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1. 等边三角形的三个角都
相等
，并且每一个角都等于60°
。答案
1. 相等 60°
解析
【分析】
解题时先回忆等边三角形的相关性质：首先等边三角形是三条边都相等的三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可推导其角的关系，再结合三角形内角和定理就能算出每个角的度数。第一步，由三条边相等可得三个角的大小关系；第二步，用三角形内角和180°除以3即可得到单个角的度数。
【解析】
首先，等边三角形的三条边长度全部相等，根据等腰三角形等边对等角的性质，可知等边三角形的三个角都相等；
其次，三角形的内角和为180°，因此等边三角形每一个角的度数为：$180°÷3=60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对等边三角形性质的记忆和理解，熟练掌握基础图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆等边三角形的相关性质：首先等边三角形是三条边都相等的三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质可推导其角的关系，再结合三角形内角和定理就能算出每个角的度数。第一步，由三条边相等可得三个角的大小关系；第二步，用三角形内角和180°除以3即可得到单个角的度数。
【解析】
首先，等边三角形的三条边长度全部相等，根据等腰三角形等边对等角的性质，可知等边三角形的三个角都相等；
其次，三角形的内角和为180°，因此等边三角形每一个角的度数为：$180°÷3=60°$。
【答案】
相等；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对等边三角形性质的记忆和理解，熟练掌握基础图形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 三个角都
相等
的三角形是等边三角形。答案
2. 相等
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的相关判定定理：等边三角形的判定分为三类，分别是三条边相等的三角形是等边三角形、三个角相等的三角形是等边三角形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。本题限定了前提是“三个角都______的三角形”，对应角相关的判定定理，即可得出应填的内容。也可结合已有知识推导：若三角形三个角相等，由三角形内角和为180°，可得每个角均为60°，再根据等角对等边的性质，可推出三条边都相等，符合等边三角形的定义，也能得到结论。
【解析】
根据等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形，可知横线处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对等边三角形判定定理的掌握程度，牢记相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆等边三角形的相关判定定理：等边三角形的判定分为三类，分别是三条边相等的三角形是等边三角形、三个角相等的三角形是等边三角形、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。本题限定了前提是“三个角都______的三角形”，对应角相关的判定定理，即可得出应填的内容。也可结合已有知识推导：若三角形三个角相等，由三角形内角和为180°，可得每个角均为60°，再根据等角对等边的性质，可推出三条边都相等，符合等边三角形的定义，也能得到结论。
【解析】
根据等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形，可知横线处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对等边三角形判定定理的掌握程度，牢记相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 有一个角是
60°
的等腰三角形是等边三角形。答案
3. 60°
解析
【分析】
我们可以结合等腰三角形的性质和等边三角形的判定逻辑思考：首先等腰三角形的两个底角相等，我们分两种情况讨论，分别假设已知角是等腰三角形的顶角或者底角，计算三个内角的度数，验证是否符合等边三角形的特征，就能确定应填的角度。
【解析】
我们分两种情况验证：
1. 若该角是等腰三角形的顶角：
已知顶角为60°，因为等腰三角形两底角相等，所以每个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三角形三个内角均为60°，属于等边三角形。
2. 若该角是等腰三角形的底角：
已知一个底角为60°，则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个内角也均为60°，属于等边三角形。
综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察对等腰三角形性质和等边三角形判定规则的理解，通过分类讨论的思路即可快速得出结论，该判定定理是后续几何证明的常用基础结论，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
我们可以结合等腰三角形的性质和等边三角形的判定逻辑思考：首先等腰三角形的两个底角相等，我们分两种情况讨论，分别假设已知角是等腰三角形的顶角或者底角，计算三个内角的度数，验证是否符合等边三角形的特征，就能确定应填的角度。
【解析】
我们分两种情况验证：
1. 若该角是等腰三角形的顶角：
已知顶角为60°，因为等腰三角形两底角相等，所以每个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$，此时三角形三个内角均为60°，属于等边三角形。
2. 若该角是等腰三角形的底角：
已知一个底角为60°，则另一个底角也为60°，顶角的度数为$180°-60°×2=60°$，此时三角形三个内角也均为60°，属于等边三角形。
综上，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【答案】
$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；等边三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考察对等腰三角形性质和等边三角形判定规则的理解，通过分类讨论的思路即可快速得出结论，该判定定理是后续几何证明的常用基础结论，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
1. 如图15.3-17，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE的度数为（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）。A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手：等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高同时是底边的垂直平分线（三线合一），由此可知AD上的点E到B、C两点的距离相等，可得△EBC是等腰三角形，底角相等，求出∠ECB的度数后，用∠ACB减去∠ECB即可得到∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形
∴AD是BC的垂直平分线（等边三角形三线合一）
∵点E在AD上
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠ECB=∠EBC=45°（等腰三角形等边对等角）
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60°-45°=15°
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是利用等边三角形三线合一的性质得到线段相等，进而转化为角的等量关系，整体计算难度不高，核心是对基础性质的熟练运用。
【难度系数】
0.8
解题时先从等边三角形的性质入手：等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高同时是底边的垂直平分线（三线合一），由此可知AD上的点E到B、C两点的距离相等，可得△EBC是等腰三角形，底角相等，求出∠ECB的度数后，用∠ACB减去∠ECB即可得到∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形
∴AD是BC的垂直平分线（等边三角形三线合一）
∵点E在AD上
∴EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠ECB=∠EBC=45°（等腰三角形等边对等角）
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60°-45°=15°
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查特殊三角形性质的综合应用，解题的关键是利用等边三角形三线合一的性质得到线段相等，进而转化为角的等量关系，整体计算难度不高，核心是对基础性质的熟练运用。
【难度系数】
0.8
2. 如图15.3-18，$△ ABC$是等边三角形，且$BD=CE$，$∠ 1=15°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
D
）。A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件等边三角形入手，回忆等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质。结合给出的BD=CE的条件，可通过SAS判定证明三角形全等，得到对应角相等的关系，再利用三角形外角的性质，将∠2转化为等边三角形的内角即可求出度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABD=∠ BCE\\ BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠CBE，
∵∠2是△ABE的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角之和，
∴∠2=∠1+∠ABE，
将∠1替换为相等的∠CBE，可得：
∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础常考题，核心是通过全等三角形实现角的等量转换，再结合外角性质求解，解题关键是准确找到全等的两个三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件等边三角形入手，回忆等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质。结合给出的BD=CE的条件，可通过SAS判定证明三角形全等，得到对应角相等的关系，再利用三角形外角的性质，将∠2转化为等边三角形的内角即可求出度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BC\\ ∠ ABD=∠ BCE\\ BD=CE\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠CBE，
∵∠2是△ABE的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角之和，
∴∠2=∠1+∠ABE，
将∠1替换为相等的∠CBE，可得：
∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础常考题，核心是通过全等三角形实现角的等量转换，再结合外角性质求解，解题关键是准确找到全等的两个三角形。
【难度系数】
0.7
3. 如图15.3-19，$△ ABC$是等边三角形，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$△ ADE$是等边三角形。则下列结论正确的个数为（
①$AD⊥ BC$；②$EF=FD$；③$BE=BD$。
A.3
B.2
C.1
D.0
A
）。①$AD⊥ BC$；②$EF=FD$；③$BE=BD$。
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
3. A
解析
【分析】解题时先回忆等边三角形“三线合一”（角平分线、中线、高重合）的性质，再结合全等三角形的判定定理逐一验证3个结论：①直接用等边三角形三线合一判断；②③先通过边角边证明△AEB和△ADB全等，再结合等边三角形的性质推导即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC边上的高，
∴$AD⊥BC$，结论①正确。
2. 推导相关角度与边的关系：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD=30°$。
∵△ADE是等边三角形，
∴$AE=AD$，$∠ EAD=60°$，
∴$∠ EAB=∠ EAD-∠ BAD=60°-30°=30°$，即$∠ EAB=∠ DAB$。
3. 验证结论③：
在$△ AEB$和$△ ADB$中：
$\begin{cases} AE=AD \\ ∠ EAB=∠ DAB \\ AB=AB \end{cases}$
∴$△ AEB≌△ ADB$（SAS），
∴$BE=BD$，结论③正确。
4. 验证结论②：
由$∠ EAB=∠ DAB=30°$可知，AB是等边△ADE的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，AB也是DE边上的中线，
∴$EF=FD$，结论②正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】本题是等边三角形性质和全等三角形判定的基础综合题，解题关键是利用角度关系找到全等三角形的判定条件，再结合三线合一性质推导剩余结论。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 验证结论①：
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC边上的高，
∴$AD⊥BC$，结论①正确。
2. 推导相关角度与边的关系：
∵△ABC是等边三角形，
∴$∠ BAC=60°$，AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD=30°$。
∵△ADE是等边三角形，
∴$AE=AD$，$∠ EAD=60°$，
∴$∠ EAB=∠ EAD-∠ BAD=60°-30°=30°$，即$∠ EAB=∠ DAB$。
3. 验证结论③：
在$△ AEB$和$△ ADB$中：
$\begin{cases} AE=AD \\ ∠ EAB=∠ DAB \\ AB=AB \end{cases}$
∴$△ AEB≌△ ADB$（SAS），
∴$BE=BD$，结论③正确。
4. 验证结论②：
由$∠ EAB=∠ DAB=30°$可知，AB是等边△ADE的角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，AB也是DE边上的中线，
∴$EF=FD$，结论②正确。
综上，3个结论均正确。
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】本题是等边三角形性质和全等三角形判定的基础综合题，解题关键是利用角度关系找到全等三角形的判定条件，再结合三线合一性质推导剩余结论。
【难度系数】0.7
