1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF//AD交AE延长线于点F。若∠B＝30°，∠ACB＝70°，则∠CFE＝°。

1. 20

【分析】
要求∠CFE的度数，由CF//AD可知，可先求与∠CFE相等的∠DAE的度数。要得到∠DAE，需分别求出∠BAE和∠BAD的度数：①∠BAE可在Rt△ABE中利用直角三角形两锐角互余计算；②∠BAD需要先根据三角形内角和求出∠BAC，再结合角平分线的性质得到，最后用∠BAE减去∠BAD即可得到∠DAE，进而得到∠CFE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 30° - 70° = 80°$
∵AD平分$∠ BAC$
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×80° = 40°$
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEB = 90°$
在Rt△ABE中，$∠ BAE = 90° - ∠ B = 90° - 30° = 60°$
∴$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 60° - 40° = 20°$
∵CF//AD
∴$∠ CFE = ∠ DAE = 20°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
20
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是三角形角计算的典型题型，将角平分线、高线、平行线的性质结合考查，解题时需梳理清楚各角的数量关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$.
(1)若$∠ B=70°,∠ C=34°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)探索$∠ B,∠ C,∠ DAE$之间的数量关系（$∠ B＞∠ C$），并证明你的结论.

解:(1)在△ABC中,∠B=70°,∠C=34°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−34°=76°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=1/2∠BAC=1/2×76°=38°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∴∠DAC=90°−∠C=90°−34°=56°.
∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=56°−38°=18°.
(2)$∠DAE=\frac{1}{2}(∠B−∠C)$.
证明:
∵∠BAC=180°−∠B−∠C,AE平分∠BAC,
∴∠CAE= $\frac{1}{2}$ ∠BAC= $\frac{1}{2}$ (180°−∠B−∠C)= $90°-\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠C$.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∴∠CAD=90°−∠C.
∴∠DAE=∠CAD−∠EAC=90°−∠C−$(90°− \frac{1}{2} ∠B-\frac{1}{2}∠C)=\frac{1}{2}(∠B−∠C)$.

【分析】
这道题分为角度计算和角度关系推导两小问，解题思路如下：
(1) 首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义算出∠EAC的度数；之后由AD是BC边上的高可得∠ADC=90°，在直角三角形ADC中求出∠DAC的度数；最后用∠DAC减去∠EAC就能得到∠DAE的度数。
(2) 推导三者数量关系时，将(1)中的具体角度替换为∠B、∠C两个变量，按照和(1)相同的逻辑逐步运算化简，即可得到三者的关系式，题干给出∠B＞∠C可保证所求角度为正。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ B=70°$，$∠ C=34°$，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-34°=76°$
∵AE平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义：
$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×76°=38°$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中：
$∠ DAC=90°-∠ C=90°-34°=56°$
∴$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=56°-38°=18°$
(2) 数量关系为$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$（$∠ B＞∠ C$），证明如下：
根据三角形内角和定理，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C$
∵AE平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)=90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C$
∵$AD⊥ BC$，
∴$∠ ADC=90°$，在$Rt△ ADC$中：
$∠ CAD=90°-∠ C$
∴$∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=90°-∠ C-(90°-\frac{1}{2}∠ B-\frac{1}{2}∠ C)$
化简得：$∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{18°}$
(2) $\boldsymbol{∠ DAE=\frac{1}{2}(∠ B-∠ C)}$（$∠ B＞∠ C$）
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的性质
【点评】
本题是三角形中高与角平分线夹角的典型题型，既考查了基础角度计算，又考查了规律推导能力，掌握推导过程后可直接记住结论，在选择填空类题目中能提升解题效率，需要熟练掌握三角形相关性质完成角度的转化与计算。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$交BC于点D,BE平分$∠ ABC$交AD于点E.若$∠ BED=45°$,则$∠ C$的度数为.

3. 90°

【分析】
解题时先从已知的∠BED入手，它是△ABE的外角，可利用三角形外角性质将其与△ABE的两个内角建立联系；再结合AD、BE是角平分线的条件，把这两个内角转化为△ABC中∠BAC和∠ABC的一半，进而求出∠BAC与∠ABC的和；最后用三角形内角和定理即可算出∠C的度数。
【解析】
∵ ∠BED是△ABE的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ BED = ∠ BAE + ∠ ABE$
∵ AD平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC$
代入上式得：
$∠ BED=\frac{1}{2}∠ BAC+\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)$
已知$∠ BED=45°$，则：
$\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=45°$，解得$∠ BAC+∠ ABC=90°$
在△ABC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ C=180°-(∠ BAC+∠ ABC)=180°-90°=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是通过外角性质搭建角平分线分角与大三角形内角的关联，熟练掌握三角形基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 80°$，点$O$是$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的交点，点$P$是$∠ BOC$，$∠ OCB$的平分线的交点，若$∠ P = 100°$，则$∠ ACB$的度数是________。

4. 60°

【分析】
解题时需结合三角形内角和定理与角平分线的性质逐层推导角的数量关系：第一步先利用△ABC的内角和求出∠ABC与∠ACB的和；第二步根据点O是两个内角平分线的交点，求出∠BOC的度数；第三步结合点P是∠BOC和∠OCB的平分线交点，在△POC中利用内角和求出∠OCP的度数；最后根据角平分线的性质反推得到∠ACB的度数。
【解析】
1. 在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
2. 因为点$O$是$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线的交点，所以：
$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$
3. 因为点$P$是$∠ BOC$、$∠ OCB$的平分线的交点，所以：
$OP$平分$∠ BOC$，$CP$平分$∠ OCB$
则$∠ POC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×130°=65°$，$∠ OCP=\frac{1}{2}∠ OCB$
4. 在$△ POC$中，$∠ P=100°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OCP=180°-∠ P-∠ POC=180°-100°-65°=15°$
因此$∠ OCB=2∠ OCP=2×15°=30°$
5. 结合$CO$平分$∠ ACB$，可得：
$∠ ACB=2∠ OCB=2×30°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角平分线夹角模型的典型习题，需要理清多层角平分线对应的角的数量关系，逐步推导即可得出结果，掌握三角形内角和与角平分线的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线$BE$，$CF$相交于点$P$.
(1)若$∠ ABC=70°$，$∠ ACB=50°$，则$∠ BPC=$；
(2)求证：$∠ BPC=180°-\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$；
(3)若$∠ A=α$，求$∠ BPC$的度数.

5.(1)解:120°.
(2)证明:
∵∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点P,
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,
∴ ∠BPC = 180° − (∠PBC + ∠PCB ) = 180° −$(\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB)=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$.
(3)解:由(2)知,$∠BPC=180°-\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=$
$180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{1}{2}α$.

【分析】
(1) 已知∠ABC和∠ACB的度数，首先根据角平分线的定义算出∠PBC和∠PCB的度数，再利用三角形内角和为180°，即可求出∠BPC的度数；
(2) 要证明∠BPC和∠ABC、∠ACB的关系，先根据角平分线的性质得到∠PBC=½∠ABC，∠PCB=½∠ACB，再结合△PBC的内角和为180°，将∠PBC和∠PCB替换后整理即可得证；
(3) 要求∠BPC用α表示的式子，先利用△ABC的内角和为180°，得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，再代入第(2)问得出的结论，化简后即可得到结果。
【解析】
(1) 解：
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠ABC=70°，∠ACB=50°
∴∠PBC=½∠ABC=½×70°=35°，∠PCB=½∠ACB=½×50°=25°
在△PBC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°-35°-25°=120°
(2) 证明：
∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵在△PBC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∴∠BPC = 180° − (∠PBC + ∠PCB ) = 180° −$(\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB)$=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$，原式得证。
(3) 解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，
代入(2)的结论可得：
∠BPC=180°−$\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)$=180°−$\frac{1}{2}(180°-α)$=90°+$\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boxed{120°}$
(2) 证明见解析
(3) $\boxed{90°+\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，角度运算
【点评】
本题是三角形角平分线夹角的典型题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质和三角形内角和定理推导角度关系，掌握该通用模型后可快速解决同类角度计算与证明问题。
【难度系数】
0.8