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1. 方程$x^2=4$的解为$x_1=$，$x_2=$。
答案
解：
对$x^2=4$两边直接开平方，得
$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
对$x^2=4$两边直接开平方，得
$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
解析
【分析】
首先观察方程的形式，该方程只含有未知数的二次项和常数项，可化为$x^2=a(a＞0)$的标准形式，适合用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个解。
【解析】
对$x^2=4$两边直接开平方，得
$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
【答案】
2；-2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题，考查对直接开平方法适用方程形式的识别，以及平方根性质的应用，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先观察方程的形式，该方程只含有未知数的二次项和常数项，可化为$x^2=a(a＞0)$的标准形式，适合用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个解。
【解析】
对$x^2=4$两边直接开平方，得
$x = \pm 2$
所以$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
【答案】
2；-2
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题，考查对直接开平方法适用方程形式的识别，以及平方根性质的应用，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x+5)^2=0$的解为。
答案
解：
两边直接开平方，得
$x+5=0$
解得
$x_1=x_2=-5$
两边直接开平方，得
$x+5=0$
解得
$x_1=x_2=-5$
解析
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，首先观察方程结构，左边是(x+5)的完全平方，右边为0，符合直接开平方法的适用形式(ax+b)²=c（c≥0）。解题时先对等式两边开平方，由于0的平方根只有0，因此可将原一元二次方程转化为一元一次方程x+5=0，求解该一次方程即可，注意最终结果要按照一元二次方程根的规范，写出两个相等的实数根。
【解析】
两边直接开平方，得
$x+5=0$
解得
$x_1=x_2=-5$
【答案】
$x_1=x_2=-5$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时需注意当完全平方等于0时，方程有两个相等的实数根，要规范书写重根形式，避免只写单个解。
【难度系数】
0.9
本题可采用直接开平方法求解，首先观察方程结构，左边是(x+5)的完全平方，右边为0，符合直接开平方法的适用形式(ax+b)²=c（c≥0）。解题时先对等式两边开平方，由于0的平方根只有0，因此可将原一元二次方程转化为一元一次方程x+5=0，求解该一次方程即可，注意最终结果要按照一元二次方程根的规范，写出两个相等的实数根。
【解析】
两边直接开平方，得
$x+5=0$
解得
$x_1=x_2=-5$
【答案】
$x_1=x_2=-5$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时需注意当完全平方等于0时，方程有两个相等的实数根，要规范书写重根形式，避免只写单个解。
【难度系数】
0.9
3. 方程$(x-1)^2=4$的解为$x_1=$，$x_2=$。
答案
$x_1=\boldsymbol{3}$，$x_2=\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
这道题适合用直接开平方法求解，方程左边是完全平方式，右边是非负常数，解题思路是根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程再分别求解即可，注意开平方后结果有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况求解：
① 当$x-1=2$时，移项得$x=2+1=3$；
② 当$x-1=-2$时，移项得$x=-2+1=-1$。
【答案】
$3$；$-1$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程；2.平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意开平方后得到两个互为相反数的结果，避免漏写负的情况。
【难度系数】
0.9
这道题适合用直接开平方法求解，方程左边是完全平方式，右边是非负常数，解题思路是根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程再分别求解即可，注意开平方后结果有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$(x-1)^2=4$两边同时开平方，得：
$x-1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况求解：
① 当$x-1=2$时，移项得$x=2+1=3$；
② 当$x-1=-2$时，移项得$x=-2+1=-1$。
【答案】
$3$；$-1$
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程；2.平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意开平方后得到两个互为相反数的结果，避免漏写负的情况。
【难度系数】
0.9
4.若方程$(x-4)^2=a$有实数解，则a的取值范围是（）
A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.$a＜0$
A.$a≤0$
B.$a≥0$
C.$a＞0$
D.$a＜0$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察方程形式，该方程可使用直接开平方法求解。我们知道，任何实数的平方都是非负数，因此要使方程有实数解，等号右边的a必须符合平方的取值范围，只需根据平方的非负性推导a的范围即可。
【解析】
对于任意实数x，$(x-4)$是实数，根据平方的非负性可得：$(x-4)^2 ≥ 0$。
要使方程$(x-4)^2=a$有实数解，那么等号两边的取值范围必须一致，即$a ≥ 0$，此时可直接开平方得到$x-4=\pm\sqrt{a}$，存在实数解。
【答案】
B
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查直接开平方法解方程的前提条件，掌握平方的非负性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察方程形式，该方程可使用直接开平方法求解。我们知道，任何实数的平方都是非负数，因此要使方程有实数解，等号右边的a必须符合平方的取值范围，只需根据平方的非负性推导a的范围即可。
【解析】
对于任意实数x，$(x-4)$是实数，根据平方的非负性可得：$(x-4)^2 ≥ 0$。
要使方程$(x-4)^2=a$有实数解，那么等号两边的取值范围必须一致，即$a ≥ 0$，此时可直接开平方得到$x-4=\pm\sqrt{a}$，存在实数解。
【答案】
B
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查直接开平方法解方程的前提条件，掌握平方的非负性即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
5.若$2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数，则$x$的值为()
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\pm 2$
D.$\pm \dfrac{1}{2}$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2$
C.$\pm 2$
D.$\pm \dfrac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据“互为相反数的两个数之和为0”这一性质建立方程，再对得到的方程进行化简，发现方程可变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，按步骤求解即可得到x的值，最后匹配对应选项。
【解析】
解：
∵$2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数
∴$(2x^2 + 3)+(2x^2 - 4)=0$
去括号得：$2x^2 + 3 + 2x^2 - 4 = 0$
合并同类项得：$4x^2 - 1 = 0$
移项得：$4x^2 = 1$
系数化为1得：$x^2=\frac{1}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{1}{2}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，结合相反数性质与一元二次方程解法进行考查，解题关键是根据相反数的性质正确列方程，再熟练运用直接开平方法求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“互为相反数的两个数之和为0”这一性质建立方程，再对得到的方程进行化简，发现方程可变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，按步骤求解即可得到x的值，最后匹配对应选项。
【解析】
解：
∵$2x^2 + 3$与$2x^2 - 4$互为相反数
∴$(2x^2 + 3)+(2x^2 - 4)=0$
去括号得：$2x^2 + 3 + 2x^2 - 4 = 0$
合并同类项得：$4x^2 - 1 = 0$
移项得：$4x^2 = 1$
系数化为1得：$x^2=\frac{1}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{1}{2}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，结合相反数性质与一元二次方程解法进行考查，解题关键是根据相反数的性质正确列方程，再熟练运用直接开平方法求解即可。
【难度系数】
0.8
6.若$(x^2 + y^2 -5)^2=64$，则$x^2 + y^2$等于()
A.13
B.13或-3
C.-3
D.以上都不对
A.13
B.13或-3
C.-3
D.以上都不对
答案
A
解析
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，左边是含代数式$x^2+y^2$的完全平方式，右边是正数64，符合直接开平方法的解方程条件；开平方后得到$x^2+y^2-5=\pm8$，可求出$x^2+y^2$的两个候选值；最后结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$），排除不符合实际意义的负数解，即可得到正确结果。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 -5)^2=64$两边直接开平方，得：
$x^2 + y^2 -5 = \pm\sqrt{64}=\pm8$
分两种情况计算：
1. 当$x^2 + y^2 -5 = 8$时，移项得$x^2 + y^2 = 8 + 5 = 13$；
2. 当$x^2 + y^2 -5 = -8$时，移项得$x^2 + y^2 = -8 + 5 = -3$。
因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$x^2 + y^2≥0$，故$x^2 + y^2=-3$不符合要求，舍去。
综上，$x^2 + y^2=13$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解方程的典型应用，易错点是忽略$x^2+y^2$的非负性，误选包含负解的B选项，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的解进行合理性验证。
【难度系数】
0.6
本题可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程结构，左边是含代数式$x^2+y^2$的完全平方式，右边是正数64，符合直接开平方法的解方程条件；开平方后得到$x^2+y^2-5=\pm8$，可求出$x^2+y^2$的两个候选值；最后结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$），排除不符合实际意义的负数解，即可得到正确结果。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 -5)^2=64$两边直接开平方，得：
$x^2 + y^2 -5 = \pm\sqrt{64}=\pm8$
分两种情况计算：
1. 当$x^2 + y^2 -5 = 8$时，移项得$x^2 + y^2 = 8 + 5 = 13$；
2. 当$x^2 + y^2 -5 = -8$时，移项得$x^2 + y^2 = -8 + 5 = -3$。
因为任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$，$y^2≥0$，所以$x^2 + y^2≥0$，故$x^2 + y^2=-3$不符合要求，舍去。
综上，$x^2 + y^2=13$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解方程的典型应用，易错点是忽略$x^2+y^2$的非负性，误选包含负解的B选项，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对求出的解进行合理性验证。
【难度系数】
0.6
7. 下列说法:①方程$x^2=1$的根为$x_1=1,x_2=-1$;②方程$x(x-1)=0$的根为$x=0$;③方程$(x-1)^2=0$的根为$x_1=x_2=0$;④方程$x^2-2=0$的根为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$,其中正确的有()
A.①④
B.①②
C.①②③
D.①②③④
A.①④
B.①②
C.①②③
D.①②③④
答案
A
解析
【分析】
本题需要判断4个关于一元二次方程根的说法是否正确，解题时可逐一求解每个方程的根，再与给出的结论对比，筛选出全部正确的说法后匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，即根为$x_1=1,x_2=-1$，故①正确；
② 解方程$x(x-1)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得$x=0$或$x-1=0$，解得根为$x_1=0,x_2=1$，说法中漏了根$x=1$，故②错误；
③ 解方程$(x-1)^2=0$，开平方得$x-1=0$，即根为$x_1=x_2=1$，说法中根的数值错误，故③错误；
④ 解方程$x^2-2=0$，移项得$x^2=2$，开平方得$x=\pm\sqrt{2}$，即根为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$，故④正确。
综上，正确的是①④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的根 2.直接开平方法解方程 3.因式分解法解方程
【点评】
本题为基础题型，重点考查一元二次方程的基础求解方法，解题时需注意不要漏解，也不要写错根的取值，认真核对即可做对。
【难度系数】
0.8
本题需要判断4个关于一元二次方程根的说法是否正确，解题时可逐一求解每个方程的根，再与给出的结论对比，筛选出全部正确的说法后匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
① 解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm\sqrt{1}=\pm1$，即根为$x_1=1,x_2=-1$，故①正确；
② 解方程$x(x-1)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得$x=0$或$x-1=0$，解得根为$x_1=0,x_2=1$，说法中漏了根$x=1$，故②错误；
③ 解方程$(x-1)^2=0$，开平方得$x-1=0$，即根为$x_1=x_2=1$，说法中根的数值错误，故③错误；
④ 解方程$x^2-2=0$，移项得$x^2=2$，开平方得$x=\pm\sqrt{2}$，即根为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$，故④正确。
综上，正确的是①④，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的根 2.直接开平方法解方程 3.因式分解法解方程
【点评】
本题为基础题型，重点考查一元二次方程的基础求解方法，解题时需注意不要漏解，也不要写错根的取值，认真核对即可做对。
【难度系数】
0.8
8.关于$x$的方程$a(x+m)^2 + p = 0$（$a,m,p$为常数，且$a≠0$）的解为$x_1=1,x_2=-3$，那么方程$a(x+m+3)^2 + p = 0$的解为()
A.$x_1=-2,x_2=-6$
B.$x_1=4,x_2=0$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.以上都不对
A.$x_1=-2,x_2=-6$
B.$x_1=4,x_2=0$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.以上都不对
答案
A
解析
【分析】
本题可运用整体代换思想求解：观察两个方程的结构，第二个方程可变形为$a[(x+3)+m]^2 + p = 0$，相当于把第一个方程中的$x$替换为$x+3$。我们已知第一个方程的解，只需将解代入替换后的等量关系，即可求出第二个方程的解，避免展开方程带来的繁琐计算。
【解析】
已知方程$a(x+m)^2 + p = 0$的解为$x_1=1,x_2=-3$。
将待求方程$a(x+m+3)^2 + p = 0$变形为$a[(x+3)+m]^2 + p = 0$，把$x+3$看作整体，则有：
$x+3 = 1$ 或 $x+3 = -3$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=1$时，$x=1-3=-2$；
当$x+3=-3$时，$x=-3-3=-6$。
因此方程$a(x+m+3)^2 + p = 0$的解为$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，整体代换法，解一元一次方程
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程解的概念的理解，运用整体代换思想可快速求解同结构的方程，是这类题型的常用解题技巧，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
本题可运用整体代换思想求解：观察两个方程的结构，第二个方程可变形为$a[(x+3)+m]^2 + p = 0$，相当于把第一个方程中的$x$替换为$x+3$。我们已知第一个方程的解，只需将解代入替换后的等量关系，即可求出第二个方程的解，避免展开方程带来的繁琐计算。
【解析】
已知方程$a(x+m)^2 + p = 0$的解为$x_1=1,x_2=-3$。
将待求方程$a(x+m+3)^2 + p = 0$变形为$a[(x+3)+m]^2 + p = 0$，把$x+3$看作整体，则有：
$x+3 = 1$ 或 $x+3 = -3$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=1$时，$x=1-3=-2$；
当$x+3=-3$时，$x=-3-3=-6$。
因此方程$a(x+m+3)^2 + p = 0$的解为$x_1=-2,x_2=-6$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解，整体代换法，解一元一次方程
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程解的概念的理解，运用整体代换思想可快速求解同结构的方程，是这类题型的常用解题技巧，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
9.用符号$\max\{p,q\}$表示$p,q$两实数中较大的数,如$\max\{2,3\}=3$.若$\max\{(x-1)^2,x^2\}=1$,则$x$的值是()
A.1或−1或2或0
B.1或−1
C.2或0
D.1或0
A.1或−1或2或0
B.1或−1
C.2或0
D.1或0
答案
D
解析
【分析】
首先要理解新符号$\max\{p,q\}$的含义是取p、q中较大的数，本题中$\max\{(x-1)^2,x^2\}=1$说明两个式子中较大的值为1，因此需要分两种情况讨论：①当$(x-1)^2≥ x^2$时，较大值为$(x-1)^2$，令其等于1求解；②当$x^2＞(x-1)^2$时，较大值为$x^2$，令其等于1求解。每种情况解出x后要验证是否满足对应情况的不等式条件，最后合并符合条件的解即可。
【解析】
根据$\max\{p,q\}$的定义，分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2≥ x^2$时，可得$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$
先解不等式：
展开$(x-1)^2≥ x^2$得$x^2-2x+1≥ x^2$，
化简得$-2x+1≥0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
再解方程$(x-1)^2=1$，直接开平方得$x-1=\pm1$，
即$x=1+1=2$或$x=1-1=0$。
结合$x≤\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=2$，保留$x=0$。
2. 当$x^2＞(x-1)^2$时，可得$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$
先解不等式：
展开$x^2＞(x-1)^2$得$x^2＞x^2-2x+1$，
化简得$0＞-2x+1$，解得$x＞\frac{1}{2}$。
再解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x＞\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=-1$，保留$x=1$。
综上，符合条件的x的值为1或0。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，解一元一次不等式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题核心是根据新定义的规则合理分类讨论，求出方程的解后要注意检验是否符合对应分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
首先要理解新符号$\max\{p,q\}$的含义是取p、q中较大的数，本题中$\max\{(x-1)^2,x^2\}=1$说明两个式子中较大的值为1，因此需要分两种情况讨论：①当$(x-1)^2≥ x^2$时，较大值为$(x-1)^2$，令其等于1求解；②当$x^2＞(x-1)^2$时，较大值为$x^2$，令其等于1求解。每种情况解出x后要验证是否满足对应情况的不等式条件，最后合并符合条件的解即可。
【解析】
根据$\max\{p,q\}$的定义，分两种情况讨论：
1. 当$(x-1)^2≥ x^2$时，可得$\max\{(x-1)^2,x^2\}=(x-1)^2=1$
先解不等式：
展开$(x-1)^2≥ x^2$得$x^2-2x+1≥ x^2$，
化简得$-2x+1≥0$，解得$x≤\frac{1}{2}$。
再解方程$(x-1)^2=1$，直接开平方得$x-1=\pm1$，
即$x=1+1=2$或$x=1-1=0$。
结合$x≤\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=2$，保留$x=0$。
2. 当$x^2＞(x-1)^2$时，可得$\max\{(x-1)^2,x^2\}=x^2=1$
先解不等式：
展开$x^2＞(x-1)^2$得$x^2＞x^2-2x+1$，
化简得$0＞-2x+1$，解得$x＞\frac{1}{2}$。
再解方程$x^2=1$，直接开平方得$x=\pm1$。
结合$x＞\frac{1}{2}$的条件，舍去$x=-1$，保留$x=1$。
综上，符合条件的x的值为1或0。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，解一元一次不等式
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题核心是根据新定义的规则合理分类讨论，求出方程的解后要注意检验是否符合对应分类的前提条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
10.解下列方程：
(1)$4x^2=5$；
(2)$(2x-1)^2=25$；
(3)$3(x+1)^2 -9=0$；
(4)$(2y-1)^2=(3y+4)^2$。
(1)$4x^2=5$；
(2)$(2x-1)^2=25$；
(3)$3(x+1)^2 -9=0$；
(4)$(2y-1)^2=(3y+4)^2$。
答案
解：
(1) 方程两边同时除以4，得
$x^2=\frac{5}{4}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) 直接开平方，得
$2x-1=\pm5$
当$2x-1=5$时，解得$x_1=3$
当$2x-1=-5$时，解得$x_2=-2$
(3) 移项，得$3(x+1)^2=9$
方程两边同时除以3，得
$(x+1)^2=3$
直接开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$
(4) 直接开平方，得
$2y-1=\pm(3y+4)$
当$2y-1=3y+4$时，解得$y_1=-5$
当$2y-1=-(3y+4)$时，整理得$5y=-3$，解得$y_2=-\frac{3}{5}$
(1) 方程两边同时除以4，得
$x^2=\frac{5}{4}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) 直接开平方，得
$2x-1=\pm5$
当$2x-1=5$时，解得$x_1=3$
当$2x-1=-5$时，解得$x_2=-2$
(3) 移项，得$3(x+1)^2=9$
方程两边同时除以3，得
$(x+1)^2=3$
直接开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$
(4) 直接开平方，得
$2y-1=\pm(3y+4)$
当$2y-1=3y+4$时，解得$y_1=-5$
当$2y-1=-(3y+4)$时，整理得$5y=-3$，解得$y_2=-\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这4道一元二次方程都符合直接开平方法的适用特征，解题核心思路是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”（或等号两边均为完全平方式）的形式，再利用平方根的性质开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可。具体各小问思考路径：(1)先将$x^2$的系数化为1，再直接开平方；(2)本身就是完全平方式等于正数的形式，直接开平方后分两种情况求解；(3)先移项，再将完全平方式的系数化为1，之后开平方求解；(4)等号两边都是完全平方式，直接开平方得到左边等于±右边，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以4，得
$x^2=\frac{5}{4}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) 直接开平方，得
$2x-1=\pm5$
当$2x-1=5$时，解得$x_1=3$
当$2x-1=-5$时，解得$x_2=-2$
(3) 移项，得$3(x+1)^2=9$
方程两边同时除以3，得
$(x+1)^2=3$
直接开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$
(4) 直接开平方，得
$2y-1=\pm(3y+4)$
当$2y-1=3y+4$时，解得$y_1=-5$
当$2y-1=-(3y+4)$时，整理得$5y=-3$，解得$y_2=-\frac{3}{5}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=3$，$x_2=-2$；
(3) $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；
(4) $y_1=-5$，$y_2=-\frac{3}{5}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查对直接开平方法适用方程形式的识别能力，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，避免漏解，对于两边均为完全平方式的方程，直接开平方转化为一次方程求解的方法更简便，计算时注意符号处理即可。
【难度系数】
0.85
这4道一元二次方程都符合直接开平方法的适用特征，解题核心思路是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”（或等号两边均为完全平方式）的形式，再利用平方根的性质开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可。具体各小问思考路径：(1)先将$x^2$的系数化为1，再直接开平方；(2)本身就是完全平方式等于正数的形式，直接开平方后分两种情况求解；(3)先移项，再将完全平方式的系数化为1，之后开平方求解；(4)等号两边都是完全平方式，直接开平方得到左边等于±右边，分两种情况解一次方程即可。
【解析】
(1) 方程两边同时除以4，得
$x^2=\frac{5}{4}$
直接开平方，得
$x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$
(2) 直接开平方，得
$2x-1=\pm5$
当$2x-1=5$时，解得$x_1=3$
当$2x-1=-5$时，解得$x_2=-2$
(3) 移项，得$3(x+1)^2=9$
方程两边同时除以3，得
$(x+1)^2=3$
直接开平方，得
$x+1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$
(4) 直接开平方，得
$2y-1=\pm(3y+4)$
当$2y-1=3y+4$时，解得$y_1=-5$
当$2y-1=-(3y+4)$时，整理得$5y=-3$，解得$y_2=-\frac{3}{5}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=3$，$x_2=-2$；
(3) $x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$；
(4) $y_1=-5$，$y_2=-\frac{3}{5}$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，重点考查对直接开平方法适用方程形式的识别能力，解题时需注意开平方后存在正负两种情况，避免漏解，对于两边均为完全平方式的方程，直接开平方转化为一次方程求解的方法更简便，计算时注意符号处理即可。
【难度系数】
0.85
