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5. 如图15.3-10，在△ABC中，D是BC上的一点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，且EF//BC。若EF交AD于点M，EF=12，则DM=
6
。答案
5. 6
解析
【分析】
解题时先利用已知的角平分线得到相等的角，再结合EF平行BC的条件，由平行线的内错角相等得到新的等角关系，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定，分别证明EM=DM、FM=DM，进而得到EF和DM的数量关系，代入EF的长度即可求出DM的值。
【解析】
解：
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC
∴∠EDM=∠EDB，∠FDM=∠FDC
∵EF//BC
∴∠DEM=∠EDB（两直线平行，内错角相等），∠DFM=∠FDC（两直线平行，内错角相等）
∴∠DEM=∠EDM，∠DFM=∠FDM
根据等角对等边，可得EM=DM，FM=DM
∴EM=FM=DM
∴EF=EM+FM=2DM
∵EF=12
∴DM=12÷2=6
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是典型的“角平分线+平行线推导等腰三角形”的题型，解题核心是通过角的等量转化得到边的相等关系，进而找到所求线段和已知线段的数量关系，解题时梳理清楚角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知的角平分线得到相等的角，再结合EF平行BC的条件，由平行线的内错角相等得到新的等角关系，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定，分别证明EM=DM、FM=DM，进而得到EF和DM的数量关系，代入EF的长度即可求出DM的值。
【解析】
解：
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC
∴∠EDM=∠EDB，∠FDM=∠FDC
∵EF//BC
∴∠DEM=∠EDB（两直线平行，内错角相等），∠DFM=∠FDC（两直线平行，内错角相等）
∴∠DEM=∠EDM，∠DFM=∠FDM
根据等角对等边，可得EM=DM，FM=DM
∴EM=FM=DM
∴EF=EM+FM=2DM
∵EF=12
∴DM=12÷2=6
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是典型的“角平分线+平行线推导等腰三角形”的题型，解题核心是通过角的等量转化得到边的相等关系，进而找到所求线段和已知线段的数量关系，解题时梳理清楚角的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图15.3-11，已知D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE. 求证：△ABC是等腰三角形. 
答案
证明：$\because D$是边$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$.
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
$\therefore△ BDF$与$△ CDE$均为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL）.
$\therefore∠ B=∠ C$. $\therefore AB=AC$.
$\therefore△ ABC$是等腰三角形.
$\therefore BD=CD$.
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
$\therefore△ BDF$与$△ CDE$均为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL）.
$\therefore∠ B=∠ C$. $\therefore AB=AC$.
$\therefore△ ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明其两个底角相等（即∠B=∠C）或腰AB=AC。结合已知条件：D是BC中点，可得BD=CD；DE⊥AC、DF⊥AB，说明△BDF和△CDE都是直角三角形，且已知BF=CE，可先通过HL判定定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，最后根据等角对等边即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：$\because D$是边$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$。
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
$\therefore△ BDF$与$△ CDE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL）。
$\therefore∠ B=∠ C$，$\therefore AB=AC$，
$\therefore△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础典型题，解题关键是结合已知条件先证明直角三角形全等，得到对应角相等后即可完成等腰三角形的判定，侧重考查基础几何定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明其两个底角相等（即∠B=∠C）或腰AB=AC。结合已知条件：D是BC中点，可得BD=CD；DE⊥AC、DF⊥AB，说明△BDF和△CDE都是直角三角形，且已知BF=CE，可先通过HL判定定理证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，最后根据等角对等边即可判定△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：$\because D$是边$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$。
$\because DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
$\therefore△ BDF$与$△ CDE$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL）。
$\therefore∠ B=∠ C$，$\therefore AB=AC$，
$\therefore△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$是等腰三角形，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于等腰三角形判定的基础典型题，解题关键是结合已知条件先证明直角三角形全等，得到对应角相等后即可完成等腰三角形的判定，侧重考查基础几何定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图15.3-12，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BF平分∠ABC交CD于点E，交AC于点F.求证CE＝CF.
图15.3-12
图15.3-12
答案
证明：$\because∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
$\therefore∠ CBF+∠ CFB=∠ DBE+∠ DEB=90°$.
$\because BF$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ CBF=∠ DBE$. $\therefore∠ CFB=∠ DEB$.
又$∠ FEC=∠ DEB$，
$\therefore∠ FEC=∠ CFB$. $\therefore CE=CF$.
$\therefore∠ CBF+∠ CFB=∠ DBE+∠ DEB=90°$.
$\because BF$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ CBF=∠ DBE$. $\therefore∠ CFB=∠ DEB$.
又$∠ FEC=∠ DEB$，
$\therefore∠ FEC=∠ CFB$. $\therefore CE=CF$.
解析
【分析】
要证明CE=CF，观察可知两条线段同属于△CEF，因此可通过等腰三角形“等角对等边”的判定定理，转化为证明∠CEF=∠CFE。首先结合已知的两个直角条件，可得Rt△BCF中∠CBF与∠CFB互余，Rt△BDE中∠DBE与∠DEB互余；再利用BF平分∠ABC的条件，得到∠CBF=∠DBE，根据等角的余角相等可推出∠CFB=∠DEB；最后结合∠DEB和∠CEF是对顶角、二者相等的性质，通过等量代换即可得到∠CEF=∠CFE，从而证得CE=CF。
【解析】
证明：$\because∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
$\therefore∠ CBF+∠ CFB=∠ DBE+∠ DEB=90°$。
$\because BF$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ CBF=∠ DBE$，
$\therefore∠ CFB=∠ DEB$。
又$∠ FEC=∠ DEB$，
$\therefore∠ FEC=∠ CFB$，
$\therefore CE=CF$。
【答案】
$CE=CF$
【知识点】
等腰三角形的判定
直角三角形两锐角互余
角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题关键是通过角的等量代换得到同一三角形内的相等内角，融合了直角三角形性质、角平分线、对顶角的相关知识，思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
要证明CE=CF，观察可知两条线段同属于△CEF，因此可通过等腰三角形“等角对等边”的判定定理，转化为证明∠CEF=∠CFE。首先结合已知的两个直角条件，可得Rt△BCF中∠CBF与∠CFB互余，Rt△BDE中∠DBE与∠DEB互余；再利用BF平分∠ABC的条件，得到∠CBF=∠DBE，根据等角的余角相等可推出∠CFB=∠DEB；最后结合∠DEB和∠CEF是对顶角、二者相等的性质，通过等量代换即可得到∠CEF=∠CFE，从而证得CE=CF。
【解析】
证明：$\because∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
$\therefore∠ CBF+∠ CFB=∠ DBE+∠ DEB=90°$。
$\because BF$平分$∠ ABC$，
$\therefore∠ CBF=∠ DBE$，
$\therefore∠ CFB=∠ DEB$。
又$∠ FEC=∠ DEB$，
$\therefore∠ FEC=∠ CFB$，
$\therefore CE=CF$。
【答案】
$CE=CF$
【知识点】
等腰三角形的判定
直角三角形两锐角互余
角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题关键是通过角的等量代换得到同一三角形内的相等内角，融合了直角三角形性质、角平分线、对顶角的相关知识，思路清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
