1. 小荣同学利用图甲所示的电路测量未知电阻$ R_x $的阻值。

(1)请你根据图甲电路图，用笔画线代替导线，帮助小荣同学在图乙中完成实验电路的连接。
(2)将滑片P置于滑动变阻器阻值最大位置，闭合开关S，小荣同学发现，无论怎样移动滑片P，电流表的示数始终为零，电压表示数接近电源电压，则电路中存在的故障可能是（填“$ R_x $短路”或“$ R_x $断路”）。
(3)排除故障后，移动滑片P，记录多组数据，画出待测电阻$ R_x $的I-U图像，如图丙所示，由图像可得$ R_x = $Ω。
(4)实验结束后，同桌小德也利用该装置进行实验，测量待测电阻R的阻值，检查时发现电压表已损坏，于是又找到一个已知阻值的电阻$ R_0 $和开关，设计的电路如图丁所示。
①闭合开关$ S_1 $，断开开关$ S_2 $，读出此时电流表的示数$ I_1 $；
②，读出此时电流表示数$ I_2 $；
③得出待测电阻R的表达式：$ R = $。

(1)
(2) $R_x$断路
(3) 5
(4) ②闭合开关$\mathrm{S_2}$，断开开关$\mathrm{S_1}$
③$\dfrac{I_1 R_0}{I_2}$
【点拨】(4)①闭合开关$ S_1 $，断开开关$ S_2 $，读出此时电流表示数$ I_1 $，此时定值电阻两端的电压$ U_0 = I_1 R_0 $；②断开开关$ S_1 $，闭合开关$ S_2 $，读出此时电流表示数$ I_2 $，此时待测电阻两端的电压$ U_R = I_2 R $；因$ U_R $、$ U_0 $均为电源电压，即$ I_2 R = I_1 R_0 $，则待测电阻$ R = \dfrac{I_1 R_0}{I_2} $。

【分析】
本题围绕电阻测量展开，解题思路如下：
1. 电路连接：根据图甲的串联电路结构，滑动变阻器需“一上一下”接线，电压表并联在待测电阻$R_x$两端，结合丙图电压范围选0~3V量程，电流表串联在电路中，完成实物连接。
2. 故障判断：电流表无示数说明电路断路，电压表示数接近电源电压，说明电压表两端与电源连通，据此判断故障。
3. 电阻计算：利用欧姆定律$R=\frac{U}{I}$，从I-U图像中选取一组对应电压和电流值，计算待测电阻阻值。
4. 缺电压表的特殊测电阻：利用电源电压不变，分别测量已知电阻$R_0$和待测电阻$R$的电流，根据$U=IR$列等式推导$R$的表达式。
【解析】
(1) 电路连接：滑动变阻器接一上一下接线柱，电流表串联在电路中，电压表并联在$R_x$两端，量程选0~3V，连接后符合图甲电路要求。
(2) 故障分析：电流表始终为零，说明电路断路；电压表示数接近电源电压，说明电压表与电源连通，因此故障为$R_x$断路。
(3) 计算$R_x$：从丙图取点，当$U=2.0V$时，$I=0.4A$，根据欧姆定律$R_x=\frac{U}{I}=\frac{2.0V}{0.4A}=5Ω$。
(4) 特殊测电阻：①闭合$S_1$，断开$S_2$，电流为$I_1$，电源电压$U=I_1R_0$；②闭合$S_2$，断开$S_1$，电流为$I_2$，电源电压$U=I_2R$；因电源电压不变，故$I_1R_0=I_2R$，解得$R=\frac{I_1R_0}{I_2}$。
【答案】
(1)
(2) $R_x$断路
(3) 5
(4) ②闭合开关$\mathrm{S_2}$，断开开关$\mathrm{S_1}$
③$\dfrac{I_1 R_0}{I_2}$
【知识点】
伏安法测电阻、欧姆定律、特殊方法测电阻
【点评】
本题考查电阻测量的实验，涵盖电路连接、故障分析、电阻计算及特殊方法测电阻，注重基础应用，难度适中。
【难度系数】
0.5

2. 如图所示，阻值已知的电阻$R_0$和未知电阻$R_x$串联，利用这个电路可以测出$R_x$的电阻。请将下面的空填写完整。
(1)只闭合开关$\mathrm{S}_1$，测出电路中的电流为$I_1$，根据欧姆定律可得$R_x$两端的电压为，$R_0$两端的电压为，根据串联电路中电源电压等于各用电器两端电压之和，可得电源电压为。
(2)接下来再闭合开关$\mathrm{S}_2$，读出通过的电流为$I_2$，则电源电压为。
(3)于是可得$R_x$的表达式为$R_x=$（用$R_0$、$I_1$、$I_2$表示）。

(1) $I_1 R_x$；$I_1 R_0$；$I_1 R_0 + I_1 R_x$
(2) $R_x$；$I_2 R_x$
(3) $\dfrac{I_1}{I_2-I_1}R_0$

【分析】
本题通过开关切换改变电路连接方式，结合欧姆定律和串联电路规律测量未知电阻$R_x$。解题时分两种开关状态分析：①只闭合$\mathrm{S}_1$时，$R_x$与$R_0$串联，根据欧姆定律计算各部分电压和电源总电压；②闭合$\mathrm{S}_2$后，$R_0$被短路，只有$R_x$接入电路，根据电源电压不变联立两个状态的表达式，即可推导出$R_x$的表达式。
【解析】
(1) 只闭合开关$\mathrm{S}_1$时，$R_x$与$R_0$串联，电路电流为$I_1$。根据欧姆定律$U=IR$，$R_x$两端电压为$U_x=I_1R_x$；$R_0$两端电压为$U_0=I_1R_0$。串联电路中电源电压等于各用电器电压之和，因此电源电压$U=U_0+U_x=I_1R_0 + I_1R_x$。
(2) 再闭合开关$\mathrm{S}_2$时，$R_0$被短路，电路中只有$R_x$接入，此时电流表测通过$R_x$的电流，示数为$I_2$，因此电源电压$U=I_2R_x$。
(3) 由于电源电压不变，联立两个状态的电源电压表达式：$I_1R_0 + I_1R_x = I_2R_x$，整理得：$I_1R_0 = R_x(I_2 - I_1)$，解得$R_x=\dfrac{I_1}{I_2-I_1}R_0$。
【答案】
(1) $I_1 R_x$；$I_1 R_0$；$I_1 R_0 + I_1 R_x$
(2) $R_x$；$I_2 R_x$
(3) $\dfrac{I_1}{I_2-I_1}R_0$
【知识点】
欧姆定律；串联电路电压规律；电阻的测量
【点评】
本题通过开关切换改变电路结构，结合串联电路特点和欧姆定律测量未知电阻，属于电学中电阻测量的基础题型，考查学生的电路分析和公式推导能力，是常规的电阻测量方法。
【难度系数】
0.5

3. 小德同学在测量未知电阻的阻值时，电压表损坏，于是他利用原有器材设计如图所示的电路，也顺利测出待测电阻$R_x$的阻值（滑动变阻器最大阻值为$R_0$，电源电压未知但不变）。请将下列实验步骤补充完整：
①闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P移到a端，记录电流表示数为$I_1$；
②闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P移到，记录电流表示数为$I_2$；
③写出待测电阻的表达式：$R_x = $（用$R_0$、$I_1$、$I_2$表示）。

②$b$端
③$\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$
【点拨】③在步骤②中，闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P移到$b$端，$R_x$被短路，只有滑动变阻器工作，此时滑动变阻器接入电路的阻值最大，为$R_0$，电流表示数为$I_2$，所以电源电压$U=I_2 R_0$；在步骤①中，闭合开关S，将滑动变阻器的滑片P移到$a$端，滑动变阻器最大阻值与$R_x$并联，总电流为$I_1$；两次实验中，滑动变阻器两端电压均等于电源电压，且接入电路的阻值不变，所以通过滑动变阻器的电流均为$I_2$，根据并联电路的电流规律可得，通过待测电阻的电流$I_x=I_1-I_2$，并联电路各支路两端电压相等，则待测电阻两端的电压$U_x=U=I_2 R_0$，所以待测电阻$R_x=\dfrac{U_x}{I_x}=\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$。

【分析】
要在电压表损坏的情况下测量未知电阻$R_x$，需利用滑动变阻器的最大阻值$R_0$，通过改变滑片位置改变电路结构：当滑片在$a$端时，滑动变阻器全部电阻与$R_x$并联，电流表测干路总电流；当滑片在$b$端时，$R_x$被短路，电路中只有滑动变阻器全部电阻接入，电流表测此时电流。结合电源电压不变，利用并联电路的电流规律和欧姆定律即可推导$R_x$的表达式。
【解析】
步骤①：闭合开关$S$，将滑片移到$a$端，滑动变阻器最大阻值$R_0$与$R_x$并联，电流表测干路电流，记为$I_1$，此时干路电流$I_1 = I_{\mathrm{滑}} + I_x$（$I_{\mathrm{滑}}$为通过滑动变阻器的电流，$I_x$为通过$R_x$的电流）；
步骤②：闭合开关$S$，将滑片移到$b$端，$R_x$被短路，电路中只有滑动变阻器全部电阻$R_0$接入，电流表测此时电流，记为$I_2$，此时电源电压$U = I_2 R_0$；
步骤③：由于并联电路中各支路电压等于电源电压，两次实验中滑动变阻器两端电压均为$U$，因此通过滑动变阻器的电流始终为$I_{\mathrm{滑}} = \frac{U}{R_0} = I_2$。结合并联电路电流规律，通过$R_x$的电流$I_x = I_1 - I_2$，又因为$R_x$两端电压等于电源电压$U = I_2 R_0$，根据欧姆定律得：$R_x = \frac{U}{I_x} = \frac{I_2 R_0}{I_1 - I_2}$。
【答案】
②$b$端；③$\dfrac{I_2}{I_1-I_2}R_0$
【知识点】
特殊方法测电阻、并联电路规律、欧姆定律
【点评】
本题在缺少电压表的条件下，通过改变滑动变阻器滑片位置构建不同电路状态，利用并联电路特点间接获取待测电阻的电压和电流，考查了电路分析与欧姆定律的灵活应用，是测电阻的典型特殊方法题。
【难度系数】
0.5

4. 2025·天津 新考法·方案设计 小明从废弃的电热锅中拆下了一个加热盘，其阻值在28～32 Ω之间。为测量其电阻，他找来了一个电源(电压$U_0$为35 V)，一个电流表(测量范围为0～0.6 A)，两个滑动变阻器$R_1$(最大阻值约为50 Ω)和$R_2$(最大阻值约为100 Ω)，开关和导线若干。请你合理选择上述器材设计实验，测出加热盘电阻的阻值。要求：
(1)画出实验电路图。
(2)写出实验步骤及所需测量的物理量。
(3)写出加热盘电阻的数学表达式(用已知量和测量量表示)。

(1)
(2) 实验步骤：①按照电路图连接电路；
②闭合开关$\mathrm{S_1}$、$\mathrm{S_2}$，调节滑动变阻器$R_2$滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；
③断开开关$\mathrm{S_2}$，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$。
(3) $R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_1 I_2}U_0$
【点拨】(3)闭合开关$\mathrm{S_1}$、$\mathrm{S_2}$，滑动变阻器$R_2$单独接入电路，电流表测电路电流，调节滑动变阻器滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$，则滑动变阻器$R_2$接入电路的阻值为$R_2=\dfrac{U_0}{I_1}$，断开开关$\mathrm{S_2}$，$R_x$和滑动变阻器$R_2$串联，电流表测电路电流，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$，则总电阻为$R_\mathrm{总}=\dfrac{U_0}{I_2}$，则$R_x$阻值为$R_x=R_\mathrm{总}-R_2=\dfrac{U_0}{I_2}-\dfrac{U_0}{I_1}=\dfrac{I_1-I_2}{I_1 I_2}U_0$。

【分析】
要测量阻值在28～32Ω之间的加热盘电阻Rx，由于电源电压35V，若直接接入Rx，电路电流约为I=U/Rx≈35V/30Ω≈1.17A，超过电流表0～0.6A的量程，因此需利用滑动变阻器R2限制电流，同时通过开关控制Rx是否接入电路，实现两次不同的电路状态，结合欧姆定律间接计算Rx。具体思路：①闭合S1、S2时，Rx被短路，电路仅为R2，读出电流I1可算出R2的阻值；②断开S2，Rx与R2串联，保持滑片位置不变，读出电流I2可算出总电阻，总电阻减去R2的阻值即为Rx。
【解析】
(1) 实验电路图：如题目所给（S2与Rx并联，再与R2、电流表、S1、电源串联）；
(2) 实验步骤：①按照电路图连接电路；②闭合开关$\mathrm{S_1}$、$\mathrm{S_2}$，调节滑动变阻器$R_2$的滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；③断开开关$\mathrm{S_2}$，保持滑动变阻器滑片位置不变，读出电流表的示数$I_2$；
(3) 推导：当$\mathrm{S_1}$、$\mathrm{S_2}$闭合时，电路为$R_2$的简单电路，电源电压为$U_0$，由欧姆定律得$R_2=\dfrac{U_0}{I_1}$；当$\mathrm{S_1}$闭合、$\mathrm{S_2}$断开时，$R_x$与$R_2$串联，总电阻$R_{\mathrm{总}}=\dfrac{U_0}{I_2}$；根据串联电路电阻规律，$R_x=R_{\mathrm{总}}-R_2=\dfrac{U_0}{I_2}-\dfrac{U_0}{I_1}=\dfrac{(I_1-I_2)U_0}{I_1I_2}$。
【答案】
；实验步骤：①按照电路图连接电路；②闭合开关$\mathrm{S_1}$、$\mathrm{S_2}$，调节滑动变阻器$R_2$滑片到适当位置，读出电流表的示数$I_1$；③断开开关$\mathrm{S_2}$，保持滑片位置不动，读出电流表的示数$I_2$；$R_x=\dfrac{I_1-I_2}{I_1I_2}U_0$
【知识点】
欧姆定律、串联电阻规律、特殊方法测电阻
【点评】
本题为特殊方法测电阻的方案设计题，利用开关通断改变电路结构，结合欧姆定律间接计算未知电阻，考查电路分析、公式推导能力，需注意电流表量程限制对电路设计的影响。
【难度系数】
0.5