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例1 解下列一元二次方程：
(1)$4y^2=25$； (2)$2x^2 -6=0$。
【思路导析】先将各方程化简成$ax^2 = b$的形式，进而整理成$x^2=\frac{b}{a}$的形式，再直接开平方求解。
【请你解答】
知识点二 形如$(mx + p)^2 = q(q≥0)$的方程的解法
(1)$4y^2=25$； (2)$2x^2 -6=0$。
【思路导析】先将各方程化简成$ax^2 = b$的形式，进而整理成$x^2=\frac{b}{a}$的形式，再直接开平方求解。
【请你解答】
知识点二 形如$(mx + p)^2 = q(q≥0)$的方程的解法
答案
解：
(1) 对方程$4y^2=25$两边同时除以4，得
$y^2=\frac{25}{4}$
直接开平方，得
$y=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$
所以$y_1=\frac{5}{2}$，$y_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 对方程$2x^2-6=0$移项，得
$2x^2=6$
两边同时除以2，得
$x^2=3$
直接开平方，得
$x=\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
(1) 对方程$4y^2=25$两边同时除以4，得
$y^2=\frac{25}{4}$
直接开平方，得
$y=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$
所以$y_1=\frac{5}{2}$，$y_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 对方程$2x^2-6=0$移项，得
$2x^2=6$
两边同时除以2，得
$x^2=3$
直接开平方，得
$x=\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特点，两道题都可通过移项、系数化为1的操作，整理为“未知数的平方等于非负常数”的形式，满足直接开平方法的适用条件；再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，最后分别写出两个根即可。其中第(1)题只需先将二次项系数化为1，第(2)题需要先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1。
【解析】
(1) 对方程$4y^2=25$两边同时除以4，得
$y^2=\frac{25}{4}$
直接开平方，得
$y=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$
所以$y_1=\frac{5}{2}$，$y_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 对方程$2x^2-6=0$移项，得
$2x^2=6$
两边同时除以2，得
$x^2=3$
直接开平方，得
$x=\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{5}{2},y_2=-\frac{5}{2}$；(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查将方程转化为“$x^2=a(a≥0)$”形式的化简能力，解题时需注意正数开平方有正负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特点，两道题都可通过移项、系数化为1的操作，整理为“未知数的平方等于非负常数”的形式，满足直接开平方法的适用条件；再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个、互为相反数，最后分别写出两个根即可。其中第(1)题只需先将二次项系数化为1，第(2)题需要先移项把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1。
【解析】
(1) 对方程$4y^2=25$两边同时除以4，得
$y^2=\frac{25}{4}$
直接开平方，得
$y=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$
所以$y_1=\frac{5}{2}$，$y_2=-\frac{5}{2}$。
(2) 对方程$2x^2-6=0$移项，得
$2x^2=6$
两边同时除以2，得
$x^2=3$
直接开平方，得
$x=\pm\sqrt{3}$
所以$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $y_1=\frac{5}{2},y_2=-\frac{5}{2}$；(2) $x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，重点考查将方程转化为“$x^2=a(a≥0)$”形式的化简能力，解题时需注意正数开平方有正负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
例2 解下列一元二次方程：
(1)$(x+2)^2 - 9 = 0$；
(2)$3(x-1)^2 - 4 = 0$。
【思路导析】将形如$(mx+p)^2 = q(q ≥ 0)$的方程两边直接开平方，可得$mx+p = \pm\sqrt{q}$，所以$x_1 = \frac{-p+\sqrt{q}}{m}$，$x_2 = \frac{-p-\sqrt{q}}{m}$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 一元二次方程的简单应用
(1)$(x+2)^2 - 9 = 0$；
(2)$3(x-1)^2 - 4 = 0$。
【思路导析】将形如$(mx+p)^2 = q(q ≥ 0)$的方程两边直接开平方，可得$mx+p = \pm\sqrt{q}$，所以$x_1 = \frac{-p+\sqrt{q}}{m}$，$x_2 = \frac{-p-\sqrt{q}}{m}$。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 一元二次方程的简单应用
答案
解：
(1) 移项，得
$(x+2)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+2 = \pm3$
即 $x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得
$3(x-1)^2 = 4$
两边同时除以3，得
$(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
直接开平方，得
$x-1 = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即 $x-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $x-1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(1) 移项，得
$(x+2)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+2 = \pm3$
即 $x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得
$3(x-1)^2 = 4$
两边同时除以3，得
$(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
直接开平方，得
$x-1 = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即 $x-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $x-1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
这两道题都适合用直接开平方法求解，解题思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，再对两边同时开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的两个根。
【解析】
(1) 移项，得：
$(x+2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x+2 = \pm3$
即 $x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得：
$3(x-1)^2 = 4$
两边同时除以3，得：
$(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
直接开平方，得：
$x-1 = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即 $x-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $x-1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-5$；
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式化简、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，解题关键是将方程整理为$(mx+p)^2=q(q≥0)$的形式，再转化为一次方程求解，熟练掌握该方法是学习后续一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.85
这两道题都适合用直接开平方法求解，解题思路为：先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，再对两边同时开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的两个根。
【解析】
(1) 移项，得：
$(x+2)^2 = 9$
直接开平方，得：
$x+2 = \pm3$
即 $x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 移项，得：
$3(x-1)^2 = 4$
两边同时除以3，得：
$(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
直接开平方，得：
$x-1 = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即 $x-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或 $x-1=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得 $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=-5$；
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、二次根式化简、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，解题关键是将方程整理为$(mx+p)^2=q(q≥0)$的形式，再转化为一次方程求解，熟练掌握该方法是学习后续一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.85
例3 某机床制造厂第一季度的第1个月生产100台机床，第2个月和第3个月机床产量的增长率相同，第3个月生产了121台机床，则第一季度机床产量的月平均增长率为多少？
【探究点拨】设第2个月、第3个月月平均增长率为$x$，则第2个月机床产量为$100(1+x)$台，第3个月为$100(1+x)^2$台，依题意可列一元二次方程求解。
【规范解答】设第2个月、第3个月机床产量的月平均增长率为$x$，依题意有
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1,x_2=-2.1$(舍去)。
∴ $x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
【探究点拨】设第2个月、第3个月月平均增长率为$x$，则第2个月机床产量为$100(1+x)$台，第3个月为$100(1+x)^2$台，依题意可列一元二次方程求解。
【规范解答】设第2个月、第3个月机床产量的月平均增长率为$x$，依题意有
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1,x_2=-2.1$(舍去)。
∴ $x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
答案
解：设第2个月、第3个月机床产量的月平均增长率为$x$，依题意有
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$。
∵增长率不能为负，
∴舍去$x_2=-2.1$，
$\therefore x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$。
∵增长率不能为负，
∴舍去$x_2=-2.1$，
$\therefore x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
解析
【分析】
本题属于增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的基本数量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = 增长n个月后的产量。第一步设月平均增长率为x，结合第一个月产量为100台，可依次表示出第二个月、第三个月的产量；第二步根据第三个月产量为121台的已知条件，列出对应的一元二次方程；第三步用直接开平方法解方程，最后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设第2个月、第3个月机床产量的月平均增长率为$x$，依题意有
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$。
∵增长率不能为负，
∴舍去$x_2=-2.1$，
$\therefore x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用；直接开平方法解方程；增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是找准等量关系正确列方程，求解方程后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.8
本题属于增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的基本数量关系：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ = 增长n个月后的产量。第一步设月平均增长率为x，结合第一个月产量为100台，可依次表示出第二个月、第三个月的产量；第二步根据第三个月产量为121台的已知条件，列出对应的一元二次方程；第三步用直接开平方法解方程，最后结合增长率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设第2个月、第3个月机床产量的月平均增长率为$x$，依题意有
$100(1+x)^2=121$，
两边直接开平方，得
$1+x=\pm1.1$，
解得$x_1=0.1$，$x_2=-2.1$。
∵增长率不能为负，
∴舍去$x_2=-2.1$，
$\therefore x=0.1=10\%$。
答：该厂第一季度机床产量的月平均增长率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
一元二次方程的应用；直接开平方法解方程；增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是找准等量关系正确列方程，求解方程后要注意结合实际场景对根进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.8
1.已知$(x+y+3)(x+y-3)-72=0$，则$x+y$的值为（）
A.9
B.9或$-9$
C.$-9$
D.以上都不对
A.9
B.9或$-9$
C.$-9$
D.以上都不对
答案
B
解析
【分析】观察方程可发现，两个相乘的多项式中均包含$x+y$这个整体，且式子结构符合平方差公式的特征，因此可以将$x+y$看作一个整体，先利用平方差公式化简方程，再通过直接开平方法求出$x+y$的取值即可。
【解析】令$t = x + y$，则原方程变形为：
$(t + 3)(t - 3) - 72 = 0$
由平方差公式展开得：
$t^2 - 9 - 72 = 0$
移项合并同类项得：
$t^2 = 81$
两边直接开平方得：
$t = ±9$
即$x+y = 9$或$x+y = -9$。
【答案】B
【知识点】平方差公式，整体思想，直接开平方法
【点评】本题解题的关键是识别出式子中的整体结构，通过整体代换简化方程，避免单独求解x、y的冗余计算，重点考查对公式的灵活运用和整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.8
【解析】令$t = x + y$，则原方程变形为：
$(t + 3)(t - 3) - 72 = 0$
由平方差公式展开得：
$t^2 - 9 - 72 = 0$
移项合并同类项得：
$t^2 = 81$
两边直接开平方得：
$t = ±9$
即$x+y = 9$或$x+y = -9$。
【答案】B
【知识点】平方差公式，整体思想，直接开平方法
【点评】本题解题的关键是识别出式子中的整体结构，通过整体代换简化方程，避免单独求解x、y的冗余计算，重点考查对公式的灵活运用和整体代换的数学思维。
【难度系数】
0.8
2.已知关于$x$的方程$(x+1)^2 = k^2 + 3$的一个根是$x_1=2$，求$k$的值及另一个根。
答案
解：
把$x_1=2$代入方程$(x+1)^2 = k^2 + 3$，得
$(2+1)^2 = k^2 + 3$
$9 = k^2 + 3$
整理得$k^2 = 6$
解得$k = \pm\sqrt{6}$
将$k^2=6$代入原方程，得
$(x+1)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+1 = \pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
所以$k$的值为$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，方程的另一个根为$x_2=-4$。
把$x_1=2$代入方程$(x+1)^2 = k^2 + 3$，得
$(2+1)^2 = k^2 + 3$
$9 = k^2 + 3$
整理得$k^2 = 6$
解得$k = \pm\sqrt{6}$
将$k^2=6$代入原方程，得
$(x+1)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+1 = \pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$；
当$x+1=-3$时，$x=-4$。
所以$k$的值为$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，方程的另一个根为$x_2=-4$。
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根$x_1=2$代入原方程，得到关于$k$的方程，即可求解$k$的值；再把得到的$k^2$的值代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程，除去已知根后就能得到方程的另一个根。也可结合直接开平方法的性质，已知一个根对应的$x+1$的值，利用平方根互为相反数的特点直接求另一个根。
【解析】
解：
1. 求$k$的值：
把$x_1=2$代入方程$(x+1)^2 = k^2 + 3$，得
$(2+1)^2 = k^2 + 3$
计算得$9 = k^2 + 3$
移项整理得$k^2 = 6$
开平方解得$k = \pm\sqrt{6}$
2. 求方程的另一个根：
将$k^2=6$代入原方程，得
$(x+1)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+1 = \pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$，为已知根；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$，即为方程的另一个根。
【答案】
$k$的值为$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，方程的另一个根为$x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用和直接开平方法解一元二次方程的步骤，解题时注意开平方运算要考虑正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根$x_1=2$代入原方程，得到关于$k$的方程，即可求解$k$的值；再把得到的$k^2$的值代回原方程，用直接开平方法解一元二次方程，除去已知根后就能得到方程的另一个根。也可结合直接开平方法的性质，已知一个根对应的$x+1$的值，利用平方根互为相反数的特点直接求另一个根。
【解析】
解：
1. 求$k$的值：
把$x_1=2$代入方程$(x+1)^2 = k^2 + 3$，得
$(2+1)^2 = k^2 + 3$
计算得$9 = k^2 + 3$
移项整理得$k^2 = 6$
开平方解得$k = \pm\sqrt{6}$
2. 求方程的另一个根：
将$k^2=6$代入原方程，得
$(x+1)^2 = 9$
直接开平方，得
$x+1 = \pm3$
当$x+1=3$时，$x=2$，为已知根；
当$x+1=-3$时，解得$x=-4$，即为方程的另一个根。
【答案】
$k$的值为$\sqrt{6}$或$-\sqrt{6}$，方程的另一个根为$x_2=-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用和直接开平方法解一元二次方程的步骤，解题时注意开平方运算要考虑正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8
