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4. 下列三角形是等边三角形的是（
①有两个角等于$60°$的三角形；
②有一个角等于$60°$的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
D
）.①有两个角等于$60°$的三角形；
②有一个角等于$60°$的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题思路是结合等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角和定理，逐一验证4个说法是否符合等边三角形的判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
①三角形内角和为180°，若有两个角等于60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，故①正确；
②根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形：若$60°$是顶角，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若$60°$是底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，三个角均为$60°$，故②正确；
③三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，故③正确；
④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段是腰的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的底边与腰长度相等，即三角形三边相等，是等边三角形，故④正确。
综上①②③④都正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和与外角和
【点评】
本题属于基础概念应用题，需要熟练掌握等边三角形的多种判定规则，对每个命题逐一验证时要注意结合等腰三角形的特殊性质，避免因考虑不全漏判正确结论。
【难度系数】
0.7
本题考查等边三角形的判定，解题思路是结合等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角和定理，逐一验证4个说法是否符合等边三角形的判定条件即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
①三角形内角和为180°，若有两个角等于60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，故①正确；
②根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形：若$60°$是顶角，则两个底角均为$(180°-60°)÷2=60°$；若$60°$是底角，则另一个底角也为$60°$，顶角为$180°-60°×2=60°$，三个角均为$60°$，故②正确；
③三角形外角和为$360°$，若三个外角都相等，则每个外角为$360°÷3=120°$，对应的每个内角为$180°-120°=60°$，三个内角均为$60°$，该三角形是等边三角形，故③正确；
④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段是腰的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的底边与腰长度相等，即三角形三边相等，是等边三角形，故④正确。
综上①②③④都正确，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和与外角和
【点评】
本题属于基础概念应用题，需要熟练掌握等边三角形的多种判定规则，对每个命题逐一验证时要注意结合等腰三角形的特殊性质，避免因考虑不全漏判正确结论。
【难度系数】
0.7
5. 已知等边三角形ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD=1，DE//AB，交直线AC于点E，则DE的长为
4或6
.答案
5. 4或6
解析
【分析】
解题时首先注意点D是在直线BC上，而非线段BC上，因此需分两种情况讨论点D的位置：①点D在线段BC上；②点D在线段CB的延长线上。再结合等边三角形的内角为60°的性质，以及平行线的同位角相等的性质，可推导出△DEC为等边三角形，最后根据线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当点D在线段BC上时
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=5
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°
在△DEC中，∠EDC=∠ACB=60°，
∴△DEC是等边三角形，即DE=DC
∵BD=1，
∴DC=BC-BD=5-1=4，即DE=4
情况2：当点D在线段CB的延长线上时
∵DE//AB，
∴∠D=∠ABC=60°
∵∠DCE=∠ACB=60°（对顶角相等）
在△DEC中，∠D=∠DCE=60°，
∴△DEC是等边三角形，即DE=DC
∵BD=1，
∴DC=BC+BD=5+1=6，即DE=6
综上，DE的长为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线BC”的条件，只考虑点D在线段BC上的情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，结合几何性质分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意点D是在直线BC上，而非线段BC上，因此需分两种情况讨论点D的位置：①点D在线段BC上；②点D在线段CB的延长线上。再结合等边三角形的内角为60°的性质，以及平行线的同位角相等的性质，可推导出△DEC为等边三角形，最后根据线段的和差关系计算DE的长度即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：当点D在线段BC上时
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=5
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°
在△DEC中，∠EDC=∠ACB=60°，
∴△DEC是等边三角形，即DE=DC
∵BD=1，
∴DC=BC-BD=5-1=4，即DE=4
情况2：当点D在线段CB的延长线上时
∵DE//AB，
∴∠D=∠ABC=60°
∵∠DCE=∠ACB=60°（对顶角相等）
在△DEC中，∠D=∠DCE=60°，
∴△DEC是等边三角形，即DE=DC
∵BD=1，
∴DC=BC+BD=5+1=6，即DE=6
综上，DE的长为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线BC”的条件，只考虑点D在线段BC上的情况导致漏解，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，结合几何性质分类讨论即可求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图15.3-20，点B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE均为等边三角形。若CE=15 cm，CD=6 cm，则AC=
9
cm，∠ECD的度数为60°
。答案
6. 9 60°
解析
【分析】
看到共顶点的两个等边三角形，首先回忆等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，可通过角的和差推导得到相等的夹角，进而证明两个含等边三角形边的三角形全等；利用全等三角形对应边相等求出BD的长度，结合线段和差关系即可算出AC的长度；再利用全等三角形对应角相等，结合平角180°的性质就能求出∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC=BC$，$∠ BAC=∠ B=∠ ACB=60°$，
∵△ADE是等边三角形，
∴$AD=AE$，$∠ DAE=60°$，
∴$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE$（SAS），
∴$BD=CE=15\mathrm{cm}$，$∠ ACE=∠ B=60°$，
∵点B、C、D在同一条直线上，$BD=BC+CD$，
∴$BC=BD-CD=15\mathrm{cm}-6\mathrm{cm}=9\mathrm{cm}$，即$AC=BC=9\mathrm{cm}$，
又
∵$∠ ACB+∠ ACE+∠ ECD=180°$，
∴$∠ ECD=180°-∠ ACB-∠ ACE=180°-60°-60°=60°$。
【答案】
$9$；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型常考题，解题的关键是利用共顶点等边三角形的等角关系构造全等三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
看到共顶点的两个等边三角形，首先回忆等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，可通过角的和差推导得到相等的夹角，进而证明两个含等边三角形边的三角形全等；利用全等三角形对应边相等求出BD的长度，结合线段和差关系即可算出AC的长度；再利用全等三角形对应角相等，结合平角180°的性质就能求出∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC=BC$，$∠ BAC=∠ B=∠ ACB=60°$，
∵△ADE是等边三角形，
∴$AD=AE$，$∠ DAE=60°$，
∴$∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴$△ BAD≌△ CAE$（SAS），
∴$BD=CE=15\mathrm{cm}$，$∠ ACE=∠ B=60°$，
∵点B、C、D在同一条直线上，$BD=BC+CD$，
∴$BC=BD-CD=15\mathrm{cm}-6\mathrm{cm}=9\mathrm{cm}$，即$AC=BC=9\mathrm{cm}$，
又
∵$∠ ACB+∠ ACE+∠ ECD=180°$，
∴$∠ ECD=180°-∠ ACB-∠ ACE=180°-60°-60°=60°$。
【答案】
$9$；$60°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型常考题，解题的关键是利用共顶点等边三角形的等角关系构造全等三角形，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图15.3-21，已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证AE=CD. 
答案
7. 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°.
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°.
∴∠ABE=∠DBE.
在△ABE和△CBD中，$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
∴AE=CD.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°.
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°.
∴∠ABE=∠DBE.
在△ABE和△CBD中，$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
∴AE=CD.
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AE属于△ABE，CD属于△CBD，因此只需证明△ABE≌△CBD即可。首先结合已知的两个等边三角形，利用等边三角形的性质可以得到两组对应边相等，再推导得到一组夹角相等，满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°。
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°。
∴∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
∴AE=CD。
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°。
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°。
∴∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
∴AE=CD。
【知识点】
等边三角形的性质、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形性质与三角形全等判定的基础综合题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，利用等边三角形边角的性质推导全等所需的条件，掌握全等证明的常规思路即可快速解决。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用方法是证明这两条线段所在的三角形全等。本题中AE属于△ABE，CD属于△CBD，因此只需证明△ABE≌△CBD即可。首先结合已知的两个等边三角形，利用等边三角形的性质可以得到两组对应边相等，再推导得到一组夹角相等，满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°。
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°。
∴∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
∴AE=CD。
【答案】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABE=60°。
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°。
∴∠ABE=∠CBD。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBD（SAS）。
∴AE=CD。
【知识点】
等边三角形的性质、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形性质与三角形全等判定的基础综合题，解题的关键是找准待证线段所属的三角形，利用等边三角形边角的性质推导全等所需的条件，掌握全等证明的常规思路即可快速解决。
【难度系数】
0.8
