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11.(1)已知$\sqrt{5}$是一元二次方程$x^2 + c = 0$的一个根，求该方程的另一个根；
(2)关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，求$\frac{b}{a}$的值。
(2)关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，求$\frac{b}{a}$的值。
答案
解：
(1) 将$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$
$5 + c = 0$
解得$c=-5$
原方程为$x^2 - 5 = 0$，即$x^2=5$
直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
所以该方程的另一个根为$-\sqrt{5}$。
(2) 将方程$ax^2 = b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，
直接开平方可知该方程的两个根互为相反数，
因此$(m+1)+(2m-4)=0$
解得$m=1$
则两个根分别为$1+1=2$，$2×1 -4=-2$
所以$x^2=(\pm2)^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
(1) 将$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$
$5 + c = 0$
解得$c=-5$
原方程为$x^2 - 5 = 0$，即$x^2=5$
直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
所以该方程的另一个根为$-\sqrt{5}$。
(2) 将方程$ax^2 = b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，
直接开平方可知该方程的两个根互为相反数，
因此$(m+1)+(2m-4)=0$
解得$m=1$
则两个根分别为$1+1=2$，$2×1 -4=-2$
所以$x^2=(\pm2)^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
解析
【分析】
(1) 有两种解题思路：思路一，根据一元二次方程根的定义，把已知根$x=\sqrt{5}$代入方程求出参数$c$，再解方程得到所有根，即可确定另一个根；思路二，形如$x^2=k(k≥0)$的一元二次方程，两个根互为相反数，已知一个根为$\sqrt{5}$，可直接得到另一个根是它的相反数。
(2) 先把方程$ax^2=b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可得$\frac{b}{a}＞0$，因此该方程的两个根互为相反数，根据互为相反数的两数和为0列方程求出$m$的值，再代入根即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 将$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$
$5 + c = 0$
解得$c=-5$
原方程为$x^2 - 5 = 0$，即$x^2=5$
直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
所以该方程的另一个根为$-\sqrt{5}$。
(2) 将方程$ax^2 = b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，
直接开平方可知该方程的两个根互为相反数，
因此$(m+1)+(2m-4)=0$
解得$m=1$
则两个根分别为$1+1=2$，$2×1 -4=-2$
所以$x^2=(\pm2)^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{5}$；(2) $4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
3. 相反数的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用题，解题核心是掌握$x^2=k(k≥0)$型方程的两根互为相反数的特点，能灵活运用根的定义求解方程中的未知参数，侧重基础方法的巩固。
【难度系数】
0.8
(1) 有两种解题思路：思路一，根据一元二次方程根的定义，把已知根$x=\sqrt{5}$代入方程求出参数$c$，再解方程得到所有根，即可确定另一个根；思路二，形如$x^2=k(k≥0)$的一元二次方程，两个根互为相反数，已知一个根为$\sqrt{5}$，可直接得到另一个根是它的相反数。
(2) 先把方程$ax^2=b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可得$\frac{b}{a}＞0$，因此该方程的两个根互为相反数，根据互为相反数的两数和为0列方程求出$m$的值，再代入根即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
(1) 将$x=\sqrt{5}$代入方程$x^2 + c = 0$，得：
$(\sqrt{5})^2 + c = 0$
$5 + c = 0$
解得$c=-5$
原方程为$x^2 - 5 = 0$，即$x^2=5$
直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
所以该方程的另一个根为$-\sqrt{5}$。
(2) 将方程$ax^2 = b$变形为$x^2=\frac{b}{a}$，
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，
直接开平方可知该方程的两个根互为相反数，
因此$(m+1)+(2m-4)=0$
解得$m=1$
则两个根分别为$1+1=2$，$2×1 -4=-2$
所以$x^2=(\pm2)^2=4$，即$\frac{b}{a}=4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{5}$；(2) $4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 直接开平方法解方程
3. 相反数的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用题，解题核心是掌握$x^2=k(k≥0)$型方程的两根互为相反数的特点，能灵活运用根的定义求解方程中的未知参数，侧重基础方法的巩固。
【难度系数】
0.8
12.如图，正方形ABCD的面积为48 cm²，正方形EFGH与正方形ABCD有相同的中心，且BC//EF.若阴影部分的面积是正方形ABCD的面积的一半，求正方形EFGH的边长.
答案
解：设正方形EFGH的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意列方程：
$48 - x^2 = \frac{1}{2} × 48$
整理得：
$x^2 = 24$
直接开平方，由边长为正舍去负根，得：
$x = 2\sqrt{6}$
答：正方形EFGH的边长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$48 - x^2 = \frac{1}{2} × 48$
整理得：
$x^2 = 24$
直接开平方，由边长为正舍去负根，得：
$x = 2\sqrt{6}$
答：正方形EFGH的边长为$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先明确图形中的面积等量关系：阴影部分的面积=正方形ABCD的面积 - 正方形EFGH的面积。已知正方形ABCD的面积，且阴影面积是它的一半，我们可以先设正方形EFGH的边长为x cm，根据等量关系列出关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解，结合边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
解：设正方形EFGH的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意，阴影部分面积为正方形ABCD面积的一半，可得等量关系：
$S_{正方形ABCD} - S_{正方形EFGH} = \frac{1}{2}S_{正方形ABCD}$
代入已知条件$S_{正方形ABCD}=48\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：
$48 - x^2 = \frac{1}{2} × 48$
整理方程：
$x^2 = 24$
用直接开平方法求解，结合正方形边长为正数，舍去负根，得：
$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方形面积计算，列一元二次方程解应用题，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题，解题的核心是准确找到阴影部分面积与两个正方形面积的等量关系，求解方程时要注意结合实际问题的意义，舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确图形中的面积等量关系：阴影部分的面积=正方形ABCD的面积 - 正方形EFGH的面积。已知正方形ABCD的面积，且阴影面积是它的一半，我们可以先设正方形EFGH的边长为x cm，根据等量关系列出关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解，结合边长为正数的实际意义舍去负根，即可得到结果。
【解析】
解：设正方形EFGH的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据题意，阴影部分面积为正方形ABCD面积的一半，可得等量关系：
$S_{正方形ABCD} - S_{正方形EFGH} = \frac{1}{2}S_{正方形ABCD}$
代入已知条件$S_{正方形ABCD}=48\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：
$48 - x^2 = \frac{1}{2} × 48$
整理方程：
$x^2 = 24$
用直接开平方法求解，结合正方形边长为正数，舍去负根，得：
$x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方形面积计算，列一元二次方程解应用题，直接开平方法解方程
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础题，解题的核心是准确找到阴影部分面积与两个正方形面积的等量关系，求解方程时要注意结合实际问题的意义，舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.75
13.已知一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长.
答案
解：
对一元二次方程$(x-3)^2=1$直接开平方，得
$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 当底边长为2，腰长为4时，
$2+4＞4$，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$；
② 当底边长为4，腰长为2时，
$2+2=4$，不满足三角形三边关系，该情况无法构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为10。
对一元二次方程$(x-3)^2=1$直接开平方，得
$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 当底边长为2，腰长为4时，
$2+4＞4$，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$；
② 当底边长为4，腰长为2时，
$2+2=4$，不满足三角形三边关系，该情况无法构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为10。
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，用直接开平方法即可得到两个根；第二步因为两个根分别对应等腰三角形的底边长和腰长，底和腰的取值不确定，所以需要分两种情况分类讨论；第三步每种情况都要依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
解：对一元二次方程$(x-3)^2=1$直接开平方，得
$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 当底边长为2，腰长为4时，
$2+4＞4$，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$；
② 当底边长为4，腰长为2时，
$2+2=4$，不满足三角形三边关系，该情况无法构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 等腰三角形性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题将一元二次方程的解法与三角形的相关知识点结合考查，解题时需要注意分类讨论思想的应用，同时要养成验证三边关系的习惯，避免忽略构成三角形的条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，用直接开平方法即可得到两个根；第二步因为两个根分别对应等腰三角形的底边长和腰长，底和腰的取值不确定，所以需要分两种情况分类讨论；第三步每种情况都要依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
解：对一元二次方程$(x-3)^2=1$直接开平方，得
$x-3=\pm1$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
分两种情况讨论：
① 当底边长为2，腰长为4时，
$2+4＞4$，满足三角形三边关系，
此时$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$；
② 当底边长为4，腰长为2时，
$2+2=4$，不满足三角形三边关系，该情况无法构成三角形，舍去。
综上，$△ ABC$的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 等腰三角形性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题将一元二次方程的解法与三角形的相关知识点结合考查，解题时需要注意分类讨论思想的应用，同时要养成验证三边关系的习惯，避免忽略构成三角形的条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
