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1.如图,在等边三角形ABC中,边BC上的高AD=6,E是高AD上的一个动点,F是边AB的中点,在点E运动的过程中,存在EB+EF的最小值,则这个最小值是（
A.3
B.4
C.5
D.6
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.D
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：首先利用垂直平分线的性质找对称点：因为等边△ABC中AD是BC边上的高，所以AD垂直平分BC，点B关于AD的对称点为点C，因此EB=EC，可将EB+EF转化为EC+EF；再根据“两点之间线段最短”，可知当F、E、C三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度；最后结合等边三角形“各边上的高、中线长度相等”的性质，CF作为AB边上的中线，与BC边上的高AD长度相等，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质可得：EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，EC+EF的值最小，最小值为线段CF的长度
∵F是AB的中点，
∴CF是等边△ABCAB边上的中线
∵等边三角形各边上的高、中线长度相等，
∴CF=AD=6
即EB+EF的最小值为6
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查最短路径问题的实际应用，解题核心是通过轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，结合等边三角形的性质即可求解，注重对转化思想的应用考查。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：首先利用垂直平分线的性质找对称点：因为等边△ABC中AD是BC边上的高，所以AD垂直平分BC，点B关于AD的对称点为点C，因此EB=EC，可将EB+EF转化为EC+EF；再根据“两点之间线段最短”，可知当F、E、C三点共线时，EC+EF的和最小，最小值为线段CF的长度；最后结合等边三角形“各边上的高、中线长度相等”的性质，CF作为AB边上的中线，与BC边上的高AD长度相等，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，根据垂直平分线的性质可得：EB=EC
∴EB+EF=EC+EF
根据两点之间线段最短，当C、E、F三点共线时，EC+EF的值最小，最小值为线段CF的长度
∵F是AB的中点，
∴CF是等边△ABCAB边上的中线
∵等边三角形各边上的高、中线长度相等，
∴CF=AD=6
即EB+EF的最小值为6
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查最短路径问题的实际应用，解题核心是通过轴对称将两条线段和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，结合等边三角形的性质即可求解，注重对转化思想的应用考查。
【难度系数】
0.7
2.如图,在4×4的正方形网格中,直线a外,有A,B两点.在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P的位置应选在点
C
处.(填图中的字母)答案
2.C
解析
【分析】
本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最短问题，解题思路是利用轴对称的性质，将同侧两点转化为异侧两点，再根据“两点之间线段最短”，连接异侧的两个点，与直线的交点即为所求的点P。具体操作时，先找到其中一个点关于直线a的对称点，再连接对称点与另一个点，看连线与直线a的交点对应图中的哪个字母即可。
【解析】
已知点A、B都在直线a的同侧，要使PA+PB最短，作点A关于直线a的对称点A'，根据轴对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB。根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB的长度最短，即PA+PB最短。在网格中连接A'B，可得A'B与直线a的交点为点C，因此点P应选在C点处。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型基础题，解题关键是掌握“同侧两点求最短路径”的轴对称转化方法，结合网格特征可快速确定交点位置，侧重对基础方法和原理的考查。
【难度系数】
0.8
本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最短问题，解题思路是利用轴对称的性质，将同侧两点转化为异侧两点，再根据“两点之间线段最短”，连接异侧的两个点，与直线的交点即为所求的点P。具体操作时，先找到其中一个点关于直线a的对称点，再连接对称点与另一个点，看连线与直线a的交点对应图中的哪个字母即可。
【解析】
已知点A、B都在直线a的同侧，要使PA+PB最短，作点A关于直线a的对称点A'，根据轴对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB。根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB的长度最短，即PA+PB最短。在网格中连接A'B，可得A'B与直线a的交点为点C，因此点P应选在C点处。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型基础题，解题关键是掌握“同侧两点求最短路径”的轴对称转化方法，结合网格特征可快速确定交点位置，侧重对基础方法和原理的考查。
【难度系数】
0.8
3.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
3.解:如图,作点 A 关于燃气管道 l 的对称点 A',连接A'B交 l 于点 P,点 P 即为所求.
解析
【分析】
要解决在直线l上找一点P使PA+PB最短的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段：首先A、B两镇在燃气管道l的同侧，直接连接AB和l没有交点，无法直接用两点之间线段最短的结论，所以我们可以作其中一个点关于直线l的对称点，利用对称点到直线上点的距离与原点到该点的距离相等的性质，将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，再依据两点之间线段最短找到交点，就是所求的P点。
【解析】
1. 作点A关于燃气管道l的对称点A'，根据轴对称的性质，直线l上任意一点到A和A'的距离相等，即对l上任意点P，都有PA=PA'；
2. 因此PA+PB=PA'+PB，要使PA+PB最短，只需PA'+PB最短即可；
3. 根据两点之间线段最短，连接A'B，线段A'B是点A'到点B的最短路径，它与直线l的交点就是P点，此时PA+PB的长度最小。
【答案】
解:如图,作点 A 关于燃气管道 l 的对称点 A',连接A'B交 l 于点 P,点 P 即为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径实际应用问题，解题核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的线段和最值问题转化为异侧两点的线段最短问题，掌握该转化思路即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
要解决在直线l上找一点P使PA+PB最短的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段：首先A、B两镇在燃气管道l的同侧，直接连接AB和l没有交点，无法直接用两点之间线段最短的结论，所以我们可以作其中一个点关于直线l的对称点，利用对称点到直线上点的距离与原点到该点的距离相等的性质，将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，再依据两点之间线段最短找到交点，就是所求的P点。
【解析】
1. 作点A关于燃气管道l的对称点A'，根据轴对称的性质，直线l上任意一点到A和A'的距离相等，即对l上任意点P，都有PA=PA'；
2. 因此PA+PB=PA'+PB，要使PA+PB最短，只需PA'+PB最短即可；
3. 根据两点之间线段最短，连接A'B，线段A'B是点A'到点B的最短路径，它与直线l的交点就是P点，此时PA+PB的长度最小。
【答案】
解:如图,作点 A 关于燃气管道 l 的对称点 A',连接A'B交 l 于点 P,点 P 即为所求.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的“将军饮马”类最短路径实际应用问题，解题核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的线段和最值问题转化为异侧两点的线段最短问题，掌握该转化思路即可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5，则∠AOB的度数是（
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
B
）A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
4.B
解析
【分析】
遇到求三角形周长最小值的动点问题，优先采用轴对称转化线段长度：首先作点P关于两条射线OA、OB的对称点，利用轴对称的性质，将三角形的三边PM、PN分别转化为对称点到M、N的线段，此时△PMN的周长可转化为两条对称点到M、N的线段与MN的和，根据两点之间线段最短，周长的最小值就是两个对称点之间的线段长度。再结合已知OP的长度和周长最小值，判断三角形的形状，最后利用对称的角相等关系推导∠AOB的度数。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，与OA交于点M，与OB交于点N，此时△PMN的周长取得最小值，最小值为P₁P₂的长度。
由轴对称的性质可得：
$OP_1=OP=5$，$OP_2=OP=5$，
$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，
$PM=P_1M$，$PN=P_2N$。
因此$△ PMN$的周长$=PM+PN+MN=P_1M+P_2N+MN$，根据两点之间线段最短，该周长的最小值为$P_1P_2$的长度。
已知$△ PMN$周长的最小值是5，因此$P_1P_2=5$，即$OP_1=OP_2=P_1P_2=5$，$△ OP_1P_2$为等边三角形，可得$∠ P_1OP_2=60°$。
又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ POA+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB$，所以$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，核心解题思路是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解角度，需要熟练掌握轴对称的性质和最短路径的转化方法。
【难度系数】
0.6
遇到求三角形周长最小值的动点问题，优先采用轴对称转化线段长度：首先作点P关于两条射线OA、OB的对称点，利用轴对称的性质，将三角形的三边PM、PN分别转化为对称点到M、N的线段，此时△PMN的周长可转化为两条对称点到M、N的线段与MN的和，根据两点之间线段最短，周长的最小值就是两个对称点之间的线段长度。再结合已知OP的长度和周长最小值，判断三角形的形状，最后利用对称的角相等关系推导∠AOB的度数。
【解析】
解：分别作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，与OA交于点M，与OB交于点N，此时△PMN的周长取得最小值，最小值为P₁P₂的长度。
由轴对称的性质可得：
$OP_1=OP=5$，$OP_2=OP=5$，
$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，
$PM=P_1M$，$PN=P_2N$。
因此$△ PMN$的周长$=PM+PN+MN=P_1M+P_2N+MN$，根据两点之间线段最短，该周长的最小值为$P_1P_2$的长度。
已知$△ PMN$周长的最小值是5，因此$P_1P_2=5$，即$OP_1=OP_2=P_1P_2=5$，$△ OP_1P_2$为等边三角形，可得$∠ P_1OP_2=60°$。
又因为$∠ P_1OP_2=∠ P_1OA+∠ POA+∠ POB+∠ P_2OB=2(∠ POA+∠ POB)=2∠ AOB$，所以$2∠ AOB=60°$，解得$∠ AOB=30°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，核心解题思路是通过作对称点将折线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合特殊三角形的性质求解角度，需要熟练掌握轴对称的性质和最短路径的转化方法。
【难度系数】
0.6
5.如图，BA，BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建一个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
答案
5.解:如图,点 D,E 即为加油站的位置.
解析
【分析】
要使油罐车行驶的总路程最短，本质是让围成的三角形周长最短。我们可以利用轴对称的性质，将同侧的点转化到直线另一侧，把三条折线段的和转化为两点之间的线段，结合“两点之间线段最短”找到最短路径。具体思考步骤：①分别作点P关于BA、BC的对称点，利用轴对称性质将PE、PD转化为对称点到交点的线段；②连接两个对称点，与两条公路的交点即为加油站的位置，此时总路程等于两个对称点之间的线段长，是最短的。
【解析】
①作点P关于直线BA的对称点$P'$，作点P关于直线BC的对称点$P''$；
②连接$P'P''$，分别交BA于点E，交BC于点D；
根据轴对称的性质可得：$PE=P'E$，$PD=P''D$，因此总路程$PE+ED+DP = P'E + ED + DP''$。根据两点之间线段最短，当E、D在$P'P''$线段上时，$P'E + ED + DP''$的长度最短，等于$P'P''$的长度，此时总路程最短。
【答案】
点 D,E 即为加油站的位置.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用问题，核心解题思想是转化思想，通过轴对称将折线距离转化为两点之间的线段距离，掌握这类对称法求最短路径的方法，可解决同类型的路径优化问题。
【难度系数】
0.7
要使油罐车行驶的总路程最短，本质是让围成的三角形周长最短。我们可以利用轴对称的性质，将同侧的点转化到直线另一侧，把三条折线段的和转化为两点之间的线段，结合“两点之间线段最短”找到最短路径。具体思考步骤：①分别作点P关于BA、BC的对称点，利用轴对称性质将PE、PD转化为对称点到交点的线段；②连接两个对称点，与两条公路的交点即为加油站的位置，此时总路程等于两个对称点之间的线段长，是最短的。
【解析】
①作点P关于直线BA的对称点$P'$，作点P关于直线BC的对称点$P''$；
②连接$P'P''$，分别交BA于点E，交BC于点D；
根据轴对称的性质可得：$PE=P'E$，$PD=P''D$，因此总路程$PE+ED+DP = P'E + ED + DP''$。根据两点之间线段最短，当E、D在$P'P''$线段上时，$P'E + ED + DP''$的长度最短，等于$P'P''$的长度，此时总路程最短。
【答案】
点 D,E 即为加油站的位置.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用问题，核心解题思想是转化思想，通过轴对称将折线距离转化为两点之间的线段距离，掌握这类对称法求最短路径的方法，可解决同类型的路径优化问题。
【难度系数】
0.7
6.如图，直线 $ l_1 // l_2 $，A，B为两定点，M，N分别在直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 上，且 $ MN ⊥ l_2 $，请确定M，N的位置，使 $ AM + MN + BN $ 最小。
答案
6.解:如图,过点 A 作 AA₁⊥l₁,且 AA₁=MN,连接 A₁B 交 l₂ 于点 N,过点 N 作 MN⊥l₂ 交 l₁ 于点 M,连接 AM,则 AM+MN+BN 最小.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：$l_1 // l_2$且$MN ⊥ l_2$，可知$MN$的长度等于两条平行线之间的距离，是固定不变的定值，因此要使$AM+MN+BN$最小，只需保证$AM+BN$的和最小即可。接下来我们通过平移转化，把不共线的两条线段$AM$和$BN$转化到同一条路径上：将点$A$沿着垂直于$l_1$的方向向下平移，使平移的距离等于$MN$的长度，得到点$A_1$，根据平移的性质可知$AM=A_1N$，此时$AM+BN$就转化为$A_1N+BN$。根据“两点之间，线段最短”，连接$A_1B$，它与$l_2$的交点就是使$A_1N+BN$最小的点$N$，再过$N$作$MN$垂直$l_2$交$l_1$于$M$，就能得到所求的点$M$、$N$。
【解析】
1. 分析定值：因为$l_1 // l_2$，$MN ⊥ l_2$，所以$MN$的长度是$l_1$与$l_2$之间的距离，为固定值，因此求$AM+MN+BN$的最小值可转化为求$AM+BN$的最小值。
2. 平移转化：过点$A$作$AA_1 ⊥ l_1$，且$AA_1=MN$，可得$AA_1 // MN$且$AA_1=MN$，根据平移的性质，$AM=A_1N$。
3. 确定点$N$：根据两点之间线段最短，连接$A_1B$，与$l_2$的交点即为点$N$，此时$A_1N+BN=A_1B$，为$A_1$到$B$的最短路径，即$AM+BN$取得最小值。
4. 确定点$M$：过点$N$作$MN ⊥ l_2$，交$l_1$于点$M$，此时$AM+MN+BN$最小。
【答案】
解:如图,过点 A 作 AA₁⊥l₁,且 AA₁=MN,连接 A₁B 交 l₂ 于点 N,过点 N 作 MN⊥l₂ 交 l₁ 于点 M,连接 AM,则 AM+MN+BN 最小.
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，核心解题思路是先分离出固定长度的线段，将问题转化为两条动线段的和最小问题，再通过平移将分散的动线段整合，利用两点之间线段最短的原理求解，很好地考查了转化思想和几何作图能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：$l_1 // l_2$且$MN ⊥ l_2$，可知$MN$的长度等于两条平行线之间的距离，是固定不变的定值，因此要使$AM+MN+BN$最小，只需保证$AM+BN$的和最小即可。接下来我们通过平移转化，把不共线的两条线段$AM$和$BN$转化到同一条路径上：将点$A$沿着垂直于$l_1$的方向向下平移，使平移的距离等于$MN$的长度，得到点$A_1$，根据平移的性质可知$AM=A_1N$，此时$AM+BN$就转化为$A_1N+BN$。根据“两点之间，线段最短”，连接$A_1B$，它与$l_2$的交点就是使$A_1N+BN$最小的点$N$，再过$N$作$MN$垂直$l_2$交$l_1$于$M$，就能得到所求的点$M$、$N$。
【解析】
1. 分析定值：因为$l_1 // l_2$，$MN ⊥ l_2$，所以$MN$的长度是$l_1$与$l_2$之间的距离，为固定值，因此求$AM+MN+BN$的最小值可转化为求$AM+BN$的最小值。
2. 平移转化：过点$A$作$AA_1 ⊥ l_1$，且$AA_1=MN$，可得$AA_1 // MN$且$AA_1=MN$，根据平移的性质，$AM=A_1N$。
3. 确定点$N$：根据两点之间线段最短，连接$A_1B$，与$l_2$的交点即为点$N$，此时$A_1N+BN=A_1B$，为$A_1$到$B$的最短路径，即$AM+BN$取得最小值。
4. 确定点$M$：过点$N$作$MN ⊥ l_2$，交$l_1$于点$M$，此时$AM+MN+BN$最小。
【答案】
解:如图,过点 A 作 AA₁⊥l₁,且 AA₁=MN,连接 A₁B 交 l₂ 于点 N,过点 N 作 MN⊥l₂ 交 l₁ 于点 M,连接 AM,则 AM+MN+BN 最小.
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，核心解题思路是先分离出固定长度的线段，将问题转化为两条动线段的和最小问题，再通过平移将分散的动线段整合，利用两点之间线段最短的原理求解，很好地考查了转化思想和几何作图能力。
【难度系数】
0.7
7.如图，已知线段$a$，点$A$，$B$在直线$l$的同侧，在直线$l$上求作两点$P$，$Q$（点$P$在点$Q$的左侧），且$PQ=a$，使四边形$APQB$的周长最小。
答案
7.解:如图,①作 AM//直线 l,且 AM=a;②作点 M 关于直线 l 的对称点 M',连接 BM',交直线 l 于点 Q;③在点 Q 的左侧截取 QP=a,交 l 于点 P,连接 AP,则点 P,Q 即为所求.
解析
【分析】
要使四边形APQB的周长最小，首先分析周长的组成：周长=AP+PQ+QB+AB，其中AB是定点A、B的距离，为定值，PQ的长度固定为a，因此只需使AP+QB的和最小即可。接下来转化线段：将点A沿平行于直线l的方向平移a个单位得到点M，根据平移的性质可知AP=MQ，此时问题转化为在直线l上找一点Q，使MQ+QB的和最小，这属于典型的将军饮马问题，利用轴对称的性质，作M关于直线l的对称点M'，则MQ=M'Q，因此MQ+QB=M'Q+QB，根据“两点之间线段最短”，当M'、Q、B三点共线时，M'Q+QB的和最小，即可确定Q的位置，再向左截取PQ=a得到P点。
【解析】
1. 分析周长的不变量：四边形APQB的周长为$AP+PQ+QB+AB$，其中$AB$为定值，$PQ=a$也为定值，因此只需使$AP+QB$的和最小，即可使周长最小。
2. 平移转化线段：过点$A$作$AM//$直线$l$，且使$AM=a$，根据平移的性质可得$AP=MQ$（$Q$为直线$l$上的点），此时$AP+QB=MQ+QB$。
3. 利用轴对称求最短路径：作点$M$关于直线$l$的对称点$M'$，根据轴对称的性质得$MQ=M'Q$，因此$MQ+QB=M'Q+QB$。根据“两点之间，线段最短”，连接$BM'$，与直线$l$的交点即为使$M'Q+QB$最小的点$Q$。
4. 确定点$P$：在直线$l$上点$Q$的左侧截取$QP=a$，得到点$P$，连接$AP$、$QB$，此时四边形$APQB$的周长最小。
【答案】
解:如图,①作 AM//直线 l,且 AM=a;②作点 M 关于直线 l 的对称点 M',连接 BM',交直线 l 于点 Q;③在点 Q 的左侧截取 QP=a,交 l 于点 P,连接 AP,则点 P,Q 即为所求.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，平移的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常见变型，核心是先剔除周长中的定值部分，将问题转化为两条动线段的和最小问题，再结合平移变换将分散的动线段关联，最后利用轴对称和“两点之间线段最短”的原理求解，能有效考查学生对最短路径常用解题方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
要使四边形APQB的周长最小，首先分析周长的组成：周长=AP+PQ+QB+AB，其中AB是定点A、B的距离，为定值，PQ的长度固定为a，因此只需使AP+QB的和最小即可。接下来转化线段：将点A沿平行于直线l的方向平移a个单位得到点M，根据平移的性质可知AP=MQ，此时问题转化为在直线l上找一点Q，使MQ+QB的和最小，这属于典型的将军饮马问题，利用轴对称的性质，作M关于直线l的对称点M'，则MQ=M'Q，因此MQ+QB=M'Q+QB，根据“两点之间线段最短”，当M'、Q、B三点共线时，M'Q+QB的和最小，即可确定Q的位置，再向左截取PQ=a得到P点。
【解析】
1. 分析周长的不变量：四边形APQB的周长为$AP+PQ+QB+AB$，其中$AB$为定值，$PQ=a$也为定值，因此只需使$AP+QB$的和最小，即可使周长最小。
2. 平移转化线段：过点$A$作$AM//$直线$l$，且使$AM=a$，根据平移的性质可得$AP=MQ$（$Q$为直线$l$上的点），此时$AP+QB=MQ+QB$。
3. 利用轴对称求最短路径：作点$M$关于直线$l$的对称点$M'$，根据轴对称的性质得$MQ=M'Q$，因此$MQ+QB=M'Q+QB$。根据“两点之间，线段最短”，连接$BM'$，与直线$l$的交点即为使$M'Q+QB$最小的点$Q$。
4. 确定点$P$：在直线$l$上点$Q$的左侧截取$QP=a$，得到点$P$，连接$AP$、$QB$，此时四边形$APQB$的周长最小。
【答案】
解:如图,①作 AM//直线 l,且 AM=a;②作点 M 关于直线 l 的对称点 M',连接 BM',交直线 l 于点 Q;③在点 Q 的左侧截取 QP=a,交 l 于点 P,连接 AP,则点 P,Q 即为所求.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，平移的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常见变型，核心是先剔除周长中的定值部分，将问题转化为两条动线段的和最小问题，再结合平移变换将分散的动线段关联，最后利用轴对称和“两点之间线段最短”的原理求解，能有效考查学生对最短路径常用解题方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
