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3. 掷两枚分别标有数字1～6的质地均匀的正方体骰子，把两枚骰子朝上一面的点数相乘，小明说：“积为奇数与积为偶数的可能性是一样的.”他的说法正确吗？请说明理由.
答案
不正确，积为偶数的可能性大
解析
【分析】
要判断小明的说法是否正确，本质是比较“积为奇数”和“积为偶数”两个事件的概率大小，解题思路如下：第一步，先确定掷两枚骰子的所有等可能结果总数；第二步，结合奇偶运算性质：只有两个因数均为奇数时乘积才是奇数，只要有一个因数为偶数乘积就是偶数，因此优先计算情况数更少的积为奇数的事件，能简化运算；第三步，分别计算两个事件的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
解：掷两枚质地均匀的骰子，朝上的点数所有等可能的结果共有 $6 × 6 = 36$ 种。
若两枚骰子点数的积为奇数，则两枚骰子的点数都必须为奇数：
每枚骰子的奇数点数有1、3、5，共3种情况，因此积为奇数的结果有 $3 × 3 = 9$ 种，
可得 $P(\mathrm{积为奇数}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$。
积为偶数的情况数为总情况数减去积为奇数的情况数，即 $36 - 9 = 27$ 种，
可得 $P(\mathrm{积为偶数}) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$。
因为 $\frac{1}{4} ＜ \frac{3}{4}$，所以积为偶数的可能性更大，小明的说法不正确。
【答案】
不正确，积为偶数的可能性大
【知识点】
等可能概率计算、奇偶运算性质、两步试验概率
【点评】
本题是概率与数的性质结合的基础题，解题时可优先计算情况数更少的事件简化运算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断小明的说法是否正确，本质是比较“积为奇数”和“积为偶数”两个事件的概率大小，解题思路如下：第一步，先确定掷两枚骰子的所有等可能结果总数；第二步，结合奇偶运算性质：只有两个因数均为奇数时乘积才是奇数，只要有一个因数为偶数乘积就是偶数，因此优先计算情况数更少的积为奇数的事件，能简化运算；第三步，分别计算两个事件的概率，比较大小即可得出结论。
【解析】
解：掷两枚质地均匀的骰子，朝上的点数所有等可能的结果共有 $6 × 6 = 36$ 种。
若两枚骰子点数的积为奇数，则两枚骰子的点数都必须为奇数：
每枚骰子的奇数点数有1、3、5，共3种情况，因此积为奇数的结果有 $3 × 3 = 9$ 种，
可得 $P(\mathrm{积为奇数}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$。
积为偶数的情况数为总情况数减去积为奇数的情况数，即 $36 - 9 = 27$ 种，
可得 $P(\mathrm{积为偶数}) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$。
因为 $\frac{1}{4} ＜ \frac{3}{4}$，所以积为偶数的可能性更大，小明的说法不正确。
【答案】
不正确，积为偶数的可能性大
【知识点】
等可能概率计算、奇偶运算性质、两步试验概率
【点评】
本题是概率与数的性质结合的基础题，解题时可优先计算情况数更少的事件简化运算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两人分别从A,B,C这3个景点中选择部分景点游玩.
（1）若甲、乙都选择1个景点，求两人选择相同景点的概率；
（2）若甲、乙都选择2个景点，则两人选择相同景点的概率是
（1）若甲、乙都选择1个景点，求两人选择相同景点的概率；
（2）若甲、乙都选择2个景点，则两人选择相同景点的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
(1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题核心是利用列举法分别统计所有等可能的结果数和符合要求的结果数，再结合概率公式计算。第（1）问中两人各选1个景点，先分别确定甲、乙的可选方案，再统计总搭配数和相同选择的搭配数；第（2）问中两人各选2个景点，先列举出单人选2个景点的所有可选方案，再统计总搭配数和相同选择的搭配数即可求解。
【解析】
（1）甲从A、B、C三个景点中选1个，有A、B、C共3种等可能的选择，乙同样有3种等可能的选择，因此两人选择的总结果数为$3×3=9$种。
其中两人选择相同景点的结果有：都选A、都选B、都选C，共3种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得$P(\mathrm{两人选择相同景点})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
（2）从3个景点中选2个，不考虑顺序的话，所有可选的方案为：AB、AC、BC，共3种。
因此甲有3种等可能的选择，乙也有3种等可能的选择，两人选择的总结果数为$3×3=9$种。
其中两人选择相同景点组合的结果有：都选AB、都选AC、都选BC，共3种。
代入概率公式可得$P(\mathrm{两人选择相同景点})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{3}$；（2）$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等可能概率计算、列举法求概率、简单组合计数
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确列举所有等可能结果，注意选多个景点时无需考虑选择顺序，避免重复或遗漏计数，掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能条件下的概率计算问题，解题核心是利用列举法分别统计所有等可能的结果数和符合要求的结果数，再结合概率公式计算。第（1）问中两人各选1个景点，先分别确定甲、乙的可选方案，再统计总搭配数和相同选择的搭配数；第（2）问中两人各选2个景点，先列举出单人选2个景点的所有可选方案，再统计总搭配数和相同选择的搭配数即可求解。
【解析】
（1）甲从A、B、C三个景点中选1个，有A、B、C共3种等可能的选择，乙同样有3种等可能的选择，因此两人选择的总结果数为$3×3=9$种。
其中两人选择相同景点的结果有：都选A、都选B、都选C，共3种。
根据概率公式$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得$P(\mathrm{两人选择相同景点})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
（2）从3个景点中选2个，不考虑顺序的话，所有可选的方案为：AB、AC、BC，共3种。
因此甲有3种等可能的选择，乙也有3种等可能的选择，两人选择的总结果数为$3×3=9$种。
其中两人选择相同景点组合的结果有：都选AB、都选AC、都选BC，共3种。
代入概率公式可得$P(\mathrm{两人选择相同景点})=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{3}$；（2）$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
等可能概率计算、列举法求概率、简单组合计数
【点评】
本题是概率基础题，解题的关键是准确列举所有等可能结果，注意选多个景点时无需考虑选择顺序，避免重复或遗漏计数，掌握概率的基本计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 现有两个不透明的布袋和若干不同颜色的小球(除颜色外其他完全相同)，请你设计一个摸球游戏，使得任意从两个袋中各摸出1个小球，恰好是2个红球的概率是$\frac{1}{6}$。
答案
答案不唯一，略
解析
【分析】
要设计符合要求的摸球游戏，首先明确两步独立试验的概率计算规则：从两个袋中各摸1个球，恰好摸到2个红球的概率，等于从第一个袋摸出红球的概率与从第二个袋摸出红球的概率的乘积。因此解题思路为：第一步将目标概率$\frac{1}{6}$拆分为两个不大于1的正分数的乘积，第二步根据拆分出的两个分数，分别给两个布袋配置红球和其他颜色的小球，保证每个布袋中摸出红球的概率对应拆分出的分数即可。
【解析】
我们可将$\frac{1}{6}$拆分为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3}$，据此设计如下：
1. 第一个布袋：放入1个红球、1个白球（所有球除颜色外完全相同），则从该袋摸出红球的概率为$\frac{1}{2}$；
2. 第二个布袋：放入1个红球、2个黄球（所有球除颜色外完全相同），则从该袋摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$。
验证：从两个袋中各摸1个小球，恰好是2个红球的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，符合要求。
注：还有其他合理设计，例如将$\frac{1}{6}$拆分为$1 × \frac{1}{6}$，第一个布袋全放红球，第二个布袋放1个红球和5个其他颜色的球，也满足要求。
【答案】
示例：第一个布袋放入1个红球、1个白球，第二个布袋放入1个红球、2个黄球（所有球除颜色外完全相同），此时从两袋各摸1个球恰好是2个红球的概率为$\frac{1}{6}$。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 两步试验概率计算
2. 等可能事件概率
【点评】
本题是开放性设计题，核心考查对概率乘法规则的灵活运用，解题关键是将目标概率合理拆分为两个独立事件的概率乘积，再对应配置布袋内的球即可，方案灵活多样，能有效考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要设计符合要求的摸球游戏，首先明确两步独立试验的概率计算规则：从两个袋中各摸1个球，恰好摸到2个红球的概率，等于从第一个袋摸出红球的概率与从第二个袋摸出红球的概率的乘积。因此解题思路为：第一步将目标概率$\frac{1}{6}$拆分为两个不大于1的正分数的乘积，第二步根据拆分出的两个分数，分别给两个布袋配置红球和其他颜色的小球，保证每个布袋中摸出红球的概率对应拆分出的分数即可。
【解析】
我们可将$\frac{1}{6}$拆分为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3}$，据此设计如下：
1. 第一个布袋：放入1个红球、1个白球（所有球除颜色外完全相同），则从该袋摸出红球的概率为$\frac{1}{2}$；
2. 第二个布袋：放入1个红球、2个黄球（所有球除颜色外完全相同），则从该袋摸出红球的概率为$\frac{1}{3}$。
验证：从两个袋中各摸1个小球，恰好是2个红球的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，符合要求。
注：还有其他合理设计，例如将$\frac{1}{6}$拆分为$1 × \frac{1}{6}$，第一个布袋全放红球，第二个布袋放1个红球和5个其他颜色的球，也满足要求。
【答案】
示例：第一个布袋放入1个红球、1个白球，第二个布袋放入1个红球、2个黄球（所有球除颜色外完全相同），此时从两袋各摸1个球恰好是2个红球的概率为$\frac{1}{6}$。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 两步试验概率计算
2. 等可能事件概率
【点评】
本题是开放性设计题，核心考查对概率乘法规则的灵活运用，解题关键是将目标概率合理拆分为两个独立事件的概率乘积，再对应配置布袋内的球即可，方案灵活多样，能有效考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
