11. 如图15.3-16，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，过点$B$的直线$BE$交直线$AC$于点$D$，$CE⊥ BE$，垂足为$E$，$BE$平分$∠ ABC$。求证：(1) $BD=2CE$；(2) $AB+AD=BC$。

证明：(1) 如图，延长$CE$，$BA$交于点$F$.

$\because CE⊥ BE$，垂足为$E$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ BEF=∠ BEC=90°$,
$∠ CBE=∠ FBE$.
在$△ FBE$与$△ CBE$中，$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ BEF=∠ BEC, \end{cases}$
$\therefore△ FBE≌△ CBE$（ASA）.
$\therefore EF=CE$.
$\therefore CF=2CE$.
$\because∠ BAC=90°$, $∠ ADB=∠ CDE$,
$\therefore∠ ABD=∠ ACE$.
在$△ ABD$与$△ ACF$中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CAF, \\ AB=AC, \\ ∠ ABD=∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ ACF$（ASA）.
$\therefore BD=CF$.
$\therefore BD=2CE$.
(2) 由(1)知，$△ FBE≌△ CBE$，
$△ ABD≌△ ACF$.
$\therefore BF=BC$，$AD=AF$.
$\because BF=AB+AF=AB+AD$.
$\therefore AB+AD=BC$.

【分析】
要证$BD=2CE$，观察到$BE$同时是$∠ ABC$的角平分线和$CE$的垂线，这类“角平分线+垂线”的结构可通过延长线段构造全等三角形，将短边$CE$的长度翻倍：先延长$CE$、$BA$交于点$F$，先证明$△ FBE≌△ CBE$，得到$CF=2CE$，再证明$△ ABD≌△ ACF$得到$BD=CF$，即可推出$BD=2CE$。第二问证$AB+AD=BC$，可利用前序全等结论得到$BF=BC$、$AD=AF$，通过线段和的等量代换即可得证。
【解析】
(1) 如图，延长$CE$，$BA$交于点$F$.

$\because CE⊥ BE$，垂足为$E$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ BEF=∠ BEC=90°$，$∠ CBE=∠ FBE$.
在$△ FBE$与$△ CBE$中，
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ BEF=∠ BEC, \end{cases}$
$\therefore△ FBE≌△ CBE$（ASA），
$\therefore EF=CE$，即$CF=2CE$.
$\because∠ BAC=90°$，$∠ ADB=∠ CDE$，
$\therefore∠ ABD=∠ ACE$.
在$△ ABD$与$△ ACF$中，
$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CAF, \\ AB=AC, \\ ∠ ABD=∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ ACF$（ASA），
$\therefore BD=CF$，
$\therefore BD=2CE$.
(2) 由(1)知，$△ FBE≌△ CBE$，$△ ABD≌△ ACF$，
$\therefore BF=BC$，$AD=AF$.
$\because BF=AB+AF=AB+AD$，
$\therefore AB+AD=BC$.
【答案】
(1) 证明见上述解析，$BD=2CE$成立；
(2) 证明见上述解析，$AB+AD=BC$成立。

【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；线段和差代换
【点评】
本题是几何倍分、和差证明的典型题型，核心解题技巧是结合角平分线与垂直的条件构造全等三角形，既考查了全等三角形的证明方法，也锻炼了几何辅助线的构造思维，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12. 在平面直角坐标系中，点$A(t-1, 1)$与点$B$关于过点$(t, 0)$且垂直于$x$轴的直线对称.
（1）以$AB$为底边作等腰三角形$ABC$.
①当$t=2$时，点$B$的坐标为________；
②若$△ ABC$上所有点到$y$轴的距离都不小于$1$，则$t$的取值范围是________.
（2）以$AB$为斜边作等腰直角三角形$ABD$，直线$m$过点$(0, b)$且与$x$轴平行，若直线$m$上存在点$P$，$△ ABD$上存在点$K$，满足$PK=1$，求$b$的取值范围.

解：(1) ①$(3, 1)$
②$t≥2$或$t≤-2$
(2) 如图.

$\because A(t-1, 1)$，$B(t+1, 1)$，
$\therefore AB=t+1-(t-1)=2$.
$\because△ ABD$是以$AB$为斜边的等腰直角三角形，$\therefore$点$D$到$AB$的距离为$1$.
$\therefore$当点$D$在$AB$上方时，若直线$m$上存在点$P$，$△ ABD$上存在点$K$，满足$PK=1$，则$0≤ b≤3$.
当点$D$在$AB$下方时，若直线$m$上存在点$P$，$△ ABD$上存在点$K$，满足$PK=1$，则$-1≤ b≤2$.

【分析】
（1）①关于垂直于x轴的直线对称的两点，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，先推导点B坐标的一般表达式，再代入t=2计算即可；②等腰三角形ABC以AB为底，因此点C在AB的垂直平分线即直线x=t上，△ABC所有点的横坐标范围为[t-1, t+1]，要所有点到y轴距离不小于1，即横坐标的绝对值都≥1，据此列不等式求解即可。
（2）先求AB的长度，等腰直角三角形以AB为斜边时，斜边上的高等于斜边的一半，可得点D到AB的距离为1，分点D在AB上方和下方两种情况，结合直线m平行于x轴、PK=1的条件，即直线m到△ABD的最短距离≤1，即可求出b的取值范围。
【解析】
（1）①由题意可知，点A、B关于直线x=t对称，两点纵坐标相等，横坐标的中点在对称轴上。设B(x, 1)，则$\frac{(t-1)+x}{2}=t$，解得$x=t+1$，即B的坐标为$(t+1,1)$。当$t=2$时，$x=2+1=3$，因此点B坐标为$(3,1)$。
②
∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，
∴点C在AB的垂直平分线$x=t$上，△ABC上所有点的横坐标范围是$t-1≤x≤t+1$。要所有点到y轴的距离都不小于1，即对所有$x∈[t-1, t+1]$，都有$|x|≥1$：
若整个图形在y轴右侧，需最左侧点的横坐标$t-1≥1$，解得$t≥2$；
若整个图形在y轴左侧，需最右侧点的横坐标$t+1≤-1$，解得$t≤-2$。
因此t的取值范围是$t≥2$或$t≤-2$。
（2）
由（1）知$A(t-1,1)$，$B(t+1,1)$，故$AB=(t+1)-(t-1)=2$。
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴AB边上的高等于AB长度的一半，即点D到AB的距离为1。
分两种情况讨论：
1. 当点D在AB上方时，点D纵坐标为$1+1=2$，△ABD上所有点的纵坐标范围为$1≤y≤2$。要使直线$y=b$上存在点P，△ABD上存在点K满足$PK=1$，则直线m到△ABD的最短距离不大于1，因此$b≥1-1=0$，且$b≤2+1=3$，即$0≤b≤3$。
2. 当点D在AB下方时，点D纵坐标为$1-1=0$，△ABD上所有点的纵坐标范围为$0≤y≤1$。同理可得$b≥0-1=-1$，且$b≤1+1=2$，即$-1≤b≤2$。
【答案】
（1）①$\boxed{(3,1)}$；②$\boxed{t≥2}$或$\boxed{t≤-2}$
（2）
当点D在AB上方时，$\boxed{0≤b≤3}$；当点D在AB下方时，$\boxed{-1≤b≤2}$
【知识点】
轴对称的坐标特征，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了轴对称的性质、等腰（直角）三角形的性质，解题时需要结合图形分情况讨论，体现了数形结合和分类讨论的数学思想，对坐标与距离的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6