8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,BD,CE分别是$∠ ABC$,$∠ BCD$的平分线,则图中的等腰三角形有 ()

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

8.A

【分析】
解题时首先利用等腰三角形△ABC的已知边相等的条件，结合三角形内角和算出△ABC两个底角的度数，再根据角平分线的定义得到平分后的小角的度数，接下来利用三角形外角的性质算出其余角的度数，最后根据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，逐个找出所有的等腰三角形，统计数量即可。
【解析】
1. 判定△ABC：已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
根据三角形内角和，$∠ ABC=∠ ACB=(180°-∠ A)÷2=(180°-36°)÷2=72°$。
2. 判定△ABD：BD是$∠ ABC$的平分线，因此$∠ ABD=∠ DBC=72°÷2=36°$。
在△ABD中，$∠ A=∠ ABD=36°$，根据等角对等边可得$AD=BD$，因此△ABD是等腰三角形。
3. 判定△BCD：$∠ BDC$是△ABD的外角，因此$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=36°+36°=72°$。
可得$∠ BDC=∠ ACB=72°$，根据等角对等边可得$BD=BC$，因此△BCD是等腰三角形。
4. 判定△BCE：CE是$∠ BCD$的平分线，因此$∠ BCE=∠ DCE=72°÷2=36°$。
在△BCE中，$∠ DBC=∠ BCE=36°$，根据等角对等边可得$BE=CE$，因此△BCE是等腰三角形。
5. 判定△CDE：$∠ CED$是△BCE的外角，因此$∠ CED=∠ DBC+∠ BCE=36°+36°=72°$。
可得$∠ CED=∠ CDE=72°$，根据等角对等边可得$CE=CD$，因此△CDE是等腰三角形。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是先推导得出图中各角的度数，再结合等角对等边逐一判断，解题时要注意按顺序排查，避免漏数等腰三角形。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,在BC的延长线上取点E,连接AE,若$∠ BAD=32°$,$∠ BAE=84°$,则$∠ CEA$的度数为（）

A.$20°$
B.$32°$
C.$38°$
D.$42°$

9.C

【分析】
首先观察题干条件，已知AB=AC、D是BC中点，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，先推出AD平分∠BAC，求出∠BAC的度数；再根据等腰三角形两底角相等的特征，算出底角∠B的度数；最后在△ABE中，结合三角形内角和为180°的定理，代入已知角度即可求出∠CEA的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAC=2∠BAD=2×32°=64°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-64°)÷2=58°。
在△ABE中，∠BAE+∠B+∠CEA=180°，已知∠BAE=84°，
∴∠CEA=180°-∠BAE-∠B=180°-84°-58°=38°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形的性质找到已知角和未知角的关系，再结合三角形内角和定理计算即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

10. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，P，Q两点分别是边AC，BC上的动点，且PQ//AD，当∠PDQ=30°时，如果CQ=0.5，那么AB的长为。

10.4

【分析】
首先利用等边三角形“三线合一”的性质，得出AD是BC的中线，得到$DC=\frac{1}{2}AB$；再由$PQ// AD$推出$PQ⊥ BC$，得到$△ PQC$和$△ PQD$都是直角三角形；接下来先在$Rt△ PQC$中，结合$∠ C=60°$、$CQ=0.5$，用含$30°$角的直角三角形的性质和勾股定理求出PQ的长度；再在$Rt△ PDQ$中利用$∠ PDQ=30°$求出DQ的长度；最后根据$DQ=DC-CQ$建立等式，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AB=BC=AC$，$∠ C=60°$，
∵$AD⊥ BC$，根据等边三角形三线合一的性质，
∴D是BC的中点，即$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。
∵$PQ// AD$，$AD⊥ BC$，
∴$PQ⊥ BC$，即$∠ PQC=∠ PQD=90°$。
1. 在$Rt△ PQC$中，$∠ C=60°$，
∴$∠ QPC=90°-60°=30°$，
∵$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，且$CQ=0.5$，
∴$PC=2CQ=1$，
由勾股定理得：$PQ=\sqrt{PC^2-CQ^2}=\sqrt{1^2-0.5^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 在$Rt△ PDQ$中，$∠ PDQ=30°$，
∴$PD=2PQ=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$DQ=\sqrt{PD^2-PQ^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}=1.5$。
3. 又
∵$DQ=DC-CQ$，且$DC=\frac{1}{2}AB$，
代入得：$1.5=\frac{1}{2}AB-0.5$，
解得：$\frac{1}{2}AB=2$，即$AB=4$。
【答案】
4
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊三角形的综合应用题，解题核心是通过平行线的性质构造直角三角形，再结合特殊三角形的边长关系逐步推导，要求学生能熟练将已知角度和边长条件转化为边的数量关系，理清线段之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.6

11.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$BC$的中点，过点$D$作$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别为$E$，$F$。
(1)求证：$DE=DF$；
(2)若$∠ A=60°$，$BE=1$，求$△ ABC$的周长。

11.(1)证明:$∵DE⊥AB,DF⊥AC$,
$∴∠BED=∠CFD=90°.$
$∵AB=AC,∴∠B=∠C.$
$∵D$是BC的中点,$∴BD=CD.$
在$△BED$和$△CFD$中,$\begin{cases} ∠BED=∠CFD, \\ ∠B=∠C, \\ BD=CD, \end{cases}$
$∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.$
(2)解:$∵AB=AC,∠A=60°$,
$∴△ABC$为等边三角形,$∴∠B=60°.$
$∵∠BED=90°,∴∠BDE=30°.∴BE=\frac{1}{2}BD.$
$∵BE=1,∴BD=2.∴BC=2BD=4.$
$∴△ABC$的周长为$3BC=12.$

【分析】
(1)要证明DE=DF，可通过证明两条线段所在的△BED和△CFD全等来推导。首先由垂直的定义得到两个直角相等，结合等腰三角形两底角相等、D是BC中点得到BD=CD，利用AAS判定定理即可证明两个三角形全等，进而得到对应边DE=DF。
(2)已知AB=AC且∠A=60°，可先判定△ABC是等边三角形，得到∠B=60°且三边相等；再在Rt△BED中，利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”的性质，由BE的长度求出BD的长，进而得到BC的边长，最后根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
(1)证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED和△CFD中，
$\begin{cases} ∠BED=∠CFD \\ ∠B=∠C \\ BD=CD \end{cases}$
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF。
(2)解：
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，BC=AB=AC，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∵BE=1，
∴BD=2，
∵D是BC中点，
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周长为3×4=12。
【答案】
(1) 证明成立，DE=DF；
(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是三角形基础综合题，属于常考题型，第一问是全等三角形证明的典型考法，第二问需要结合特殊三角形的性质逐步推导边长，整体侧重对基础定理的理解和应用，熟练掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足AE=AB，AF平分∠CAE交BE于点F.
(1) 如图1，连接CF，求证：△ACF≌△AEF；
(2) 如图2，当∠ABC=60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明.

12.(1)证明:$∵AF$平分$∠CAE$,
$∴∠EAF=∠CAF.$
$∵AB=AC,AB=AE,∴AE=AC.$
在$△ACF$和$△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠CAF=∠EAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
$∴△ACF≌△AEF(SAS).$
(2)解:结论:$AF+EF=BF$.证明如下:
如图2,连接CF,在FB上截取$BM=CF$,连接AM.
$∵AB=AE$,
$∴∠E=∠ABM.$
由(1)易得$△ACF≌∠AEF$,
$∴EF=CF,∠ACF=∠E=∠ABM.$
在$△ABM$和$△ACF$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACF, \\ BM=CF, \end{cases}$
$∴△ABM≌△ACF(SAS).$
$∴AM=AF,∠BAM=∠CAF.$
$∵AB=AC,∠ABC=60°$,
$∴△ABC$是等边三角形.
$∴∠BAC=60°.$
$∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°.$
$∵AM=AF,∴△AMF$是等边三角形.
$∴AF=AM=MF.$
$∴AF+EF=MF+BM=BF$,
即$AF+EF=BF.$

【分析】
(1) 要证明△ACF≌△AEF，首先梳理已知条件：由AF平分∠CAE可得一组对应角相等；由AB=AC、AB=AE可推出AE=AC，得到一组对应边相等；再加上公共边AF，满足全等三角形的SAS判定条件，即可完成证明。
(2) 探究三条线段的数量关系，通常采用截长补短的思路。首先由AB=AC、∠ABC=60°可判定△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°；结合(1)的全等结论可得EF=CF、∠ACF=∠E，再由AB=AE得∠E=∠ABM，可推出∠ABM=∠ACF。在BF上截取BM=CF，证明△ABM≌△ACF，得到AM=AF、∠BAM=∠CAF，进而推出∠MAF=∠BAC=60°，判定△AMF为等边三角形，得到AF=MF，即可推导出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF。
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC。
在△ACF和△AEF中：
$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠CAF=∠EAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△ACF≌△AEF（SAS）。
(2) 结论：$AF+EF=BF$，证明如下：
如图2，连接CF，在FB上截取$BM=CF$，连接AM。
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABM。
由(1)得△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠ACF=∠E=∠ABM。
在△ABM和△ACF中：
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ABM=∠ACF, \\ BM=CF, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACF（SAS）。
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF。
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°。
∵AM=AF，
∴△AMF是等边三角形，
∴AF=MF。
∴$AF+EF=MF+BM=BF$，即$AF+EF=BF$。
【答案】
(1) 已证△ACF≌△AEF；(2) 结论为$\boldsymbol{AF+EF=BF}$，证明如上。

【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合类题目，第一问较为基础，直接结合已知条件利用SAS判定全等即可；第二问需要运用截长补短的方法构造全等三角形，结合等边三角形的性质推导线段关系，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6