度的等边三角形有6个，边长为2倍小格长度的等边三角形有2个，总个数为6+2=8；(4) 9根磁力棒搭成对应交叉结构（对应
），逐一计数所有等边三角形，可得总个数为11。【答案】
(1) 示意图：
，等边三角形个数：4(2) 示意图：
，等边三角形个数：7(3) 示意图：
，等边三角形个数：8(4) 示意图：
，等边三角形个数：11【知识点】
等边三角形性质，图形拼搭，立体图形特征
【点评】
本题通过动手探究的形式，引导大家打破平面思维的局限，从立体搭建、平面交叉两个角度探索材料利用率最大化的拼搭方式，很好地锻炼了空间想象能力和归纳探究能力。
【难度系数】
0.6
2. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分.
(1)试验分析:如图1,画出四边形的一种三角剖分,它把四边形分为
(2)拓展延伸:如图2,画出五边形的一种三角剖分,它把五边形分为
(3)探索归纳:对于$n$边形($n＞3$),$n$边形的一种三角剖分把这个$n$边形分为
(4)对于$n$边形($n＞3$)的一种三角剖分,若这些三角形的内角和为$1260°$,求$n$的值.
(5)如下图,凸四边形$ABCD$有两种剖分方法.20世纪,数学家乌尔班发现并证明了下面的公式:$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$($D_n$表示凸$n$边形的三角剖分数).请你用上面的公式计算$D_6=$
(1)试验分析:如图1,画出四边形的一种三角剖分,它把四边形分为
2
个三角形;(2)拓展延伸:如图2,画出五边形的一种三角剖分,它把五边形分为
3
个三角形;如图3,画出六边形的一种三角剖分,它把六边形分为4
个三角形;(3)探索归纳:对于$n$边形($n＞3$),$n$边形的一种三角剖分把这个$n$边形分为
(n-2)
个三角形(用含$n$的式子表示);(4)对于$n$边形($n＞3$)的一种三角剖分,若这些三角形的内角和为$1260°$,求$n$的值.
(5)如下图,凸四边形$ABCD$有两种剖分方法.20世纪,数学家乌尔班发现并证明了下面的公式:$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$($D_n$表示凸$n$边形的三角剖分数).请你用上面的公式计算$D_6=$
14
.答案
2.解:(1)2
(2)3 4
(3)(n-2)
(4)由题意,得 180(n-2)=1 260,解得 n=9.
(5)14
(2)3 4
(3)(n-2)
(4)由题意,得 180(n-2)=1 260,解得 n=9.
(5)14
解析
【分析】
解题思路：本题从特殊多边形的三角剖分数三角形个数入手，先通过直观画图计数得到四边形、五边形、六边形的剖分结果，再归纳得到n边形的通用规律，随后结合三角形内角和公式列方程求解n值，最后利用题干给出的递推公式逐步计算得到D₆的值。具体思考步骤：①前三小问通过实际画图数三角形个数，观察边数和三角形个数的差值得出规律；②第(4)问明确剖分后所有三角形的内角和等于三角形个数乘180°，结合规律列方程求解；③第(5)问先确定四边形的剖分数D₄=2，再代入递推公式依次计算D₅、D₆即可。
【解析】
(1) 对四边形作三角剖分，连接任意一组不相邻顶点，可将四边形分为2个三角形。
(2) 对五边形作三角剖分，从一个顶点出发连接两条不相交的对角线，可将五边形分为3个三角形；对六边形作三角剖分，从一个顶点出发连接三条不相交的对角线，可将六边形分为4个三角形。
(3) 观察上述结果：n=4时，三角形个数=4-2=2；n=5时，三角形个数=5-2=3；n=6时，三角形个数=6-2=4，归纳可得n边形（n＞3）三角剖分后得到(n-2)个三角形。
(4) 剖分后每个三角形内角和为180°，共有(n-2)个三角形，由总内角和为1260°列方程：
$180(n-2)=1260$
方程两边同时除以180，得$n-2=7$，解得$n=9$。
(5) 由题意可知凸四边形的三角剖分数$D_4=2$，根据公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
当n=4时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{10}{4}$，因此$D_5=2×\frac{10}{4}=5$；
当n=5时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，因此$D_6=5×\frac{14}{5}=14$。
【答案】
(1)2；(2)3，4；(3)$n-2$；(4)$n=9$；(5)14
【知识点】
多边形三角剖分；多边形内角和；规律探究
【点评】
本题从简单多边形的剖分实例出发，逐步引导学生归纳通用规律，再结合内角和公式、给定递推公式解决拓展问题，既考查了基础的图形认知和方程运算能力，也锻炼了学生的归纳推理和新知应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题从特殊多边形的三角剖分数三角形个数入手，先通过直观画图计数得到四边形、五边形、六边形的剖分结果，再归纳得到n边形的通用规律，随后结合三角形内角和公式列方程求解n值，最后利用题干给出的递推公式逐步计算得到D₆的值。具体思考步骤：①前三小问通过实际画图数三角形个数，观察边数和三角形个数的差值得出规律；②第(4)问明确剖分后所有三角形的内角和等于三角形个数乘180°，结合规律列方程求解；③第(5)问先确定四边形的剖分数D₄=2，再代入递推公式依次计算D₅、D₆即可。
【解析】
(1) 对四边形作三角剖分，连接任意一组不相邻顶点，可将四边形分为2个三角形。
(2) 对五边形作三角剖分，从一个顶点出发连接两条不相交的对角线，可将五边形分为3个三角形；对六边形作三角剖分，从一个顶点出发连接三条不相交的对角线，可将六边形分为4个三角形。
(3) 观察上述结果：n=4时，三角形个数=4-2=2；n=5时，三角形个数=5-2=3；n=6时，三角形个数=6-2=4，归纳可得n边形（n＞3）三角剖分后得到(n-2)个三角形。
(4) 剖分后每个三角形内角和为180°，共有(n-2)个三角形，由总内角和为1260°列方程：
$180(n-2)=1260$
方程两边同时除以180，得$n-2=7$，解得$n=9$。
(5) 由题意可知凸四边形的三角剖分数$D_4=2$，根据公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
当n=4时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{10}{4}$，因此$D_5=2×\frac{10}{4}=5$；
当n=5时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5-6}{5}=\frac{14}{5}$，因此$D_6=5×\frac{14}{5}=14$。
【答案】
(1)2；(2)3，4；(3)$n-2$；(4)$n=9$；(5)14
【知识点】
多边形三角剖分；多边形内角和；规律探究
【点评】
本题从简单多边形的剖分实例出发，逐步引导学生归纳通用规律，再结合内角和公式、给定递推公式解决拓展问题，既考查了基础的图形认知和方程运算能力，也锻炼了学生的归纳推理和新知应用能力。
【难度系数】
0.7
