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9.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$2x^2=1-3x$；
(2)$(x-2)^2=6x^2+4$；
(3)$5x(x-2)=4x^2-3x$。
(1)$2x^2=1-3x$；
(2)$(x-2)^2=6x^2+4$；
(3)$5x(x-2)=4x^2-3x$。
答案
解：
(1) 移项，将所有项移到方程左侧，得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1。
(2) 先展开左侧完全平方，再移项、合并同类项：
$x^2 - 4x + 4 = 6x^2 + 4$
整理得一元二次方程的一般形式：
$5x^2 + 4x = 0$
二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0。
(3) 先将左侧去括号，再移项、合并同类项：
$5x^2 - 10x = 4x^2 - 3x$
整理得一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 7x = 0$
二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0。
(1) 移项，将所有项移到方程左侧，得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1。
(2) 先展开左侧完全平方，再移项、合并同类项：
$x^2 - 4x + 4 = 6x^2 + 4$
整理得一元二次方程的一般形式：
$5x^2 + 4x = 0$
二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0。
(3) 先将左侧去括号，再移项、合并同类项：
$5x^2 - 10x = 4x^2 - 3x$
整理得一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 7x = 0$
二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，系数要包含本身的符号。解题遵循以下通用步骤：先计算乘方、去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项后使方程右侧为0，最后对应识别各项系数即可：
1. 第(1)题没有乘方和括号，直接移项合并就能得到一般形式；
2. 第(2)题先利用完全平方公式展开左侧的平方项，再移项合并整理为一般形式；
3. 第(3)题先利用单项式乘多项式法则去掉左侧括号，再移项合并整理为一般形式，注意没有常数项时，常数项为0。
【解析】
(1) 移项，将所有项移到方程左侧，得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1。
(2) 先展开左侧完全平方，再移项、合并同类项：
$x^2 - 4x + 4 = 6x^2 + 4$
整理得一元二次方程的一般形式：
$5x^2 + 4x = 0$
二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0。
(3) 先将左侧去括号，再移项、合并同类项：
$5x^2 - 10x = 4x^2 - 3x$
整理得一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 7x = 0$
二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0。
【答案】
(1) 一般形式为$2x^2+3x-1=0$，二次项系数2，一次项系数3，常数项-1；
(2) 一般形式为$5x^2+4x=0$，二次项系数5，一次项系数4，常数项0；
(3) 一般形式为$x^2-7x=0$，二次项系数1，一次项系数-7，常数项0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，完全平方公式，整式运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的化简规则，解题时要注意移项需变号，各项系数要包含前面的符号，不要漏记无常数项时常数项为0的情况。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，系数要包含本身的符号。解题遵循以下通用步骤：先计算乘方、去括号，再将所有项移到方程左侧，合并同类项后使方程右侧为0，最后对应识别各项系数即可：
1. 第(1)题没有乘方和括号，直接移项合并就能得到一般形式；
2. 第(2)题先利用完全平方公式展开左侧的平方项，再移项合并整理为一般形式；
3. 第(3)题先利用单项式乘多项式法则去掉左侧括号，再移项合并整理为一般形式，注意没有常数项时，常数项为0。
【解析】
(1) 移项，将所有项移到方程左侧，得一元二次方程的一般形式：
$2x^2 + 3x - 1 = 0$
二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1。
(2) 先展开左侧完全平方，再移项、合并同类项：
$x^2 - 4x + 4 = 6x^2 + 4$
整理得一元二次方程的一般形式：
$5x^2 + 4x = 0$
二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0。
(3) 先将左侧去括号，再移项、合并同类项：
$5x^2 - 10x = 4x^2 - 3x$
整理得一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 7x = 0$
二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0。
【答案】
(1) 一般形式为$2x^2+3x-1=0$，二次项系数2，一次项系数3，常数项-1；
(2) 一般形式为$5x^2+4x=0$，二次项系数5，一次项系数4，常数项0；
(3) 一般形式为$x^2-7x=0$，二次项系数1，一次项系数-7，常数项0。
【知识点】
一元二次方程的一般形式，完全平方公式，整式运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查一般形式的化简规则，解题时要注意移项需变号，各项系数要包含前面的符号，不要漏记无常数项时常数项为0的情况。
【难度系数】
0.8
10.关于$x$的方程$(k-3)x^{|k-1|}-5x=2$是一元二次方程，求$k$的值.
答案
解：
∵ 关于$x$的方程$(k-3)x^{|k-1|}-5x=2$是一元二次方程，
根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|k-1|=2 \\k-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|k-1|=2$，得$k-1=2$或$k-1=-2$，
解得$k=3$或$k=-1$。
由$k-3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
综上，$k$的值为$-1$。
∵ 关于$x$的方程$(k-3)x^{|k-1|}-5x=2$是一元二次方程，
根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|k-1|=2 \\k-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|k-1|=2$，得$k-1=2$或$k-1=-2$，
解得$k=3$或$k=-1$。
由$k-3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
综上，$k$的值为$-1$。
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元二次方程的定义推导限制条件：一元二次方程需满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0（否则二次项消失，方程次数低于2）。因此我们先根据最高次数为2列出关于k的绝对值方程，再根据二次项系数不为0列出不等式，最后求解并筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(k-3)x^{|k-1|}-5x=2$是一元二次方程，
根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|k-1|=2 \\k-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|k-1|=2$，得$k-1=2$或$k-1=-2$，
解得$k=3$或$k=-1$。
由$k-3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
综上，$k$的值为$-1$。
【答案】
$k=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题考查一元二次方程定义的应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误得出k=3也是解，解题时需全面考虑定义的所有限定条件，避免多解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合一元二次方程的定义推导限制条件：一元二次方程需满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不为0（否则二次项消失，方程次数低于2）。因此我们先根据最高次数为2列出关于k的绝对值方程，再根据二次项系数不为0列出不等式，最后求解并筛选出符合条件的k值即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$(k-3)x^{|k-1|}-5x=2$是一元二次方程，
根据一元二次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|k-1|=2 \\k-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|k-1|=2$，得$k-1=2$或$k-1=-2$，
解得$k=3$或$k=-1$。
由$k-3 ≠ 0$，得$k ≠ 3$。
综上，$k$的值为$-1$。
【答案】
$k=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题考查一元二次方程定义的应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制，错误得出k=3也是解，解题时需全面考虑定义的所有限定条件，避免多解。
【难度系数】
0.7
11.已知$m$是方程$3x^2 - 2x -4=0$的一个实数根,求代数式$3m^3 +4m^2 -8m -3$的值.
答案
解：
∵ $m$是方程$3x^2 - 2x -4=0$的一个实数根，
∴ $3m^2 - 2m -4 = 0$，
即 $3m^2 = 2m + 4$，$3m^2 - 2m = 4$。
对代数式降次可得：
$3m^3 = m· 3m^2 = m(2m+4) = 2m^2 +4m$，
将$3m^3=2m^2+4m$代入代数式$3m^3 +4m^2 -8m -3$：
原式$= 2m^2 +4m +4m^2 -8m -3$
$=6m^2 -4m -3$
$=2(3m^2 -2m) -3$
把$3m^2 -2m=4$代入上式：
原式$=2×4 -3 = 5$。
∵ $m$是方程$3x^2 - 2x -4=0$的一个实数根，
∴ $3m^2 - 2m -4 = 0$，
即 $3m^2 = 2m + 4$，$3m^2 - 2m = 4$。
对代数式降次可得：
$3m^3 = m· 3m^2 = m(2m+4) = 2m^2 +4m$，
将$3m^3=2m^2+4m$代入代数式$3m^3 +4m^2 -8m -3$：
原式$= 2m^2 +4m +4m^2 -8m -3$
$=6m^2 -4m -3$
$=2(3m^2 -2m) -3$
把$3m^2 -2m=4$代入上式：
原式$=2×4 -3 = 5$。
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入已知方程可得到关于m的整式等式，无需解出m的具体值；观察所求代数式是三次多项式，可利用得到的整式等式对三次项降次，再通过整体代入的方法计算代数式的值，这样能避免复杂的根式运算，简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是方程$3x^2 - 2x -4=0$的一个实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$3m^2 - 2m -4 = 0$，
变形可得：$3m^2 = 2m + 4$，$3m^2 - 2m = 4$。
对所求代数式中的三次项降次：
$3m^3 = m· 3m^2 = m(2m+4) = 2m^2 +4m$，
将$3m^3=2m^2+4m$代入代数式$3m^3 +4m^2 -8m -3$：
原式$= 2m^2 +4m +4m^2 -8m -3$
$=6m^2 -4m -3$
$=2(3m^2 -2m) -3$
把$3m^2 -2m=4$代入上式：
原式$=2×4 -3 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；降次法
【点评】
本题核心技巧是无需计算未知字母的具体值，利用方程根的性质得到相关整式的等量关系，通过降次转化后整体代入计算，极大简化了运算步骤，这类解题思路在整式求值类题目中十分常用。
【难度系数】
0.6
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入已知方程可得到关于m的整式等式，无需解出m的具体值；观察所求代数式是三次多项式，可利用得到的整式等式对三次项降次，再通过整体代入的方法计算代数式的值，这样能避免复杂的根式运算，简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是方程$3x^2 - 2x -4=0$的一个实数根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$3m^2 - 2m -4 = 0$，
变形可得：$3m^2 = 2m + 4$，$3m^2 - 2m = 4$。
对所求代数式中的三次项降次：
$3m^3 = m· 3m^2 = m(2m+4) = 2m^2 +4m$，
将$3m^3=2m^2+4m$代入代数式$3m^3 +4m^2 -8m -3$：
原式$= 2m^2 +4m +4m^2 -8m -3$
$=6m^2 -4m -3$
$=2(3m^2 -2m) -3$
把$3m^2 -2m=4$代入上式：
原式$=2×4 -3 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值；降次法
【点评】
本题核心技巧是无需计算未知字母的具体值，利用方程根的性质得到相关整式的等量关系，通过降次转化后整体代入计算，极大简化了运算步骤，这类解题思路在整式求值类题目中十分常用。
【难度系数】
0.6
12. 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的两根分别为$x_1, x_2$，且$x_1=2x_2$。若$a+b+c=0$，求$\frac{b}{a}$的值。
答案
解：
已知 $a+b+c=0$，将 $x=1$ 代入一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，可得 $a·1^2 + b·1 + c = a+b+c=0$，因此 $x=1$ 是方程的一个根。
根据题意方程两根满足 $x_1=2x_2$，分两种情况讨论：
1. 若 $x_1=1$，则 $x_2=\frac{1}{2}$，由韦达定理，两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，代入得：
1+\frac{1}{2} = -\frac{b}{a}$ 整理得 $\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$。2. 若 $x_2=1$，则 $x_1=2$，由韦达定理，两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，代入得： $$2+1 = -\frac{b}{a}$
整理得 $\frac{b}{a}=-3$。
综上，$\frac{b}{a}$ 的值为 $-3$ 或 $-\frac{3}{2}$。
已知 $a+b+c=0$，将 $x=1$ 代入一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，可得 $a·1^2 + b·1 + c = a+b+c=0$，因此 $x=1$ 是方程的一个根。
根据题意方程两根满足 $x_1=2x_2$，分两种情况讨论：
1. 若 $x_1=1$，则 $x_2=\frac{1}{2}$，由韦达定理，两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，代入得：
1+\frac{1}{2} = -\frac{b}{a}$ 整理得 $\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$。2. 若 $x_2=1$，则 $x_1=2$，由韦达定理，两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$，代入得： $$2+1 = -\frac{b}{a}$
整理得 $\frac{b}{a}=-3$。
综上，$\frac{b}{a}$ 的值为 $-3$ 或 $-\frac{3}{2}$。
解析
【解析】
1. 先确定方程的一个根：
将$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可得$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c=0$，因此$x=1$是该方程的一个根。
2. 结合$x_1=2x_2$分两种情况讨论：
情况1：若$x_1=1$，由$x_1=2x_2$可得$x_2=\frac{1}{2}$。
此时方程可写为$a(x-1)(x-\frac{1}{2})=0$，展开得$ax^2-\frac{3a}{2}x+\frac{a}{2}=0$，对比原方程系数得$b=-\frac{3a}{2}$，因此$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$。
情况2：若$x_2=1$，由$x_1=2x_2$可得$x_1=2$。
此时方程可写为$a(x-2)(x-1)=0$，展开得$ax^2-3ax+2a=0$，对比原方程系数得$b=-3a$，因此$\frac{b}{a}=-3$。
综上，$\frac{b}{a}$的值为$-3$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-3$或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的突破口是根据$a+b+c=0$快速得到$x=1$是方程的根，解题时需要对“1是哪个根”进行分类讨论，避免漏解，同时也可结合韦达定理完成求解，方法灵活。
【难度系数】
0.6
1. 先确定方程的一个根：
将$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可得$a·1^2 + b·1 + c = a+b+c=0$，因此$x=1$是该方程的一个根。
2. 结合$x_1=2x_2$分两种情况讨论：
情况1：若$x_1=1$，由$x_1=2x_2$可得$x_2=\frac{1}{2}$。
此时方程可写为$a(x-1)(x-\frac{1}{2})=0$，展开得$ax^2-\frac{3a}{2}x+\frac{a}{2}=0$，对比原方程系数得$b=-\frac{3a}{2}$，因此$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$。
情况2：若$x_2=1$，由$x_1=2x_2$可得$x_1=2$。
此时方程可写为$a(x-2)(x-1)=0$，展开得$ax^2-3ax+2a=0$，对比原方程系数得$b=-3a$，因此$\frac{b}{a}=-3$。
综上，$\frac{b}{a}$的值为$-3$或$-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-3$或$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的突破口是根据$a+b+c=0$快速得到$x=1$是方程的根，解题时需要对“1是哪个根”进行分类讨论，避免漏解，同时也可结合韦达定理完成求解，方法灵活。
【难度系数】
0.6
13.若$a$是方程$x^2 - 2025x +1=0$的一个根，求代数式$a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025}$的值.
答案
解：
∵ $a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - 2025a + 1 = 0$，
变形得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025} &= (2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025} \\&= 2025a - 1 - 2026a + a \\&= -1\end{aligned}$
∴ 代数式$a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025}$的值为$-1$。
∵ $a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴ $a^2 - 2025a + 1 = 0$，
变形得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025} &= (2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025} \\&= 2025a - 1 - 2026a + a \\&= -1\end{aligned}$
∴ 代数式$a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025}$的值为$-1$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的定义与代数式求值，解题时无需直接求解a的具体值，利用方程根的性质可简化计算。首先根据“方程的根代入方程等式成立”，得到关于a的等式，再将等式变形为含有$a^2$、$a^2+1$的形式，最后将变形后的式子整体代入待求代数式，合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
对等式变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入待求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025} &= (2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025} \\&= 2025a - 1 - 2026a + a \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，核心解题思想是整体代换，通过对已知方程变形，将待求式中的高次项用低次式替换，避免了求解方程根的复杂计算，能较好地考察学生的代数变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根的定义与代数式求值，解题时无需直接求解a的具体值，利用方程根的性质可简化计算。首先根据“方程的根代入方程等式成立”，得到关于a的等式，再将等式变形为含有$a^2$、$a^2+1$的形式，最后将变形后的式子整体代入待求代数式，合并同类项化简即可得到结果。
【解析】
∵ $a$是方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2025a + 1 = 0$，
对等式变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入待求代数式：
$\begin{aligned}a^2 - 2026a + \frac{1+a^2}{2025} &= (2025a - 1) - 2026a + \frac{2025a}{2025} \\&= 2025a - 1 - 2026a + a \\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，核心解题思想是整体代换，通过对已知方程变形，将待求式中的高次项用低次式替换，避免了求解方程根的复杂计算，能较好地考察学生的代数变形能力和整体思想的运用。
【难度系数】
0.7
