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试验1:抛掷一枚质地均匀的硬币2次;试验2:同时抛掷两枚质地均匀的硬币1次.
试验1中2次抛掷的结果都是正面朝上的概率,与试验2中两枚质地均匀的硬币都是正面朝上的概率相等吗?
试验1中2次抛掷的结果都是正面朝上的概率,与试验2中两枚质地均匀的硬币都是正面朝上的概率相等吗?
答案
相等
解析
【分析】
要判断两个概率是否相等，我们只需分别计算出两个试验对应事件的概率再比较大小即可。计算等可能事件概率的思路为：首先用列举法罗列出试验所有等可能的结果，再找出符合事件要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算概率，比较两个概率大小就能得到结论。
【解析】
1. 计算试验1的概率：
抛掷一枚质地均匀的硬币2次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；其中2次都正面朝上的结果有1种，因此试验1的所求概率$P_1=\frac{1}{4}$。
2. 计算试验2的概率：
同时抛掷两枚质地均匀的硬币1次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此试验2的所求概率$P_2=\frac{1}{4}$。
3. 比较概率：
因为$P_1=P_2=\frac{1}{4}$，所以两个试验的所求概率相等。
【答案】
相等
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，要注意“先后抛掷两次同一枚硬币”和“同时抛掷两枚相同硬币”的所有等可能结果是等价的，不要误将（正，反）和（反，正）归为同一种结果，避免出现总结果数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
要判断两个概率是否相等，我们只需分别计算出两个试验对应事件的概率再比较大小即可。计算等可能事件概率的思路为：首先用列举法罗列出试验所有等可能的结果，再找出符合事件要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算概率，比较两个概率大小就能得到结论。
【解析】
1. 计算试验1的概率：
抛掷一枚质地均匀的硬币2次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；其中2次都正面朝上的结果有1种，因此试验1的所求概率$P_1=\frac{1}{4}$。
2. 计算试验2的概率：
同时抛掷两枚质地均匀的硬币1次，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种；其中两枚都正面朝上的结果有1种，因此试验2的所求概率$P_2=\frac{1}{4}$。
3. 比较概率：
因为$P_1=P_2=\frac{1}{4}$，所以两个试验的所求概率相等。
【答案】
相等
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，要注意“先后抛掷两次同一枚硬币”和“同时抛掷两枚相同硬币”的所有等可能结果是等价的，不要误将（正，反）和（反，正）归为同一种结果，避免出现总结果数计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
例1 在一个不透明的袋中装有3个除颜色外其他完全相同的小球，其中白球1个，红球2个.
（1）从中任意摸出1个球不放回，再任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率；
（2）从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率.
（1）从中任意摸出1个球不放回，再任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率；
（2）从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率.
答案
（1）从中任意摸出1个球不放回,再任意摸出1个球,用表格列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | — | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | — | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | — |
由表格知,共有6种可能出现的结果,它们是等可能的.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件A)的结果有2种,所以$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（2）从中任意摸出1个球放回,再任意摸出1个球,用表格列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | (红1,红1) | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | (红2,红2) |
由表格知,共有9种可能出现的结果,它们是等可能的.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果有4种,所以$P(B)=\frac{4}{9}$
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | — | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | — | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | — |
由表格知,共有6种可能出现的结果,它们是等可能的.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件A)的结果有2种,所以$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
（2）从中任意摸出1个球放回,再任意摸出1个球,用表格列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | (红1,红1) | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | (红2,红2) |
由表格知,共有9种可能出现的结果,它们是等可能的.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果有4种,所以$P(B)=\frac{4}{9}$
解析
【分析】
这两问均为等可能条件下的概率计算问题，核心区别是第一问为不放回摸球，第二次摸球的总球数会减少，第二问为放回摸球，两次摸球的总球数不变。解题时可采用列表法枚举所有等可能的结果，再找出满足“两次都摸到红球”的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
（1）不放回摸球时，列表列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | — | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | — | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | — |
由表格可知，共有6种等可能出现的结果，其中满足“两次都摸到红球”的结果有2种，因此概率为$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）放回摸球时，列表列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | (红1,红1) | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | (红2,红2) |
由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中满足“两次都摸到红球”的结果有4种，因此概率为$P=\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{4}{9}$
【知识点】
等可能概率计算，列表法求概率，放回与不放回试验
【点评】
本题重点考查放回和不放回两类概率试验的差异，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，避免漏算或重复计算，是概率模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
这两问均为等可能条件下的概率计算问题，核心区别是第一问为不放回摸球，第二次摸球的总球数会减少，第二问为放回摸球，两次摸球的总球数不变。解题时可采用列表法枚举所有等可能的结果，再找出满足“两次都摸到红球”的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。
【解析】
（1）不放回摸球时，列表列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | — | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | — | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | — |
由表格可知，共有6种等可能出现的结果，其中满足“两次都摸到红球”的结果有2种，因此概率为$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
（2）放回摸球时，列表列出所有可能出现的结果：
| 摸球次序 | 白 | 红1 | 红2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 白 | (白,白) | (白,红1) | (白,红2) |
| 红1 | (红1,白) | (红1,红1) | (红1,红2) |
| 红2 | (红2,白) | (红2,红1) | (红2,红2) |
由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中满足“两次都摸到红球”的结果有4种，因此概率为$P=\frac{4}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$；（2）$\frac{4}{9}$
【知识点】
等可能概率计算，列表法求概率，放回与不放回试验
【点评】
本题重点考查放回和不放回两类概率试验的差异，解题的关键是准确枚举所有等可能的结果，避免漏算或重复计算，是概率模块的基础典型题。
【难度系数】
0.7
例2 （1）一个不透明的袋中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外其他都相同.求下列事件的概率：
① 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球.
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，只有1个选项是正确的.如果小明从每道题的4个选项中随机选择1个，那么这6道选择题全部选择正确的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$( \frac{1}{4} )^6$
C.$1 - ( \frac{1}{4} )^6$
D.$1 - ( \frac{3}{4} )^6$
① 搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球.
（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，只有1个选项是正确的.如果小明从每道题的4个选项中随机选择1个，那么这6道选择题全部选择正确的概率是（
B
）.A.$\frac{1}{4}$
B.$( \frac{1}{4} )^6$
C.$1 - ( \frac{1}{4} )^6$
D.$1 - ( \frac{3}{4} )^6$
答案
（1）① 搅匀后从中任意摸出1个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共有4种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件A)的结果只有1种,所以$P(A)=\frac{1}{4}$
② 搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球,所有可能出现的结果有:(红,红),(红,黄),(红,蓝),(红,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(黄,白),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,蓝),(蓝,白),(白,红),(白,黄),(白,蓝),(白,白),共有16种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种,所以$P(B)=\frac{1}{16}$
（2）B
② 搅匀后从中任意摸出1个球,记录下颜色后放回袋中并搅匀,再从中任意摸出1个球,所有可能出现的结果有:(红,红),(红,黄),(红,蓝),(红,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(黄,白),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,蓝),(蓝,白),(白,红),(白,黄),(白,蓝),(白,白),共有16种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种,所以$P(B)=\frac{1}{16}$
（2）B
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：
1. （1）①属于单步等可能试验，先明确摸1个球的所有等可能结果总数，再找出恰好摸到红球的结果数，代入概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$”计算即可。
2. （1）②属于有放回的两步摸球试验，两次摸球互不影响，总等可能结果数为两次摸球的结果数乘积，再找出两次都是红球的结果数，代入概率公式计算即可，也可通过独立事件概率乘法规则直接计算。
3. （2）中每道题的选择是独立事件，每道题选对的概率为$\frac{1}{4}$，6道题全对的概率为每道题选对概率的乘积，据此选择对应选项即可。
【解析】
（1）① 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果只有1种，所以$P(A)=\frac{1}{4}$。
② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红,红),(红,黄),(红,蓝),(红,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(黄,白),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,蓝),(蓝,白),(白,红),(白,黄),(白,蓝),(白,白)，共有16种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为事件B）的结果只有1种，所以$P(B)=\frac{1}{16}$。
（2）每道题选对的概率为$\frac{1}{4}$，且各题的选择结果互不影响，因此6道题全部选对的概率为$(\frac{1}{4})^6$，故选B。
【答案】
（1）① $\frac{1}{4}$；② $\frac{1}{16}$
（2）B
【知识点】
等可能事件概率计算、放回型试验概率、独立事件概率乘法
【点评】
本题是概率计算基础题，重点考查概率公式的运用、放回类试验和独立重复试验的概率计算规则，解题时要注意区分放回和不放回试验的差异，避免混淆总结果数。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：
1. （1）①属于单步等可能试验，先明确摸1个球的所有等可能结果总数，再找出恰好摸到红球的结果数，代入概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$”计算即可。
2. （1）②属于有放回的两步摸球试验，两次摸球互不影响，总等可能结果数为两次摸球的结果数乘积，再找出两次都是红球的结果数，代入概率公式计算即可，也可通过独立事件概率乘法规则直接计算。
3. （2）中每道题的选择是独立事件，每道题选对的概率为$\frac{1}{4}$，6道题全对的概率为每道题选对概率的乘积，据此选择对应选项即可。
【解析】
（1）① 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A）的结果只有1种，所以$P(A)=\frac{1}{4}$。
② 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红,红),(红,黄),(红,蓝),(红,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,蓝),(黄,白),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,蓝),(蓝,白),(白,红),(白,黄),(白,蓝),(白,白)，共有16种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足“两次都是红球”（记为事件B）的结果只有1种，所以$P(B)=\frac{1}{16}$。
（2）每道题选对的概率为$\frac{1}{4}$，且各题的选择结果互不影响，因此6道题全部选对的概率为$(\frac{1}{4})^6$，故选B。
【答案】
（1）① $\frac{1}{4}$；② $\frac{1}{16}$
（2）B
【知识点】
等可能事件概率计算、放回型试验概率、独立事件概率乘法
【点评】
本题是概率计算基础题，重点考查概率公式的运用、放回类试验和独立重复试验的概率计算规则，解题时要注意区分放回和不放回试验的差异，避免混淆总结果数。
【难度系数】
0.8
1. 从下列四个会徽中任意抽取两个，恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
D
).A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题时首先要明确所有抽取的等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，利用概率公式即可求解。思考时可先对4个会徽进行编号简化计数，再用列举法罗列出任意抽取2个的所有情况，注意抽取2个的情况不考虑先后顺序，避免重复计数，最后代入公式计算即可。
【解析】
将四个会徽分别记为：A（中国印·舞动的北京）、B（天地人）、C（冬梦）、D（飞跃）。
从4个会徽中任意抽取2个，所有等可能的结果为：$(A,B)$、$(A,C)$、$(A,D)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(C,D)$，共6种。
其中恰好抽到“冬梦”和“飞跃”的结果只有$(C,D)$这1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举出所有等可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的情况，掌握概率的基本计算公式就能轻松解答，多在选择填空的基础题中出现。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的概率计算，解题时首先要明确所有抽取的等可能结果总数，再找出符合要求的结果数，利用概率公式即可求解。思考时可先对4个会徽进行编号简化计数，再用列举法罗列出任意抽取2个的所有情况，注意抽取2个的情况不考虑先后顺序，避免重复计数，最后代入公式计算即可。
【解析】
将四个会徽分别记为：A（中国印·舞动的北京）、B（天地人）、C（冬梦）、D（飞跃）。
从4个会徽中任意抽取2个，所有等可能的结果为：$(A,B)$、$(A,C)$、$(A,D)$、$(B,C)$、$(B,D)$、$(C,D)$，共6种。
其中恰好抽到“冬梦”和“飞跃”的结果只有$(C,D)$这1种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，列举法计数
【点评】
本题是概率基础题型，解题核心是准确列举出所有等可能的抽取结果，避免出现重复或遗漏的情况，掌握概率的基本计算公式就能轻松解答，多在选择填空的基础题中出现。
【难度系数】
0.8
