6.如图，在$△ ABC$中，$A=50°$，$BP$，$CP$，$BM$，$CM$分别是$∠ ABC$，$∠ ACD$，$∠ PBC$，$∠ PCB$的平分线，则$∠ M$的度数为。

6. 102.5°

【分析】
解题时先利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，先推导出∠P与∠A的数量关系，求出∠P的度数；再在△PBC中，利用三角形内角和定理，结合角平分线的定义，求出∠MBC与∠MCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可算出∠M的度数。
【解析】
1. 由三角形外角的性质可知，∠ACD是△ABC的外角，因此$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$。
已知BP平分$∠ ABC$，CP平分$∠ ACD$，根据角平分线的定义可得：$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ ACD$。
又因为$∠ PCD$是△PBC的外角，因此$∠ PCD=∠ P+∠ PBC$。
将$∠ PCD=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$、$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$代入上式，可得：
$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ P+\frac{1}{2}∠ ABC$
化简得：$∠ P=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2. 在△PBC中，根据三角形内角和定理，$∠ PBC+∠ PCB+∠ P=180°$，因此：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ P=180°-25°=155°$。
已知BM平分$∠ PBC$，CM平分$∠ PCB$，根据角平分线的定义可得：$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ PBC$，$∠ MCB=\frac{1}{2}∠ PCB$，因此：
$∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}(∠ PBC+∠ PCB)=\frac{1}{2}×155°=77.5°$。
3. 在△MBC中，根据三角形内角和定理：
$∠ M=180°-(∠ MBC+∠ MCB)=180°-77.5°=102.5°$。
【答案】
$102.5°$
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角平分线夹角模型的典型应用，核心是灵活运用三角形内外角的数量关系，结合角平分线的性质逐步推导未知角，需要学生具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65

7. 如图1,在$△ ABC$中,$BA_1$平分$∠ ABC$,$CA_1$平分$∠ ACD$,$BA_1$,$CA_1$相交于点$A_1$.
(1)若$∠ A_1=30°$,则$∠ A$的度数为;
(2)求证:$∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A$;
(3)如图2,继续作$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$,得$∠ A_2$;作$∠ A_2BC$和$∠ A_2CD$的平分线交于点$A_3$,得$∠ A_3$……依此得到$∠ A_{2025}$,若$∠ A=α$,则$∠ A_{2025}=$.

7.(1)解:60°.
(2)证明:
∵$BA_1$平分$∠ABC$,$CA_1$平分$∠ACD$,
∴∠ABC=2∠$A_1$BC,∠ACD=2∠$A_1$CD.
∵∠ACD=∠A+∠ABC,
∠$A_1$CD=∠$A_1$+∠$A_1$BC,
∴∠A=∠ACD−∠ABC=2∠$A_1$CD−2∠$A_1$BC
=2(∠$A_1$CD−∠$A_1$BC)=2∠$A_1$.
∴∠$A_1$=$\frac{1}{2}$∠A.
(3)解:$\frac{1}{2^{2025}}α$.

【分析】
这道题是三角形外角性质与角平分线定义的综合应用题，解题思路如下：(1) 可先推导得到∠A与∠A₁的倍数关系，已知∠A₁的度数即可直接求出∠A；(2) 先利用角平分线的定义得到∠ABC和∠A₁BC、∠ACD和∠A₁CD的倍数关系，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，对两个外角列式后代换消元，即可推导出∠A₁和∠A的数量关系；(3) 根据第(2)问的结论推导每一级角度的递推规律，总结出第n个角的通用表达式，代入n=2025和∠A=α即可求解。
【解析】
(1) 由后续证明可得∠A=2∠A₁，已知∠A₁=30°，因此∠A=2×30°=60°。
(2) 证明：
∵$BA_1$平分$∠ABC$，$CA_1$平分$∠ACD$，
∴∠ABC=2∠$A_1$BC，∠ACD=2∠$A_1$CD。
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∵∠$A_1$CD是△$A_1$BC的外角，
∴∠$A_1$CD=∠$A_1$+∠$A_1$BC，
∴∠A=∠ACD−∠ABC=2∠$A_1$CD−2∠$A_1$BC
=2(∠$A_1$CD−∠$A_1$BC)=2∠$A_1$，
∴∠$A_1$=$\frac{1}{2}∠A$。
(3) 由(2)的结论可得：
∠$A_1$=$\frac{1}{2}∠A$，
∠$A_2$=$\frac{1}{2}∠A_1$=$\frac{1}{2^2}∠A$，
∠$A_3$=$\frac{1}{2}∠A_2$=$\frac{1}{2^3}∠A$，
……
以此类推，∠$A_n$=$\frac{1}{2^n}∠A$，
当∠A=α，n=2025时，∠$A_{2025}$=$\frac{1}{2^{2025}}α$。
【答案】
(1) $60°$；(2) 证明见解析；(3) $\frac{1}{2^{2025}}α$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题由特殊到一般层层递进，既考查了基础几何定理的运用能力，也考查了归纳推理的能力，掌握核心结论的推导过程是解决后续规律问题的关键。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在$△ ABC$中，$BI$，$CI$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的外角平分线，$∠ A + ∠ I = 130°$，则$∠ A =$（）

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

8. D

【分析】
解题时首先结合角平分线的性质，表示出△IBC的两个底角的度数，再利用三角形内角和定理推导出∠I与∠A的数量关系，最后结合题干给出的∠A+∠I=130°联立求解即可。第一步：先根据角平分线定义，写出∠IBC、∠ICB和△ABC内角的关系；第二步：在△IBC中用内角和定理表示出∠I，再结合△ABC的内角和将∠I用含∠A的式子表示；第三步：代入已知条件计算∠A的度数。
【解析】
∵ BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线
∴ $∠ IBC=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB$
在$△ IBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ I=180°-(∠ IBC+∠ ICB)$
将$∠ IBC$、$∠ ICB$代入得：
$∠ I=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ ABC+90°-\frac{1}{2}∠ ACB)=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入上式得：
$∠ I=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ A+∠ I=130°$，将$∠ I=90°-\frac{1}{2}∠ A$代入得：
$∠ A + 90°-\frac{1}{2}∠ A=130°$
解得：$\frac{1}{2}∠ A=40°$，即$∠ A=80°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的典型模型题，解题核心是通过角平分线性质和内角和定理推导两个角的数量关系，掌握该类模型能够大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

9.如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE.
(1)∠BOC与∠A的关系为；
(2)请就(1)中的结论进行证明.

9.解:(1)$∠BOC=90°-\frac{1}{2}∠A$
(2)证明:由三角形的外角的性质知,
∠CBD=∠A+∠ACB,
∠BCE=∠A+∠ABC,
∴∠CBD+∠BCE=180°+∠A.
∵BO,CO分别是∠CBD,∠BCE的平分线,
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠CBD,∠BCO=$\frac{1}{2}$∠BCE.
∴∠CBO+∠BCO=$\frac{1}{2}$(∠CBD+∠BCE)=$90°+\frac{1}{2}∠A$.
∴ ∠BOC = 180° − (∠CBO + ∠BCO ) = 180° −$(90°+\frac{1}{2}∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$.

【分析】
要推导∠BOC和∠A的关系，可按以下思路思考：①首先利用三角形外角的性质，将△ABC的两个外角∠CBD、∠BCE用∠A和△ABC的内角表示，求出两个外角的和；②再根据角平分线的定义，得到△OBC的两个底角∠OBC、∠OCB的和与∠A的关系；③最后在△BOC中利用三角形内角和为180°，即可求出∠BOC的表达式，得到它和∠A的数量关系。
【解析】
(1) 直接得出结论：$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(2) 证明：
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ CBD = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCE = ∠ A + ∠ ABC$
将两式相加得：$∠ CBD + ∠ BCE = ∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC$
在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，代入上式得：
$∠ CBD + ∠ BCE = 180° + ∠ A$
∵BO平分$∠ CBD$，CO平分$∠ BCE$，根据角平分线的定义：
$∠ CBO = \frac{1}{2}∠ CBD$，$∠ BCO = \frac{1}{2}∠ BCE$
∴$∠ CBO + ∠ BCO = \frac{1}{2}(∠ CBD + ∠ BCE) = \frac{1}{2}(180° + ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$
在$△ BOC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BOC = 180° - (∠ CBO + ∠ BCO) = 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$
【答案】
(1)$∠ BOC=90°-\frac{1}{2}∠ A$；(2)证明过程见上述解析。
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形双外角角平分线夹角的经典模型题，解题核心是灵活运用三角形内角和与外角性质进行角度的转化推导，掌握该模型结论可大幅提升同类角度计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7