8. 如图15.3-13，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，在直线AC上找点P，使$△ ABP$是等腰三角形，则$∠ APB$的度数为。

8. 15°或30°或75°或120°

【分析】
要使△ABP为等腰三角形，需按等腰三角形腰的不同分三类讨论：①AB=AP，②AB=BP，③AP=BP，再结合已知∠BAC=30°、三角形内角和定理及等腰三角形两底角相等的性质，同时考虑点P在直线AC上的所有可能位置，分别计算对应∠APB的度数即可。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，因此$∠ABC=60°$，分以下情况讨论：
1. 当$AB=AP$时：
若点P在点A的左侧：此时$∠BAP=180°-30°=150°$，根据等腰三角形两底角相等，$∠APB=\frac{180°-150°}{2}=15°$；
若点P在点A的右侧：此时$∠BAP=30°$为等腰三角形的顶角，因此$∠APB=\frac{180°-30°}{2}=75°$；
2. 当$AB=BP$时：此时$∠BAP=∠APB=30°$，符合等腰三角形底角相等的性质，因此$∠APB=30°$；
3. 当$AP=BP$时：此时$∠BAP=∠ABP=30°$，根据三角形内角和为180°，可得$∠APB=180°-30°-30°=120°$。
综上，$∠APB$的度数为15°或30°或75°或120°。
【答案】
$15°$或$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“点P在直线AC上”的条件，仅考虑线段AC上的点导致漏解，解题时需对等腰三角形腰的所有可能情况分类讨论，才能完整求解。
【难度系数】
0.6

9. 如图15.3-14，D是$△ ABC$内部的一点，$AD=CD$，$∠ BAD=∠ BCD$. 下列结论正确的是.（填序号）
①$∠ DAC=∠ DCA$；②$AB=AC$；③$BD⊥ AC$；④$BD$平分$∠ ABC$.

9. ①③④

【分析】解题时先从已知边相等的条件入手，先利用等腰三角形等边对等角判断结论①；再结合已知的角相等的条件，推导△ABC中角的关系，得到对应边的关系判断结论②；接着根据线段垂直平分线的判定定理，确定BD与AC的位置关系判断结论③；最后利用等腰三角形三线合一的性质判断结论④即可。
【解析】
解：①
∵AD=CD，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠DAC=∠DCA，故①正确；
②
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC=∠BCD+∠DCA，即∠BAC=∠BCA，根据“等角对等边”可得AB=BC，无法推出AB=AC，故②错误；
③
∵AB=BC，AD=CD，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知点B、点D都在AC的垂直平分线上，
∴直线BD是AC的垂直平分线，
∴BD⊥AC，故③正确；
④
∵AB=BC，BD⊥AC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD平分∠ABC，故④正确。
综上，正确的结论是①③④。
【答案】①③④
【知识点】等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定
【点评】本题属于基础几何综合题，解题时需逐步推导角与边的对应关系，注意不要混淆等腰三角形相等的边对应的角，避免误判结论②。
【难度系数】0.7

10. 如图15.3-15，在$△ ABC$中，$AB=AC$，在$AB$边上取点$D$，在$AC$的延长线上取点$E$，使得$BD=CE$，连接$DE$，交$BC$于点$G$. 求证$DG=EG$. 图15.3-15

证明：如图，过点$D$作$DF// AC$交$BC$于点$F$.

$\because DF// AC$，
$\therefore∠ DFC=∠ FCE$，$∠ DFB=∠ ACB$.
$\because AB=AC$，$\therefore∠ B=∠ ACB$.
$\therefore∠ B=∠ DFB$. $\therefore BD=DF$.
$\because BD=CE$，$\therefore DF=CE$.
在$△ DFG$和$△ ECG$中，$\begin{cases} ∠ DGF=∠ EGC, \\ ∠ DFC=∠ ECG, \\ DF=EC, \end{cases}$
$\therefore△ DFG≌△ ECG$（AAS）.
$\therefore DG=EG$.

【分析】
要证明线段$DG=EG$，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知，$DG$所在的$△ DGB$和$EG$所在的$△ EGC$不满足全等条件，因此需要构造全等三角形。我们可以过点$D$作$DF$平行于$AC$交$BC$于点$F$，首先利用平行线的性质和等腰$△ ABC$的等角对等边性质，推导出$BD=DF$，结合已知$BD=CE$得到$DF=CE$，再结合对顶角相等、平行线的内错角相等，即可证明$△ DFG$和$△ ECG$全等，从而得到$DG=EG$的结论。
【解析】
证明：如图，过点$D$作$DF// AC$交$BC$于点$F$.

$\because DF// AC$，
$\therefore∠ DFC=∠ FCE$，$∠ DFB=∠ ACB$.
$\because AB=AC$，$\therefore∠ B=∠ ACB$.
$\therefore∠ B=∠ DFB$. $\therefore BD=DF$.
$\because BD=CE$，$\therefore DF=CE$.
在$△ DFG$和$△ ECG$中，
$\begin{cases} ∠ DGF=∠ EGC, \\ ∠ DFC=∠ ECG, \\ DF=EC, \end{cases}$
$\therefore△ DFG≌△ ECG$（AAS）.
$\therefore DG=EG$.
【答案】
证明：如图，过点$D$作$DF// AC$交$BC$于点$F$.

$\because DF// AC$，
$\therefore∠ DFC=∠ FCE$，$∠ DFB=∠ ACB$.
$\because AB=AC$，$\therefore∠ B=∠ ACB$.
$\therefore∠ B=∠ DFB$. $\therefore BD=DF$.
$\because BD=CE$，$\therefore DF=CE$.
在$△ DFG$和$△ ECG$中，$\begin{cases} ∠ DGF=∠ EGC, \\ ∠ DFC=∠ ECG, \\ DF=EC, \end{cases}$
$\therefore△ DFG≌△ ECG$（AAS）.
$\therefore DG=EG$.
【知识点】
1. 等腰三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形结合的常见题型，核心考查构造辅助线的能力，通过作平行线实现相等线段的转化，构造出全等三角形是解题的关键，这类构造辅助线的方法在证明线段相等的问题中应用广泛。
【难度系数】
0.6